[讨论]什么是实数系的连续性

申一言

下面引用由elimqiu在 2009/10/11 04:08am 发表的内容：
还是先把定义，记号的意义等说明了再谈结论么。

          谢谢!
              俺将加深理解!

elimqiu

下面引用由ygq的马甲在 2009/10/11 11:08am 发表的内容：
能否举一个不等价的【实例】 ？？？-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在  时添加 -=-=-=-=-
所谓的“连通”，更象是用在“一分为多（Ｎ≥３）”方法的场合

没有一般拓扑空间的连续概念。实数系的连续性是一个非常特殊的概念。而连通性是一个一般概念，对任何拓扑空间都有意义。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
连通与道路连通也不等价。后者蕴含前者，但前者不蕴含后者：
{ x ∈ R^2 | x = (0,0) 或 x = (t, sin t), t ∈ (0,1] }
是连通的但不是道路连通的。

elimqiu

（1）实数的观念世界中的存在。实数的现实性在于理性，观念的现实性。而不在与物质世界的机械对应性。
（2）实数的实践意义于是就是对理性，观念层次上的实践而言的。理性世界是感性世界的系统性把握。是脱离了庸俗实践主义了的认知。是扬弃了庸俗实践的盲目性，对感性世界有指导意义的认知世界。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/10/14 06:25pm 第 2 次编辑]


本页已开始就说“实数的连续性在于无隙性”，对比论坛上某些人吵吵嚷嚷地兜售实数的缝隙说实在好玩（还有实数处处漏风说呢）。当然，确切地是非还要看对‘隙’的定义。而本页已经清清楚楚地定义了连续，于是也定义了其反面：间断（有隙）。
如果在一个数系中的一个单调有界序列在该数系中不趋于任何数，那么这个数系就有‘隙’或说就有‘间断’。兹证明如下：
假定{An} 是某稠密的有序数系X中的上升序列，有上界u, 且{An}在X中没有极限。令
A = { x | x 属于X且对某n,  x< An}, B = { x| x 属于X 且 x 不属于A }
显然 A 与 B 不交，A, B 均非空 （u 在 B中）但显然A无最大元，B无最小元（否则{An}在X中有极限）。可见分割（A，B）定义了一个隙或间断点。 既然这在实数系中不可能，所以实数系中任何单调有界序列都有极限（都收敛）。进而知基本列都收敛（有极限）。
实数较之于虚数，同为观念世界的东西，谈何虚实？ 想来不到要处理‘虚’，也不会称实数为‘实， 实数的有序性，有理数在其中的稠密星火说实数是有理数域的自然晚辈扩充也许就是它被称为实的原因。虚数的引入立即导致有序（全序）性的丧失。从数跟大小的根深蒂固的关系里出来伴随一个‘虚’的称谓还算公道，直到高斯的复平面解释才使事情不那么虚无，结果是‘虚’被‘复’所盖。这是一个正题，反题，合题的完美实例（不知黑格尔同意与否）

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/10/14 06:48am 第 2 次编辑]


文章首页：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=7952&start=12&#35;23

elimqiu

elimqiu

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/10/14 05:50am 第 1 次编辑]

elimqiu

elimqiu

楼上是给出25楼例2的一个证明： 有理数域中的基本列在有理数域中没有极限。
这样的例子其实很多：
取 A1 使 (A1)^2 > 5, 定义 A(n+1)=(A(n)+5/A(n))/2
则 (A(n))^2 > 5 时有  
(A(n+1))^2 -5 = ((A(n)+5/A(n))^2)/4 - 5 = ((A(n)-5/A(n))^2)/4 = (((A(n))^2 - 5)/(2A(n))^4 > 0
故 (A(n))^2 > 5 对一切n成立。从而恒有
A(n+1)-A(n) = (5/A(n) - A(n))/2 = (5-(A(n))^2)/(2A(n)) < 0
即{ A(n) } 单调下降且显然下有界。故为有理数基本列。但它在有理数域中没有极限。
因为其极限是√5