猜想：形p，p+2，p+6，p+8四生素数无穷多

yangchuanju

【转载】大傻3生素数数量公式
（P,P+2,P+6)形式的N以内3生素数的公式如下：
(N/6)*∏(1-3/p)/[2e^(-γ)]^3，（其中3﹤p≤√N）
换成解析形式则如下：
8 c^2∏[1-1/（p-2)^2]  N/（lnN)^3  （其中3﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......）
8 c^2∏[1-1/（p-2)^2]=2.8582431.........
用上面的方法也可以求出k生素数的公式。具体方法可以参考“基础数学”中“[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？”里面天山草关于∏(1-k/p)的极限表达式。

这个解析公式很容易计算，只是我的手上没有3生素数的具体数值。估计天山草先生在可以给出漂亮的结果。

yangchuanju

10的n次方以内（两种）三生素数个数
A055737
1 0
2 8
3 30
4 112
5 507
6 2837
7 17220
8 111156
9 759256
10 5425573
11 40174725
12 305689269

第1组：5,7,11，因11大于10，故它不算作10以内的三生素数；同样第9组：97,101,103，不算作100以内的三生素数。

yangchuanju

{转载}大傻4-7生最密素数数量公式
4生素数的公式如下：
(N/6)*∏(1-4/p)/[2e^(-γ)]^4，（其中3﹤p≤√N）
32 c^3 ∏[1-1/（p-2)^2]^2 ∏[1-1/（p-3)^2] N/（lnN)^4 （其中3﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......）
32 c^2 ∏[1-1/（p-2)^3] ∏[1-1/（p-3)^2]=4.151180......

5生素数的公式如下：
(N/30)*∏(1-5/p)/[2e^(-γ)]^5，（其中5﹤p≤√N）
256 c^4 ∏[1-1/（p-2)^2] ^3 ∏[1-1/（p-3)^2]^2 ∏[1-1/（p-4)^2]  N/（lnN)^5（其中5﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......∏[1-1/（p-4)^2]=0.8402588.......
256 c^4 ∏[1-1/（p-2)^2] ^3 ∏[1-1/（p-3)^2]^2 ∏[1-1/（p-4)^2] =10.13179......

6生素数的公式如下：
(N/30)*∏(1-6/p)/[2e^(-γ)]^6，（其中5﹤p≤√N）
2048 c^5 ∏[1-1/（p-2)^2]^4 ∏[1-1/（p-3)^2]^3 ∏[1-1/（p-4)^2]^2 ∏[1-1/（p-5)^2] N/（lnN)^6（其中5﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......∏[1-1/（p-4)^2]=0.8402588......）
2048 c^5 ∏[1-1/（p-2)^2]^4 ∏[1-1/（p-3)^2]^3 ∏[1-1/（p-4)^2]^2 ∏[1-1/（p-5)^2]=17.23860......

7生素数的公式如下：
(N/210)*∏(1-6/p)/[2e^(-γ)]^6，（其中7﹤p≤√N）
32768 c^6 ∏[1-1/（p-2)^2]^5 ∏[1-1/（p-3)^2]^4 ∏[1-1/（p-4)^2]^3 ∏[1-1/（p-5)^2]^2 ∏[1-1/（p-6)^2]  N/（lnN)^6（其中7﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......∏[1-1/（p-4)^2]=0.8402588......∏[1-1/（p-5)^2]=0.6995361......）
32768 c^6 ∏[1-1/（p-2)^2]^5 ∏[1-1/（p-3)^2]^4 ∏[1-1/（p-4)^2]^3 ∏[1-1/（p-5)^2]^2∏[1-1/（p-6)^2]=53.97189......

