[讨论]与elimqiu 先生辩论“康托”

申一言

  1.同心圆,,,,,,

天茂

只要涉及到实无限，一定会有不确定因素在内；
但是，现代数学离了实无限又不能活。
这真是一个两难啊！

ccmmjj

赵录是山东枣庄二中的老师吧？我不知是不是数学老师。他一向是不承认不可数集的。我曾看过他的一些文章，应该在我们这个论坛上可以找到。论坛上总有一些同志不肯承认数的基础理论，这真是很奇怪的事情。我曾在这里发过一首诗“论坛处处说危机，康托无穷受谤讥。精妙构形阐微义，岂是庸夫能贯通。”就是对此的感慨。
我一直想深入浅出的写一篇有关数的文章，由于在深浅上很难把握，一直没有完成。现在终于稍具雏形，过几时写出来，希望对这个问题的讨论有所帮助。

elimqiu

>n 已经不是自然数了。这句话你说得很对。我也知道它不是自然数了，至少不是确定的自然数。但同时也说明了集合
{k+1,k+2,k+3,…}不是一个确定的集合，另一层意思也说明了这个集合不属于P(N)。
el:
{k+1,k+2,k+3,…} = { n | n ∈ N，n > k} 是确定的N的子集合，因此属于P(N)。说这不是确定的集合的集合论根据是什么？
>N的无限子集A是否属于P(N)，是根据P(N)的定义还是根据P(N)的性质呢？
el: 既然 P(N) 是 N 的子集全体， 而N的无限子集当然是N 的子集， 所以 N的无限子集属于 P(N)。 至于“根据定义还是性质”的问题，我以为性质是从定义和已经确立的定理来的，这里不会有矛盾。如果你找到了矛盾，那么集合论就完了（或者说数学仍在经典意义下的危机中）
>比如我定义2k+1属于偶数集，显然这个定义是不合理的。
因此可以说，对于无限集，定义它的全部子集的集合是它的幂集，这样的幂集是不存在的。
el:
你的这段文字是一种逻辑混乱。命题和定义是不同的东西。“2k+1属于偶数集”是命题不是定义。（你需要重新认识一下什么是定义）。 "对于无限集，定义它的全部子集的集合是它的幂集，这样的幂集是不存在的。" 这样的断言的根据是什么？ 我看你大概没有正经学习过集合论。
> 一个定义违背了事实，是修改“事实”满足定义，还是要修改定义使它符合事实呢？
康托的理论，有些地方当“事实”不满足他的理论时，他便要修改“事实”去满足他的理论，如“局部等于整体”。因此说康托的理论，有些地方是“削足适履”。
什么定义违背了事实？ 请说来听听。 “局部等于整体”从来不是康托的集合论的东西。你把等势和通常意义下的等于混淆了。这是你的理解上的问题。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2009/12/11 07:16pm 第 2 次编辑]

关键是要说N的无限子集{k+1,k+2,k+3,…}是否在排列里，
回答：在
第k+2行的第一个元素是{k+1}
第k+3行就有一个元素是在子集{k+1}加入k+2，即这一行中有元素{k+1,k+2}
同理第k+4行里有元素{k+1,k+2,k+3}
……　……　……　……　……　……
第k+n行里有元素{k+1,k+2,k+3,…,k+n-1}
……　……　……　……　……　……
随着行数的无限增多，即n的无限增大，那么N的无限子集
{k+1,k+2,k+3,…}
就在这个排列里了。

elimqiu

下面引用由zhaolu48在 2009/12/11 07:13pm 发表的内容：
关键是要说N的无限子集{k+1,k+2,k+3,…}是否在排列里，
回答：在
第k+2行的第一个元素是{k+1}
第k+3行就有一个元素是在子集{k+1}加入k+2，即这一行中有元素{k+1,k+2}
...

