没有思路怎么解。。三道我自己感觉有点难的几何最值

elim

王守恩能不能用Mathematica求
\(a_1=1,\,a_{n+1}=\ln(1+a_n),\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n}=?\)

王守恩

elim 发表于 2021-2-7 09:49
王守恩能不能用Mathematica求
\(a_1=1,\,a_{n+1}=\ln(1+a_n),\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n(na ...

这软件我也不会，是跟着陆老师，天山草，uk702，Nicolas2050，数学研发的大侠们学了一点点点。
1，a[1] = 1; a[n_] := Log[a[n - 1] + 1]
   Table[a[n], {n, 1, 7}]
   {1, Log[2], Log[1 + Log[2]], Log[1 + Log[1 + Log[2]]], Log[1 + Log[1 + Log[1 + Log[2]]]],
   Log[1 + Log[1 + Log[1 + Log[1+Log[2]]]]], Log[1+Log[1+Log[1+Log[1+Log[1+Log[2]]]]]]}
2，a[1] = 1; a[n_] := Log[a[n - 1] + 1]
   N[Table[a[n], {n, 1, 20}], 5]
   {1.0000, 0.69315, 0.52659, 0.42304, 0.35279, 0.30217, 0.26403, 0.23431, 0.21051, 0.19104,
   0.17483, 0.16112, 0.14939, 0.13923,0.13035, 0.12253, 0.11558, 0.10938, 0.10380, 0.098758}
3，a[1] = 1; a[n_] := Log[a[n - 1] + 1]
   Table[(n (-2 + n a[n]))/Log[n], {n, 2, 6}]
   {(2 (-2 + 2 Log[2]))/Log[2], (3 (-2 + 3 Log[1 + Log[2]]))/Log[3],
   (4 (-2 + 4 Log[1 + Log[1 + Log[2]]]))/Log[4],(5(-2+5Log[1+Log[1+Log[1+Log[2]]]]))/Log[5],
   (6 (-2 + 6 Log[1 + Log[1 + Log[1 + Log[1 + Log[2]]]]]))/Log[6]}
4，a[1] = 1; a[n_] := Log[a[n - 1] + 1]
   N[Table[(n (-2 + n a[n]))/Log[n], {n, 2, 19}], 5]
   {-1.7708, -1.1475, -0.88829, -0.73329, -0.62611, -0.54596, -0.48298, -0.43177, -0.38905,
   -0.35272, -0.32131, -0.29382, -0.26949, -0.24776, -0.22820, -0.21047, -0.19430, -0.17947}
5，a[1] = 1; a[n_] := Log[a[n - 1] + 1]
   N[Table[(n (-2 + n a[n]))/Log[n], {n, 37, 51}], 5]
   {-0.028411, -0.023398, -0.018580, -0.013945, -0.0094804, -0.0051765, -0.0010235,
   0.0029873, 0.0068641, 0.010614, 0.014245, 0.017762, 0.021172, 0.024480, 0.027691}
6，a[1] = 1; a[n_] := Log[a[n - 1] + 1]
   Limit[(n (-2 + n a[n]))/Log[n], n -> \[Infinity]]
   Indeterminate
   $RecursionLimit::reclim: Recursion depth of 1024 exceeded.
看 5：好像在慢慢长大。

elim

这充分说明软件搞这种递归方式定义的序列是不可能的。换句话说，有些领域机器永远搞不过人。这个极限等于\(2/3\). 但需要\(n>10^{400}\) 才有 \({\large|\frac{n(na_n-2)}{\ln n}-\frac{2}{3}|}< 0.01\) 就是量子计算机算这种东西都毫无希望。这个极限不是计算出来的，是分析出来的。

elim

FGNBGHJUOI

elim 发表于 2021-2-9 03:00

解答过程细致，思路清晰，很nice

天山草@

第三题还没有人做？ 我来试试。




也就是说，当 E 点无限靠近 A 点时有最大值  2 + 4/Sqrt[3] = 4.3094 ...

当 E 点无限靠近 D 点时有最小值  2 Sqrt[2] = 2.828 ....

elim

天山草@ 发表于 2021-2-9 07:32
第三题还没有人做？ 我来试试。

解得好！
看动画： http://mathchina.elinkage.net/cg ... um=1&topic=1134

\(F\) 的最低位置是什么？

doletotodole

elim 发表于 2021-2-6 08:49
第二题思路： 设\(\,\angle OAB=\theta,\) 则\(\,AB=\sec\theta,\;C-A=(3-\sec\theta)e^{i\theta}\)

e老师厉害, 学习了.
第二题有没有纯几何解法, 是否代数无法用初等函数分析就意味着没有欧式几何解法?

elim

doletotodole 发表于 2021-2-10 05:19
e老师厉害, 学习了.
第二题有没有纯几何解法, 是否代数无法用初等函数分析就意味着没有欧式几何解法?

我比较满意的是第一题的解法。第二题的实际解答证明它不能通过有限步几何操作得到。所以没有纯几何解法。

elim

第三题没想到也不平凡。如何严格地证明 |BE|+|EF| 是 u=|AE| 的严格单调减函数曾经废了我不少时间。