[讨论]很好的题目

tian27546

假设存在x0 ∈[0,1]，使得 |f(x0)| > max{f(0),f(1)}，则必定是f(x0) < - max{f(0),f(1)} 因为若不然，则f(x0) >f(0) 且 f(x0)>f(1)， 由Lagrange中值定理，必定存在a∈(0,x0)，使得f';(a)=( f(x0)-f(0) ) / x0 > 0 同时，存在b∈(x0,1)，使得f';(b)=( f(x0)-f(1) ) / (x0 -1) < 0 于是，存在c∈(a,b)，使得f';';(c)=(f';(a)-f';(b))/(a-b) < 0，矛盾 因此必须f(x0) < - max{f(0),f(1)}，即f(x0)+f(0)<0且f(x0)+f(1)<0 然后将那个积分以x0为分割点分为两部分，因f(x)下凸，所以： 当0

ccmmjj

原来是用反证法，和我的证明基本一致。建议以后用图，不然太难看。elimqiu16楼的切线直观图分析很好，应该是最简证明。

luyuanhong

tian27546 给出的证明很好，为了让大家看得更清楚一些，我将证明重新写出如下：