上面5生素数和7生素数的系数和白新岭的“5生素数群从素数7就走到正规了,系数为10.1318018169296 ；
7生素数群从素数11就走到正规了,系数为53.9720251184226 ；”非常吻合。
我和白新岭先生虽然方法不同，但是结果一致，基本上可以认为是客观真理。
我刚看到这个帖子2楼4生素数和6生素数的系数也和我的计算吻合，心里很欣慰。

yangchuanju

【转载】白新岭3生素数数量计算表（703楼  发表于 2020-9-5 20:20 ）
一般三生素数L8(0,2,8)或(0,6,8)的数量      
2        1.000000000000000E+00
3        5.000000000000000E+00
4        2.000000000000000E+01
5        9.000000000000000E+01
6        4.790000000000000E+02
7        2.860000000000000E+03
8        1.849400000000000E+04
9        1.265970000000000E+05
10        9.050940000000000E+05
11        6.696546000000000E+06
12        5.094350500000000E+07
13        3.965875890000000E+08
14        3.147962599000000E+09
15        2.540591965500000E+10
16        2.080083384580000E+11
17        1.724561767681000E+12
18        1.445712484321200E+13
19        1.223918484280180E+14
20        1.045294099909760E+15
21        8.998216294639880E+15
22        7.801497797571140E+16
23        6.808006648082330E+17
24        5.976354101839110E+18
25        5.274871829127920E+19
26        4.679048487718740E+20
27        4.169710945835980E+21
28        3.731715293960680E+22
29        3.352992315132680E+23
30        3.023842955512610E+24
31        2.736412460595320E+25
32        2.484293765981370E+26
33        2.262225463699320E+27
34        2.065859704904440E+28
35        1.891582332018020E+29
36        1.736372378718580E+30
37        1.597691501806980E+31
38        1.473396356915510E+32
39        1.361668697029780E+33
40        1.260959260398190E+34
41        1.169942461095250E+35
42        1.087479597441200E+36
43        1.012588818110180E+37
44        9.444204808477670E+37
45        8.822368383937360E+38
46        8.253952150676580E+39
47        7.733340133925240E+40
48        7.255610261932550E+41
49        6.816436354640000E+42
50        6.412005621211430E+43
51        6.038948959097760E+44
52        5.694281862453910E+45
53        5.375354157055270E+46
54        5.079807105655470E+47
55        4.805536689815510E+48
56        4.550662085345680E+49
57        4.313498519265630E+50
58        4.092533834872300E+51
59        3.886408204575480E+52
60        3.693896522690850E+53
61        3.513893086376010E+54
62        3.345398235527350E+55
63        3.187506674247980E+56
64        3.039397239464430E+57
65        2.900323918027320E+58
66        2.769607943479650E+59
67        2.646630828664200E+60
68        2.530828211320450E+61
69        2.421684407482570E+62
70        2.318727582397930E+63
71        2.221525461301610E+64
72        2.129681513086120E+65
73        2.042831549008340E+66
74        1.960640686335730E+67
75        1.882800633463960E+68
76        1.809027258715950E+69
77        1.739058409904300E+70
78        1.672651955929770E+71
79        1.609584025298690E+72
80        1.549647419560320E+73
81        1.492650182362340E+74
82        1.438414307160620E+75
83        1.386774568649300E+76
84        1.337577464743610E+77
85        1.290680257486590E+78
86        1.245950102594400E+79
87        1.203263258529460E+80
88        1.162504367019610E+81
89        1.123565797843630E+82
90        1.086347051496320E+83
91        1.050754214044080E+84
92        1.016699459096220E+85
93        9.841005923599060E+85
94        9.528806347257720E+86
95        9.229674402554370E+87
96        8.942933458178770E+88
97        8.667948494551310E+89
98        8.404123148539380E+90
99        8.150896995634790E+91
100        7.907743048340070E+92
101        7.674165451604290E+93
102        7.449697358016930E+94
103        7.233898967138260E+95
104        7.026355714838360E+96
105        6.826676599855550E+97
106        6.634492635984930E+98
107        6.449455419385380E+99
108        6.271235801461560E+100
109        6.099522658648290E+101
110        5.934021751209580E+102
111        5.774454663871070E+103
112        5.620557821743000E+104
113        5.472081575566770E+105
114        5.328789350839150E+106
115        5.190456855839250E+107
116        5.056871344010440E+108
117        4.927830926535930E+109
118        4.803143931297950E+110
119        4.682628304729090E+111
120        4.566111053353790E+112
121        4.453427722081610E+113
122        4.344421906553430E+114
123        4.238944797060450E+115
124        4.136854751754470E+116
125        4.038016897050310E+117
126        3.942302753286380E+118
127        3.849589883861550E+119
128        3.759761566204890E+120
