求证:方程没有整数解

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-2-23 17:31
已将16个素因子连乘，最终得到10^196+10^98+1，16个素因子可表示成3*7^3*k的形式，复核正确。
随着指数的 ...

19楼帖子错把196输成197了，错数已改正！
16个素因子的第一个就是3，故100...010...001是3的倍数。
老师的点评不正确，其一点评中也有一个笔下误，10的二个指数不能都是n；其二原题目没有要求指数是3的倍数！

太阳

a是3的倍，能不能给出反例？

yangchuanju

10^2a+10^a+1共2a+1位，它可由10^3a/9（含3a个1,3a位）再除以10^a/9（含a个1，a位）得到。
前述10^(2*98)+10^98+1是由10^294/9除以10^98/9得到的；同样10^(2*81)+10^81+1是由10^243/9除以10^81/9得到的。
原指数一定是3的倍数，除以10^a/9后剩余的10^2a+10^a+1就是2a+1位了，a一般不再是3的倍数了。

经查，在10^500/9的所有分解式中不再有第二个含3个相同素因子的111...1，因而不再有含3个相同素因子的100...010...001了，但不排除更大的分解式中含有3个或更多个相同素因子的111...1和100...010...001.

yangchuanju

33...36...67可由100...010...001除以3得到，位数是偶数，3的个数和6与7的个数相同。
若限定33...36...67的位数是3的倍数，则33...36...67的素因子都可以表示成1+18x的形式；
若不限定位数是3的倍数，则它们的分解式中含有1+18x及非1+18x形式的各种素因子。为什么？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-2-23 18:26
a是3的倍，能不能给出反例？

素因子7出现在(10^6-1)的分解式中，
素因子7出现在(10^6-1)、(10^12-1)、(10^18-1)、(10^24-1)、(10^30-1)、(10^36-1)的分解式中；
7的平方出现在（10^(6*7)-1)=(10^42-1)的分解式中，
7的平方出现在（10^42-1)、（10^84-1)、（10^126-1)、（10^168-1)、（10^210-1)、（10^252-1)的分解式中；
7的立方出现在（10^(6*7*7)-1)=(10^294-1)的分解式中，
7的立方出现在（10^294-1)、（10^588-1)、（10^882-1)、（10^1176-1)、（10^1470-1)、（10^1764-1)的分解式中；
7的四次方方出现在（10^(6*7*7*7)-1)=(10^2058-1)的分解式中，……
7的立方出现在（10^294-1)的分解式中，98不是6的倍数，(10^98-1)中没有素因子7，相除得到(10^196+10^98+1),
故素因子7的立方出现在(10^196+10^98+1)的分解式中。

素因子13出现在(10^6-1)的分解式中，
素因子13出现在(10^6-1)、(10^12-1)、(10^18-1)、(10^24-1)、(10^30-1)、(10^36-1)、
  (10^42-1)、(10^48-1)、(10^54-1)、(10^60-1)、(10^66-1)、(10^72-1)的分解式中；
13的平方出现在（10^(6*13)-1)=(10^78-1)的分解式中，
13的立方出现在（10^(6*13*13)-1)=(10^1014-1)的分解式中，
13的四次方方出现在（10^(6*13*13*13)-1)=(10^13182-1)的分解式中，……
13的立方出现在(10^1014-1)的分解式中，1014/3=338不是6的倍数，(10^338-1)中没有素因子13，相除得到(10^676+10^338+1),
故素因子13的立方出现在(10^676+10^338+1)的分解式中。

反例多多，但10^2a+10^a+1的指数a不是3的倍数。

yangchuanju

素因子3的平方出现在(10^1-1)=9、(10^2-1)=99的分解式中，
素因子3的立方出现在(10^3-1)=999、(10^6-1)=999999的分解式中，
素因子3的四次方出现在(10^9-1)、(10^18-1)的分解式中，
素因子3的五次方出现在(10^27-1)、(10^54-1)的分解式中，
素因子3的六次方出现在(10^81-1)、(10^162-1)的分解式中，
素因子3的七次方出现在(10^243-1)、(10^486-1)的分解式中，……
素因子3的七次方出现在（10^243-1)的分解式中，(10^81-1)中含6个素因子3，
相除得到的(10^162+10^81+1)仅含一个素因子3。

素因子11出现在(10^2-1)=99的分解式中，
素因子11出现在(10^2-1)、(10^4-1)、(10^6-1)、(10^8-1)、(10^10-1)、(10^12-1)、(10^14-1)、(10^16-1)、(10^18-1)、(10^20-1)的分解式中，
素因子11的平方出现在(10^(2*11)-1)=(10^22-1)的分解式中，
素因子11的平方出现在(10^22-1)、(10^44-1)、(10^66-1)、(10^88-1)、(10^110-1)、(10^132-1)、(10^154-1)、(10^176-1)、(10^198-1)、(10^220-1)的分解式中，
素因子11的立方出现在(10^(2*11*11)-1)=(10^242-1)的分解式中，……
当指数是3的倍数3n，除以(10^n-1)转换成10^2n+10^n+1时，它的分解式中才会出现素因子11。