请春风晚霞计算两个极限

jzkyllcjl

春风晚霞网友：第一，elim的A（n）及其分子的极限的极限计算，违背了菲赫金哥尔茨说的∞/∞的应用条件，所以他的计算无效。
第二，根据elim的将na(n) )替换为(2+1/3a(n）+O((a(n))^2) 后求极限的做法， 所以将这个替换代入A(n)的分子的后，就得到A(n)的分子的极限lim n（na(n)-2）=lim n（1/3a(n）+O((a(n))^2)=2/3.。 于是得到A(n)的极限为0，不是你算的2/3。
第三，在你不承认以上两点的请款下，我才提出请你使用施笃兹公式计算A（n）分子的极限，这个计算虽然麻烦，但也是可行的。对于你提出的两个条件也是满足的。事实上，第一，elim已经证明了Yn的分母趋向于0，，因此Yn趋向于无穷大，这就是你说的一个条件；关于点掉增大的条件，现在证明如下：
由于（n+1）a((n+1)-na(n)=a(n)-1/2 (a^2(n))=a(n)(1-1/2 a(n)),是个正数，所以另一个条件也成立。你若想计算，就请你计算吧。

elim

jzkyllcjl 吃上了狗屎，不可理喻，完全不懂分析．算错极限是必然的。跟他说理是作无用功．他的所有东西无一被人类数学认可和关注．这个论坛是他最后刷存在感的地方了．可怜可恶．

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-2-10 15:18
春风晚霞网友：第一，elim的A（n）及其分子的极限的极限计算，违背了菲赫金哥尔茨说的∞/∞的应用条件，所 ...

第一、elim先生计算有效
        网上百度，我们亦可得如下信息：O'Stolz定理是处理数列不定式极限的有力工具，一般用于*/∞型的极限(即分母趋于正无穷大的分式极限，\(\color{red}{分子趋不趋于无穷大无所谓}\)。所以求形如*/∞类型的极限时，根本就不需要预判分子*是否趋向无穷。这一点百度“施篤兹定理应用举例”，我们从陈兆斗先生“关于施篤兹定理应用举例”的视频讲座也没预判分子*是否趋向无穷得到应证。至于“菲赫金哥尔茨介绍这个定理及其应用的第一句话是’为着要确定∞/∞型的不定式的极限’”，我们认为菲氏说的是介绍施篤兹定理的必要性。不然的话，百度百科和陈兆斗先生都错了。其实，就算elim 先生预判了\(\lim\limits_{n\to\infty}n(na_n-2\))=∞；jzkyllcjl也会生岀什么花样来否定elim先生的。
第二、elim先生论证合理，望jzkyllcjl深思
        我将在本贴的第三部分论证A(n)分子的极限是未定式，所以先生在原贴第二部分对elim先生的评价正确与否，望先生自酌。
第三、改写A(n)分子后不满足施篤兹定理条件
        关于验证\(Y_n\)单调递增和\(\lim\limits_{n\to\infty}Y_n\)=∞，jzkyllcjl作了如下证明：①、“elim已经证明了Yn的分母趋向于0，因此Yn趋向于无穷大，这就是你说的一个条件”；②、“关于点掉增大的条件，现在证明如下：由于（n+1）a((n+1)-na(n)=a(n)-1/2 (a^2(n))=a(n)(1-1/2 a(n)),是个正数，所以另一个条件也成立。”先生在①中“证明”了\(\lim\limits_{n\to\infty}Y_n\)=∞。免强可以说\(Y_n\)满足施篤兹定理条件②。只可惜这个证明jzkyllcjl先生是剽窃elim先生的证明结果，即便如此其证明难度也比证\(\lim\limits_{n\to\infty}ln n\)=∞大得多。②的证明更是离题万里。首先只有极限意义下等式（n+1）a((n+1)-na(n)=a(n)-1/2 (a^2(n))=a(n)(1-1/2 a(n))才成立。其次该等式与数列{\(Y_n\)}单调递增关系并不密切，较证数列{lnn}单调递增困难得多。所以先生对\(Y_n\)满足施篤兹定理条件①的验证只能算免强适合。但\(X_n\)、\(Y_n\)不满足施笃兹定理条件③，这是因为\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(X_{n+1}-X_n\over  Y_{n+1}-Y_n\)=\(1\over ∞-∞\)；因为\(1\over ∞-∞\)是未定式，所以\(X_n\)、\(Y_n\)不满足施篤兹定理条件③，故此不能用施篤兹定理求A(n)分子的极限。因此jzkyllcjl先生对elim先生的评判是错误的。这就是我按jzkyllcjl先生的指示对A(n)分子的极限的论证结果，想必又是“费力不讨好”“答非所问”吧！

jzkyllcjl

春风晚霞网友：第一，我是学数学的，对任何人的正确论述，我都可以接受，你的正确论述我也是接受的，例如你认为无尽小数有无穷多个数字，我就接受了。第二，关于单调递增问题再说详细些。 Y(n+1)-Yn={na(n)-(n+1)a(n+!)}/()()>0, 所以单调递增。式中分母的两个括号的内容，你是应当知道的；的a(n+1) 的级数表达式，你也应当是知道的。这个单调递增性质你应当是能证明的。 第三，你说的坟母中的不定式∞-∞，在elim证明na(n) 中也存在，这个问题③可以在计算过程中解决。第四，21楼中我对A(n)的分子的极限lim n（na(n)-2）=lim n（1/3a(n）+O((a(n))^2)=2/3.。 于是得到A(n)的极限为0，不是你算的2/3。你为什么不接受。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-2-11 16:59
春风晚霞网友：第一，我是学数学的，对任何人的正确论述，我都可以接受，你的正确论述我也是接受的，例如你 ...