129        3.672706483061540E+121
130        3.588318432694350E+122
131        3.506496056707390E+123
132        3.427142584294790E+124
133        3.350165591808180E+125
134        3.275476776618220E+126
135        3.202991744321160E+127
136        3.132629808411010E+128
137        3.064313801601720E+129
138        2.997969898042720E+130
139        2.933527445725330E+131
140        2.870918808427470E+132
141        2.810079216590420E+133
142        2.750946626563570E+134
143        2.693461587692740E+135
144        2.637567116763600E+136
145        2.583208579345570E+137
146        2.530333577612410E+138
147        2.478891844244430E+139
148        2.428835142043970E+140
149        2.380117168920360E+141
150        2.332693467923330E+142
151        2.286521342025120E+143
152        2.241559773371190E+144
153        2.197769346737570E+145
154        2.155112176949990E+146
155        2.113551840035490E+147
156        2.073053307892030E+148
157        2.033582886275070E+149
158        1.995108155912970E+150
159        1.957597916574610E+151
160        1.921022133923800E+152
161        1.885351889005310E+153
162        1.850559330216670E+154
163        1.816617627629090E+155
164        1.783500929529040E+156
165        1.751184321059630E+157
166        1.719643784848500E+158
167        1.688856163515400E+159
168        1.658799123959190E+160
169        1.629451123329740E+161
170        1.600791376595860E+162
171        1.572799825625520E+163
172        1.545457109699560E+164
173        1.518744537384380E+165
174        1.492644059693780E+166
175        1.467138244473650E+167
176        1.442210251947340E+168
177        1.417843811362750E+169
178        1.394023198685730E+170
179        1.370733215287240E+171
180        1.347959167574840E+172
181        1.325686847521570E+173
182        1.303902514048160E+174
183        1.282592875216540E+175
184        1.261745071195190E+176
185        1.241346657958980E+177
186        1.221385591687810E+178
187        1.201850213830840E+179
188        1.182729236804260E+180
189        1.164011730292700E+181
190        1.145687108125730E+182
191        1.127745115702370E+183
192        1.110175817938050E+184
193        1.092969587709790E+185
194        1.076117094776360E+186
195        1.059609295151810E+187
196        1.043437420911400E+188
197        1.027592970410390E+189
198        1.012067698896840E+190
199        9.968536095007300E+190
200        9.819429445825820E+191
201        9.673281774253320E+192
202        9.530020042543940E+193
203        9.389573365713160E+194
204        9.251872937872400E+195
205        9.116851961430540E+196
206        8.984445579037380E+197
207        8.854590808150080E+198
208        8.727226478109590E+199
209        8.602293169619000E+200
210        8.479733156521380E+201
211        8.359490349779270E+202
212        8.241510243562360E+203
213        8.125739863354860E+204
214        8.012127715997570E+205
215        7.900623741584040E+206
216        7.791179267133700E+207
217        7.683746961968420E+208
218        7.578280794722450E+209
219        7.474735991918710E+210
220        7.373068998047520E+211
221        7.273237437086830E+212
222        7.175200075405500E+213
223        7.078916785994090E+214
224        6.984348513969960E+215
225        6.891457243305650E+216
226        6.800205964732210E+217
227        6.710558644770860E+218
228        6.622480195848500E+219
229        6.535936447454710E+220
230        6.450894118299550E+221
231        6.367320789433190E+222
232        6.285184878290200E+223
233        6.204455613622950E+224
234        6.125103011289790E+225
235        6.047097850865590E+226
236        5.970411653043210E+227
237        5.895016657796010E+228
238        5.820885803272610E+229
239        5.747992705396430E+230
240        5.676311638143750E+231
241        5.605817514474750E+232
242        5.536485867893600E+233
243        5.468292834614160E+234
244        5.401215136309040E+235
245        5.335230063420710E+236
246        5.270315459014070E+237
247        5.206449703150790E+238
248        5.143611697766620E+239
249        5.081780852033440E+240
250        5.020937068188660E+241
251        4.961060727815260E+242
252        4.902132678556420E+243
253        4.844134221249300E+244
254        4.787047097463190E+245
255        4.730853477427660E+246
256        4.675535948337240E+247