关键是先生至今不懂无穷不是任何自然数的递增，在任何有限步可以达到的。说到底，你在任何有限步所得到的只是有限子集。一个集合可数就是说其任何元可以在有限步被‘数’到。
总之，你的问题都是你对基本概念的错误理解形成的。我劝你回到自然数公理，回到集论初步。只要把基本概念和数学的基本思考推理方法搞好了，你的构造方面的优势发挥出来才有益处。不然会迷惑自己和他人。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
你的基本思路也许可以在超穷理论中得到用处（任何集合都可以良序化）。即便如此，也当知道 良序推不出可数。

zhaolu48

elimqiu

事实是没有哪个元在“无限远处”。难道你能举出这样的元？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
这是在说你引用的例子。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
另外，无限步才能达到的东西很可能构成不可数无穷。明白了吗？

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2009/12/12 11:30am 第 1 次编辑]

>事实是没有哪个元在“无限远处”。难道你能举出这样的元？
任何一个无限集，都存在“无限远处”的元素。
如果无限集A不存在“无限远处”的元素，那么就是到某一个元素为止，后面再没有这个集合的元素了，从而就成为有限集了。
当然要定义什么叫存在无限远处的元素：
对于无限集A={a1,a2,a3,…,an,…},任给意自然数N，都存在n>N，使an∈A，就称为A存在无限远处的元素。
数学上有许多是证明存在性，但却找不到那个“具体的存在”。
这个问题你不是不明白。
比如级数：
1+1/2^(5/2)+1/3^(5/3)+…+1/n^(5/2)+…
是收敛的，你能找到它具体收敛于哪个实数吗？如果你找不到这个实数，就说这个级数不收敛吗？
现在数学上的“缺陷”是，根本没有比较严格的“有限”与“无限”的数学定义，
因此许多本可以说清的一些关于无限的问题，却说不清楚。因此如你所说：
“你能举出这样的元？”，所以不能举出，不是我的问题，而是现在数学的理论“缺陷”造成的。
如何弥补这一“缺陷”，正是我们要做的事情。
你来回答我在27楼写出的那个夏道行的证明是不是正确的？

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/12/12 06:09am 第 1 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2009/12/12 11:30am 发表的内容：
>事实是没有哪个元在“无限远处”。难道你能举出这样的元？
任何一个无限集，都存在“无限远处”的元素。
如果无限集A不存在“无限远处”的元素，那么就是到某一个元素为止，后面再没有这个集合的元素了，从　...

你诡辩的才能还真不错。不过我告诉你这点好了：你引的那个例子的所有元都不是无限远元。所以你所谓的无限远元即使‘存在’，也不属于那集合。
好了。你再次离开了关于康托的辩论。引入了你自己的“集会论”。你在那里面发现的矛盾都是你的思想矛盾。
=======================
我的观点：夏的证明正确。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
>任何一个无限集，都存在“无限远处”的元素。
如果无限集A不存在“无限远处”的元素，那么就是到某一个元素为止，后面再没有这个集合的元素了，从而就成为有限集了。
当然要定义什么叫存在无限远处的元素：
对于无限集A={a1,a2,a3,…,an,…},任给意自然数N，都存在n>N，使an∈A，就称为A存在无限远处的元素。
el:
你的这段文字，如果你不知道什么是诡辩，那么我告诉你，这就是了：你首先给出了一个论断。然后是一个没有根据的‘理由’。为什么[如果无限集A不存在“无限远处”的元素，那么就是到某一个元素为止”]？ 凭哪条定理或定义？
再下面就更光怪陆离了，你这是定义什么是无限远元呢还是定义什么叫存在无限远元？ 后者能是定义的对象吗？ 你其实还没有一个像样的无穷远元的定义啊。
>数学上有许多是证明存在性，但却找不到那个“具体的存在”。
这个问题你不是不明白。
比如级数：
1+1/2^(5/2)+1/3^(5/3)+…+1/n^(5/2)+…
是收敛的，你能找到它具体收敛于哪个实数吗？如果你找不到这个实数，就说这个级数不收敛吗？
el:
这个级数既然收敛，就是一个实数，为什么还要找那个实数？如果你说的是它的无限小数表达式，那么我们对任何有限位上的数字都有有限步的方法来得到，为什么它还不确定，没找到？
>现在数学上的“缺陷”是，根本没有比较严格的“有限”与“无限”的数学定义，
因此许多本可以说清的一些关于无限的问题，却说不清楚。因此如你所说：
“你能举出这样的元？”，所以不能举出，不是我的问题，而是现在数学的理论“缺陷”造成的。
数学的存在性的确不等同于可构造，但等同于确定性/相容性。像你上面的‘定义’就不提供确定性/相容性。所以就没有了想要的存在性。有时候难以‘举出’，那么也要论证（依靠相容性）。所以总起来说，不是数学有缺陷，而是你的思辩缺陷。这么说是就这事论事。不是说你处处如此。