【趣题征解】设 n 是大于 1 的正整数，证明： 1+1/2+1/3+…+1/n 不可能是整数。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/30 05:52pm 第 2 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2009/09/30 03:25pm 发表的内容： 计算 k0/m0 + 1/n1 已知m0=2^(a1)*3^(a2)*...*pn(an). k0不含m0的任何因子。 m0与n1通分 设m1=2^(b1)*3^(b2)*...*pn(bn). 设（m1,m0）=G k0/m0 + 1/n1=(R+r)/m1 R=m0×G，r=m1/G 因为m0中无m1之因子，G为m1之因子，所以R与m1有同因子G,而r不含因子G,所以k1=R+r不含因子G; 另，m0与m1无同因子，也就是R除了与m1有同因子G之外没有别的共同因子。而r正好相反，除了没有共同因子G之外其它因子与m1相同。 所以k1=R+r与m1没有任何共同因子。 (k1.m1)=1

以上这段推导过程有问题。 下面，我用具体的数字代入，令 k0=11 ，m0=6，n1=4 ，左边是原来的推导过程，右边是代入数字后的推导过程： 计算 k0/m0 + 1/n1 <==> 计算 11/6 + 1/4 已知 m0=2^(a1)*3^(a2)*...*pn(an). <==> 已知 6=2*3 . k0 不含 m0 的任何因子。 <==> 11 不含 6 的任何因子。 m0 与 n1 通分 <==> 6 与 4 通分 设 m1=2^(b1)*3^(b2)*...*pn(bn). <==> 设 12=2^2*3 . 设（m1,m0）=G <==> 设（12,6）=6 k0/m0 + 1/n1=(R+r)/m1 <==> 11/6 + 1/4=(22+3)/12 R=m0×G，r=m1/G <==> R=6×6 ，r=12/6 这里就出现问题了：R 和 r 到底等于什么？ 从“k0/m0 + 1/n1=(R+r)/m1” 也就是 11/6 + 1/4=(22+3)/12 来看，应该是 R=22 ，r=3 。 从“R=m0×G ，r=m1/G”来看，应该是 R=6×6=36 ，r=12/6=2 。 请 moranhuishou 自己检查一下，到底是怎么回事？

技术员

陆教授，请问展开的分子分母有通行公式吗？

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2009/09/30 05:47pm 发表的内容： 以上这段推导过程有问题。 下面，我用具体的数字代入，令 k0=11 ，m0=6，n1=4 ，左边是原来的推导过程，右边是代入数字后的推导过程： 计算 k0/m0 + 1/n1 <==> 计算 11/6 + 1/4 已知 ...

问题可能出在 （m1,m0）=G 这一点有点迷糊，是m1/m0=G 还是（m1,m0）=G ？ 这是个技术细节问题。陆先生看看，修改确定一下。

FARSPACEMAN

这道题会有一些优于我的方法的解答的。。
moranhuishou，你的答案我看了一半就不看了。。问题是存在的。。比如如果m=1怎么办。。。

luyuanhong

下面引用由moranhuishou在 2009/09/30 05:47pm 发表的内容：
题目就没有弄明白！

FARSPACEMAN 的证明是正确的，不过前提是必须要知道伯特兰-切比雪夫定理，复杂了一点。

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/09/30 05:58pm 发表的内容：
这道题会有一些优于我的方法的解答的。。
moranhuishou，你的答案我看了一半就不看了。。问题是存在的。。比如如果m=1怎么办。。。

你根本就看不懂。
k与m没有共同因子，m绝不可能=1的！

FARSPACEMAN

下面引用由moranhuishou在 2009/09/30 06:03pm 发表的内容：
你根本就看不懂。
k与m没有共同因子，m绝不可能=1的！

对任意正整数k，（k,1）=1

技术员

FARSPACEMAN，高人啊。不知你对我的帖子——谁能求此角？的帖子感不感兴趣？

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/09/30 06:05pm 发表的内容：
对任意正整数k，（k,1）=1

你怎么能这样理解？我是用归纳法证明无论n为任何值，分子都不是分母的倍数，也就是他不可能是整数，哪来的分母等于1？？？
你要看懂证明的基本思路，这是最起码的！！！

FARSPACEMAN

如果不证明m不等于1，就没有证明k/m不是整数，也就是没有证明题目要证的结论。