yangchuanju

请白新岭先生给出最密四生素数数量计算表。

lusishun

lusishun 发表于 2020-6-18 03:28
小于n的四生素数对数的公式：
（n-8）/6·（1-4//5）·（1-4/7）·（1-4/11）·（1-4/13）·………·（1-4 ...

我正思考用这个公式的加强式，证明此类四素数，无穷多。

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-12-21 04:51
请白新岭先生给出最密四生素数数量计算表。

10^n        最密4生素数理论值
2        0
3        3
4        11
5        40
6        170
7        850
8        4722
9        28384
10        181062
11        1209944
12        8394568
13        60075450
14        441290899
15        3314551625
16        25379451643
17        1.9762249314400000E+11
18        1.5617724370000000E+12
19        1.2505600932499000E+13
20        1.0131897359861100E+14
21        8.2958808913679200E+14
22        6.8577258578144200E+15
23        5.7182685361685200E+16
24        1.2667888983857600E+18
25        1.0757746168495500E+19
26        9.1945479225532300E+19
27        7.9053254511275700E+20
28        6.8344081723490900E+21
29        5.9388905699730300E+22
30        5.1853931323082700E+23
31        4.5477195117354800E+24
32        4.0051425864516200E+25
33        3.5411372757335200E+26
34        3.1424343592863100E+27
35        2.7983074208552900E+28
36        2.5000307958469600E+29
37        2.2404641387522800E+30
38        2.0137315776747200E+31
39        1.8149721175085700E+32
40        1.6401441352175000E+33
41        1.4858712482253700E+34
42        1.3493200511242500E+35
43        1.2281025638973000E+36
44        1.1201979639813000E+37
45        1.0238894576672100E+38
46        9.3771310553596000E+38
47        8.6041613863771200E+39
48        7.9092284920290800E+40
49        7.2830655682796100E+41
50        6.7176647108661700E+42
51        6.2060851842143000E+43
52        5.7422939272299400E+44
53        5.3210323840317300E+45
54        4.9377049188159600E+46
55        4.5882849965680400E+47
56        4.2692360414263800E+48
57        3.9774444649069300E+49
58        3.7101628196004500E+50
59        3.4649614054868000E+51
60        3.2396869550822300E+52
61        3.0324272653125300E+53
62        2.8414808400302900E+54
63        2.6653307666669100E+55
64        2.5026221808600400E+56
65        2.3521427797355000E+57
66        2.2128059323756600E+58
67        2.0836360084752600E+59
68        1.9637556061468800E+60
69        1.8523744095977700E+61
70        1.7487794488110900E+62
71        1.6523265679241700E+63
72        1.5624329379159700E+64
73        1.4785704734792300E+65
74        1.4002600343602900E+66
75        1.3270663086582400E+67
76        1.2585932901189500E+68
77        1.1944802737819700E+69
78        1.1343983048003900E+70
79        1.0780470241577500E+71
80        1.0251518625988100E+72
81        9.7546154058008200E+72
82        9.2874583760271600E+73
83        8.8479359905809400E+74
84        8.4341095281552800E+75
85        8.0441971131176600E+76
86        7.6765593794849200E+77
87        7.3296865923743500E+78
88        7.0021870641322700E+79
89        6.6927767221229600E+80
90        6.4002697023494000E+81
91        6.1235698580362700E+82
92        5.8616630853455300E+83
93        5.6136103797790900E+84
94        5.3785415467779300E+85
95        5.1556494987429300E+86
96        4.9441850783479700E+87
97        4.7434523547283700E+88
98        4.5528043450316900E+89
99        4.3716391190172500E+90
100        4.1993962489750600E+91
101        4.0355535712827800E+92
102        3.8796242294982000E+93
103        3.7311539720527000E+94
104        3.5897186804186300E+95
105        3.4549221061149400E+96
106        3.3263937971290700E+97
107        3.2037871963011400E+98
108        3.0867778959700500E+99
109        2.9750620347431100E+100
110        2.8683548236456900E+101
111        2.7663891901530600E+102
112        2.6689145297205000E+103
113        2.5756955554253500E+104
114        2.4865112372282100E+105
115        2.4011538231623400E+106
116        2.3194279354802100E+107
117        2.2411497354328700E+108
118        2.1661461509401100E+109
119        2.0942541619333800E+110
120        2.0253201386255300E+111
121        1.9591992283879000E+112
122        1.8957547872995500E+113
123        1.8348578527813800E+114
124        1.7763866540419100E+115
125        1.7202261573463900E+116
126        1.6662676433784800E+117
127        1.6144083141974100E+118
128        1.5645509275058900E+119
129        1.5166034561361100E+120
130        1.4704787708367400E+121
131        1.4260943446025100E+122