jzkyllcjl先生：第一，你没有你说的那么谦虚，虽说你是学数学的，但你从来不讲数理。例如对于无尽小数，你只知道它们“有无穷多个（位）数字”，但你不能正确认识此无尽与彼无尽，不能从本质上区分无尽循环小数与无尽不循环小数。不能正确认识每一个无尽小数都有一个与之等价的有限表示。
第二，仅就elim先生给岀的算式A(n)，如果A(n)的分子为\(x_n\)，分母为\(y_n\)，则\(y_n\)=lnn满足施篤滋定理条件①②③是显然，特别是满足①②两个条件，几乎不证自明。对于先生改写后的\(Y_n\)验证其满足施篤慈定理条件①②难度也就大得多。像这样的事实你是不愿意承认的。说实话，学数学的最忌讳的就是避简就繁。我对你的论证提岀质疑，并不等于我就不知道无穷级数和无穷级数的性质。你改写后的\(Y_n\)满足施篤兹定理条件①②我当然能够证明，不过我为什么要舍本求末去做那种避简就繁的蠢事呢？
第三、由于你的\(X_n\)、\(Y_n\)在验证施篤兹定理条件③时分母成为∞-∞的未定式，未定式固然可以在计算中解决，但解决后得出你的\(X_n\over Y_n\)的极限无论是无穷还是有限，那问题不又回到了你未改写之前了吗？那样你的改写又有什么意义呢？
第四、并非我不接受您的计算。关键是您的等式\(\lim\limits_{n\to\infty}n(na_n-2)\)\(\color{red}{=}\)\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(na_n\over 3\)+O\((a_n^2)\))=\(2\over 3\)，缺乏严密地论证，红色等号疑似有错，能否给出详解？以便我接受。
即此，祝你春节快乐！

elim

由 \({na_n={\large\frac{n}{a_n^{-1}}}\sim\large\frac{\Delta n}{\Delta a_n^{-1}}}={\large\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}}=2+\frac{1}{\large 3}a_n+O(a_n^2)\)
可得 \(na_n\) 与 \(2+{\large\frac{a_n}{3}}\) 有相同的极限，但推不出 \(na_n-2\) 与 \(\large\frac{a_n}{3}\) 是等价无穷小.
事实上前者与\(1/\ln n\) 同阶，后者与 \(1/n\) 同阶。
jzkyllcjl 花了上千贴试图证明两者等价。 现在又来了。
他顽固地认为 \(\lim u_n\ = \lim v_n\implies u_n\sim v_n\) 但这件事情对无穷小量一般是不对的。

jzkyllcjl

elim 发表于 2021-2-11 18:57
由 \({na_n={\large\frac{n}{a_n^{-1}}}\sim\large\frac{\Delta n}{\Delta a_n^{-1}}}={\large\frac{a_na_{ ...

elim 网友：祝你春节愉快。你26楼的第一行，我同意并支持。由此两端减2，可以得到 ：
（na(n)-2）=1/3a(n）+O((a(n))^2，两端的极限都是0，且是相互等价的无穷小。
所以，根据乘积极限运算时，可以使用等价无穷小替换的法则，就可以得到：
lim n（na(n)-2）=lim n（1/3a(n）+O((a(n))^2)=2/3.。 于是得到A(n)的极限为0，不是你算的2/3。

elim

jzkyllcjl , 你说 \(na_n-2),\;a_n/3\) 是等价无穷小这件事情，等价于你吃上了狗屎。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2021-2-11 17:55
jzkyllcjl先生：第一，你没有你说的那么谦虚，虽说你是学数学的，但你从来不讲数理。例如对于无尽小数 ...

春风晚霞网友：谢谢你，我也祝你新春愉快。第一， 谢谢你，知道了无穷是达不到的想象性数学元素，∞/∞,∞-∞ 的不定式都需要 使用∞来源的有限表达式去解决。对于无尽小数，也需要如此，即无尽小数依赖于有尽小数，有尽小数 0.9999……9，永远小于1，他只能随着0的个数增多而趋向于1，但永远达不到1.
第二，你第四说的，缺乏不严密指出在哪里？我那个写法是根据elim的等式 （na(n)-2）=（1/3a(n）+O((a(n))^2写出的，是不是在na(n)/3,之后的O之前也应当加上n？、如果是的话，我谢谢你的指出，接受你的指教。

elim

jzkyllcjl , 你说 \(na_n-2),\;a_n/3\) 是等价无穷小这件事情，等价于你吃上了狗屎。