勾股判断题

费尔马1 · 发表于 2021-2-15 07:18

yangchuanju 发表于 2021-2-15 06:02
按照程老师在16楼中介绍的方法，对a+b=2737=7*17*23的13组解
进行复核，均正确。2737的3个素因子都是是 ...

杨老师说的对，非常感谢老师给予复核。规律，一个素因子对应一组勾股数，二个素因子的积对应二组勾股数，为什么三个素因子的积对应的不是三组勾股数，而是4组呢？再说了，四个素因子的积对应几组勾股数呢？五个素因子的积对应几组勾股数呢？……，这个问题还有待探讨？

ysr · 发表于 2021-2-15 07:54

x+y=101有组解： 0
x+y=102有1组解： 0/解/30/72/78
x+y=103有2组解： 0/解/48/55/73
x+y=104有2组解： 0
x+y=105有3组解： 0/解/45/60/75
x+y=106有3组解： 0
x+y=107有3组解： 0
x+y=108有3组解： 0
x+y=109有3组解： 0
x+y=110有3组解： 0
x+y=111有3组解： 0
x+y=112有4组解： 0/解/48/64/80
x+y=113有5组解： 0/解/36/77/85
x+y=114有5组解： 0
x+y=115有6组解： 0/解/40/75/85
x+y=116有6组解： 0
x+y=117有6组解： 0
x+y=118有6组解： 0
x+y=119有10组解： 0/解/20/99/101/解/35/84/91/解/39/80/89/解/51/68/85
x+y=120有10组解： 0
x+y=121有10组解： 0
x+y=122有10组解： 0
x+y=123有11组解： 0/解/60/63/87
x+y=124有12组解： 0/解/28/96/100
x+y=125有12组解： 0
x+y=126有13组解： 0/解/54/72/90
x+y=127有14组解： 0/解/15/112/113
x+y=128有14组解： 0
x+y=129有14组解： 0
x+y=130有14组解： 0
x+y=131有14组解： 0
x+y=132有14组解： 0
x+y=133有15组解： 0/解/57/76/95
x+y=134有15组解： 0
x+y=135有15组解： 0
x+y=136有16组解： 0/解/40/96/104
x+y=137有17组解： 0/解/65/72/97
x+y=138有18组解： 0/解/48/90/102
x+y=139有18组解： 0
x+y=140有19组解： 0/解/60/80/100
x+y=141有20组解： 0/解/36/105/111
累计20组，可能有重复的。

ysr · 发表于 2021-2-15 08:04

本帖最后由 ysr 于 2021-2-15 00:20 编辑

好像没有重复的，140内有32+20=52组解。

费尔马1 · 发表于 2021-2-15 08:22

ysr 发表于 2021-2-15 08:04
好像没有重复的，140内有32+20=52组解。

老师您好:您刚发的那个消息我没有明白，是不是x+y=k就是a+b=k？

ysr · 发表于 2021-2-15 08:29

费尔马1 发表于 2021-2-15 00:22
老师您好:您刚发的那个消息我没有明白，是不是x+y=k就是a+b=k？

对的，一样，就是a+b=k。换个字母，换汤不换药。

ysr · 发表于 2021-2-15 08:31

费尔马1 发表于 2021-2-15 00:22
老师您好:您刚发的那个消息我没有明白，是不是x+y=k就是a+b=k？

应该是32+19=51，对吗？好像这样算没有重复的？

费尔马1 · 发表于 2021-2-15 08:39

已知a^2+b^2=c^2，且a+b=k问a、b、c有多少组正整数解并写出这些解？
解:a+b=k，令k有n个素因子，且每个素因子都能表示为a+b，那么，分步求解的个数，方法如下:
一个素因子对应一组勾股数，
二个素因子的积对应二组勾股数，
三个素因子的积对应四组勾股数，
4个素因子的积对应8组勾股数，
……………………………………
n个素因子的积对应2^(n－1)组勾股数，
这样，把这n个素因子分别按照1，2，3，4，5，……，n，个素因子之积，进行分类组合，再分别求出每个组合对应的勾股数组数，最后，合计总数，即a+b=k的总解数，注，k有n个不同的素因子。
以上这个方法是猜想，请老师们验证？谢谢！

yangchuanju · 发表于 2021-2-15 10:45

费尔马1 发表于 2021-2-15 08:39
已知a^2+b^2=c^2，且a+b=k问a、b、c有多少组正整数解并写出这些解？
解:a+b=k，令k有n个素因子，且每个素 ...

用84847=7*17*23*31做试验，共得40组解，其中4素因子组8组，40=1*4+2*6+4*4+8：
a b c 因子
36363 48484 60605 7
24955 59892 64883 17
29512 55335 62713 23
19159 65688 68425 31
14260 70587 72013 119
27807 57040 63457 119
8959 75888 76415 161
23188 61659 65875 161
20332 64515 67643 217
33235 51612 61387 217
5859 78988 79205 391
34720 50127 60977 391
7084 77763 78085 527
40572 44275 60053 527
12495 72352 73423 713
39984 44863 60095 713
2263 82584 82615 2737
17484 67363 69595 2737
31992 52855 61783 2737
40672 44175 60047 2737
5727 79120 79327 3689
10488 74359 75095 3689
31027 53820 62123 3689
41607 43240 60007 3689
4947 79900 80053 4991
11220 73627 74477 4991
26520 58327 64073 4991
38947 45900 60197 4991
14140 70707 72107 12121
18487 66360 68887 12121
23940 60907 65443 12121
34888 49959 60935 12121
2035 82812 82837 84847
15375 69472 71153 84847
17292 67555 69733 84847
20992 63855 67217 84847
25063 59784 64825 84847
28792 56055 63017 84847
33835 51012 61213 84847
37584 47263 60385 84847

费尔马1 · 发表于 2021-2-15 11:35

yangchuanju 发表于 2021-2-15 10:45
用84847=7*17*23*31做试验，共得40组解，其中4素因子组8组，40=1*4+2*6+4*4+8：
a b c ...

杨老师，您的这个40组的答案是正确的，也恰恰符合我的上述猜想。请老师再试验5个素因子的，我也抽时间试验。如果验证猜想是正确的，那么，这道题又为数学大厦添了一块砖啊！

费尔马1 · 发表于 2021-2-15 11:49

已知a^2+b^2=c^2，且a+b=k问a、b、c有多少组正整数解并写出这些解？
解:a+b=k，令k有n个素因子，且每个素因子都能表示为a+b。
猜想:a、b、c正整数解的组数是:
C(n,1)*2^0+C(n,2)*2^1+C(n,3)*2^2+C(n,4)*2^3+C(n,5)*2^4+……+C(n,i)*2^(i－1)+……+C(n,n)*2^(n－1)。
其中，C(n,i)表示从n个元素中取出i个元素的组合数。
注:此猜想若正确，这可是一道大题啊！
请老师们继续探讨！谢谢！

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