132        1.3833719769330000E+123
133        1.3422375365393000E+124
134        1.3026207211372000E+125
135        1.2644548330753800E+126
136        1.2276765696472700E+127
137        1.1922258270264500E+128
138        1.1580455168492200E+129
139        1.1250813945443600E+130
140        1.0932818985799900E+131
141        1.0625979998615900E+132
142        1.0329830605738000E+133
143        1.0043927018127300E+134
144        9.7678467940456700E+134
145        9.5011876735187100E+135
146        9.2435664839045600E+136
147        8.9946181117815000E+137
148        8.7539945367186400E+138
149        8.5213639228189000E+139
150        8.2964097642212000E+140
151        8.0788300810242900E+141
152        7.8683366623478100E+142
153        7.6646543534803400E+143
154        7.4675203842792700E+144
155        7.2766837361875100E+145
156        7.0919045454151000E+146
157        6.9129535400046400E+147
158        6.7396115086563900E+148
159        6.5716687993344800E+149
160        6.4089248458106000E+150
161        6.2511877204260400E+151
162        6.0982737114689000E+152
163        5.9500069236701800E+153
164        5.8062189004221300E+154
165        5.6667482664143800E+155
166        5.5314403894690100E+156
167        5.4001470604353800E+157
168        5.2727261900793900E+158
169        5.1490415219704700E+159
170        5.0289623604337600E+160
171        4.9123633126941500E+161
172        4.7991240443943500E+162
173        4.6891290477206700E+163
174        4.5822674214182500E+164
175        4.4784326620221300E+165
176        4.3775224656724100E+166
177        4.2794385399207200E+167
178        4.1840864249712300E+168
179        4.0913753238338400E+169
180        4.0012179408983500E+170
181        3.9135303284684400E+171
182        3.8282317408216000E+172
183        3.7452444953872200E+173
184        3.6644938406591400E+174
185        3.5859078304816000E+175
186        3.5094172043687500E+176
187        3.4349552735376200E+177
188        3.3624578123531400E+178
189        3.2918629549011400E+179
190        3.2231110964215200E+180
191        3.1561447993492500E+181
192        3.0909087037250100E+182
193        3.0273494417508700E+183
194        2.9654155562789700E+184
195        2.9050574230332400E+185
196        2.8462271763748500E+186
197        2.7888786384332300E+187
198        2.7329672514337500E+188
199        2.6784500130627100E+189
200        2.6252854147189800E+190
201        2.5734333825096400E+191
202        2.5228552208549000E+192
203        2.4735135585746800E+193
204        2.4253722973360600E+194
205        2.3783965623473900E+195
206        2.3325526551906800E+196
207        2.2878080086898100E+197
208        2.2441311437173500E+198
209        2.2014916278479300E+199
210        2.1598600357708800E+200
211        2.1192079113792600E+201
212        2.0795077314569300E+202
213        2.0407328708890100E+203
214        2.0028575693251400E+204
215        1.9658568992284400E+205
216        1.9297067352464100E+206
217        1.8943837248433400E+207
218        1.8598652601367000E+208
219        1.8261294508830000E+209
220        1.7931550985611100E+210
221        1.7609216715038500E+211
222        1.7294092810308800E+212
223        1.6985986585382500E+213
224        1.6684711335023400E+214
225        1.6390086123576400E+215
226        1.6101935582101100E+216
227        1.5820089713494800E+217
228        1.5544383705256600E+218
229        1.5274657749562500E+219
230        1.5010756870333600E+220
231        1.4752530756998600E+221
232        1.4499833604662600E+222
233        1.4252523960410200E+223
234        1.4010464575481100E+224
235        1.3773522263071100E+225
236        1.3541567761520700E+226
237        1.3314475602666900E+227
238        1.3092123985140400E+228
239        1.2874394652404600E+229
240        1.2661172775339200E+230
241        1.2452346839181200E+231
242        1.2247808534643800E+232
243        1.2047452653043500E+233
244        1.1851176985271100E+234
245        1.1658882224451000E+235
246        1.1470471872140100E+236
247        1.1285852147923300E+237
248        1.1104931902270100E+238
249        1.0927622532521900E+239
250        1.0753837901884900E+240
251        1.0583494261310500E+241
252        1.0416510174149300E+242
253        1.0252806443468600E+243
254        1.0092306041930300E+244
255        9.9349340441293200E+244
256        9.7806175612961400E+245
应yangchuanju之邀。

