a(1)=1，a(2)=2，a(n)=2a(n-1)+a(n-2)，证明：n≥5 时，a(n) 的质因数中有一模 4 余 1

ysr

这个很有意思，如何计算证明的?哈哈哈，下班再讨论！

ysr

这个不好证明，天山草老师发的对主楼问题的证明，我还没有弄明白呢，啊啊！

蔡家雄

，，，，，，，，，，，，，，，，，，

蔡家雄

题：A(1)=1，A(2)=2，A(n)=2A(n-1)+A(n-2)，求证 n≥5 时，A(n) 的质因数中有一模 4 余 1 .

解：分奇数项与偶数项讨论之，

A(n)=1，2，5，12，29，70，169，408，......

B(n)=1，3，7，17，41，99，239，577，......

C(n)=1，6，35，204，1189，6930，40391，......

由费马小定理：a, b>0,

2x+1= a^2+b^2 必有一个4d+1型的素数，得

奇数项的A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 必有一个4d+1型素数，

偶数项的n分4k+2 和 4k 两种情况，

偶数项的n=4k+2,     A(4k+2) 能被 A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 整除，必有一个4d+1型素数，

而 4k 又分 k为奇数（用2k+1作变换）和 k为偶数（用2k作变换）两种情况，

偶数项的n=4(2k+1), A(8k+4) 能被 A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 整除，必有一个4d+1型素数，

偶数项的n=4(2k),      A(8k)     能被 B(4k)     =[4*C(k)]^2+1^2        整除，必有一个4d+1型素数，

故：A(1)=1，A(2)=2，A(n)=2A(n-1)+A(n-2)，当 n≥5 时，A(n) 的质因数中有一模 4 余 1 .