yangchuanju

lusishun 发表于 2021-12-21 06:51
我正思考用这个公式的加强式，证明此类四素数，无穷多。

不管你的计算式对不对，用这种方法都证明不了4生最密素数无穷多；至多计算出某个正整数n以内最密4生素数大约有多少组。
为什么说是大约呢？因为各种计算式，大傻的，白新岭的，……以及你的，在n不是很大的误差都很大，只有当n趋近于无穷大时，才会趋近于相等。中间又有一个误差问题，误差问题你不考虑就证明不了任何东西。

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-12-20 19:03
10的n次方以内最密四生素数组数
A050258        A055738
1 1        1 0

10^n        最密4生素数理论值        杨先生提供的实际值        实值-理论        相对误差
2        0        2        2        100.00000000%
3        3        5        2        40.00000000%
4        11        12        1        8.33333333%
5        40        38        -2        -5.26315789%
6        170        166        -4        -2.40963855%
7        850        899        49        5.45050056%
8        4722        4768        46        0.96476510%
9        28384        28388        4        0.01409046%
10        181062        180529        -533        -0.29524342%
11        1209944        1209318        -626        -0.05176471%
12        8394568        8398278        3710        0.04417572%
13        60075450        60070590        -4860        -0.00809048%
14        441290899        441296836        5937        0.00134535%
15        3314551625        3314576487        24862        0.00075008%
16        25379451643        25379433651        -17992        -0.00007089%
17        1.9762249314400000E+11        197622677481         184337        0.00009328%
理论值与实际值比对，精度蛮高，正负交叉。理论值从始至终用同一公式。

lusishun

lusishun 发表于 2020-6-18 03:28
小于n的四生素数对数的公式：
（n-8）/6·（1-4//5）·（1-4/7）·（1-4/11）·（1-4/13）·………·（1-4 ...

该式的加强式：
（n-8）/6·（1-4/5）（1-4/5）·（1-4/7）·（1-4/11）·（1-4/13）·………（1-4/p）.
其中p为小于n的算数平方根的第二大素数。

若存在n，使的该式子的值大于等于1，就证明了，此类四素数组，有无穷多。

（这是我的思路）