偶数表为两个素数和的数量的波动性的产生原因

愚工688

使用随偶数变化的修正系数 t2有效的改善了哈-李偶数素对计算式的计算精度。

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  G(12345678900) = 44116204  ;Xi(M)≈ 44053641.15  δxi(M)≈?-0.001418 ( 1.09384 )
  G(12345678902) = 17649822  ;Xi(M)≈ 17628758.45  δxi(M)≈?-0.001193 ( 1.09384 )
  G(12345678904) = 18925708  ;Xi(M)≈ 18900519     δxi(M)≈?-0.001331 ( 1.09384 )
  G(12345678906) = 38999134  ;Xi(M)≈ 38946933.02  δxi(M)≈?-0.001339 ( 1.09384 )
  G(12345678908) = 16533263  ;Xi(M)≈ 16511855.57  δxi(M)≈?-0.001295 ( 1.09384 )
  time start =10:21:11, time end =10:22:02

重生888@

愚工688 发表于 2021-3-30 10:34
使用随偶数变化的修正系数 t2有效的改善了哈-李偶数素对计算式的计算精度。

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   
...

先生计算精度。牛牛牛！

愚工688

这个素对计算式 Xi(M)在偶数百亿以上时的计算值一般都小于真值，并且随着偶数越大，相对误差值越小（绝对值则逐渐增大）。
因此在大于百亿范畴区域内，可以肯定的说计算式Xi(M)是个下界公式。

  Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  G(21565644100) = 65396692  ;Xi(M)≈ 65265617.61  δxi(M)≈?-0.002004 ( t2=1.090689 )
  G(21565644102) = 56533440  ;Xi(M)≈ 56419977.32  δxi(M)≈?-0.002007 ( t2=1.090689 )
  G(21565644104) = 27735983  ;Xi(M)≈ 27684834.89  δxi(M)≈?-0.001844 ( t2=1.090689 )
  G(21565644106) = 27485311  ;Xi(M)≈ 27429342.56  δxi(M)≈?-0.002036 ( t2=1.090689 )
  G(21565644108) = 55049859  ;Xi(M)≈ 54943422.5   δxi(M)≈?-0.001933 ( t2=1.090689 )
  time start =10:43:22, time end =10:44:36

在10亿-50亿区域则相对误差绝对值则处于低位，但是会出现正相对误差值的偶数。

S( 67108864 ) = 153850      ;Xi(M)≈ 153564.94    δxi( 67108864 )≈-0.0018531  (t2=  1.125787 )
  S( 134217728 ) = 283746     ;Xi(M)≈ 283681.76    δxi( 134217728 )≈-0.0002263  (t2=  1.121363 )
  S( 268435456 ) = 525236    ;Xi(M)≈ 525518.32    δxi( 268435456 )≈0.0005375  (t2=  1.117021 )
  S( 536870912 ) = 975685     ;Xi(M)≈ 976059.7     δxi( 536870912 )≈0.0003840  (t2=  1.112756 )
  S( 1073741824 ) = 1817111   ;Xi(M)≈ 1817274.32   δxi( 1073741824 )≈0.0000899  (t2=  1.108563 )

  S( 2147483648 ) = 3390038    ;Xi(M)≈ 3391183.48   δxi( 2147483648 )≈0.0003379  (t2=  1.10444 )
  S( 4294967296 ) = 6341424   ;Xi(M)≈ 6341709.32   δxi( 4294967296 )≈0.00004499  (t2=  1.100383 )
  S( 8589934592 ) = 11891654   ;Xi(M)≈ 11883082.81  δxi( 8589934592 )≈-0.0007208 (t2=  1.096388 )
  S( 17179869184 ) = 22336060  ;Xi(M)≈ 22308374.81  δxi( 17179869184 )≈-0.001239  (t2=  1.092454 )
  S( 34359738368 ) = 42034097   ;Xi(M)≈ 41954230.12  δxi( 34359738368 )≈-0.001900  (t2=  1.088577 )

愚工688

可以看到偶数M=2^35——2^45内绝对值低位在 δxi( 4294967296 )≈0.00004499 处。
试试看42亿处的连续偶数的素对相对误差情况：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  G(4200000000) = 19883421 ;Xi(M)≈ 19878665.35        δxi(M)≈?-0.0002392
  G(4200000002) = 6905212  ;Xi(M)≈ 6902314.58           δxi(M)≈?-0.0004196
  G(4200000004) = 6228743  ;Xi(M)≈ 6225735.82           δxi(M)≈?-0.0004828
  G(4200000006) = 12433198 ;Xi(M)≈ 12424166.14        δxi(M)≈?-0.0007264
  G(4200000008) = 7353144  ;Xi(M)≈ 7351864.15           δxi(M)≈?-0.0001741
  G(4200000010) = 8304105  ;Xi(M)≈ 8299855.06           δxi (M)≈?-0.0005118
  G(4200000012) = 13561310 ;Xi(M)≈ 13553635.61        δxi(M)≈?-0.0005659
  G(4200000014) = 7456581  ;Xi(M)≈ 7454499.81           δxi(M)≈?-0.0002791
  G(4200000016) = 6234475  ;Xi(M)≈ 6229985.56           δxi (M)≈?-0.0007202
  G(4200000018) = 12784083 ;Xi(M)≈ 12779142.07        δxi(M)≈?-0.0003865
  G(4200000020) = 8332569  ;Xi(M)≈ 8329050.15           δxi(M)≈?-0.0004223
  G(4200000022) = 6215521  ;Xi(M)≈ 6212083.1             δxi(M)≈?-0.0005531
  G(4200000024) = 13807887 ;Xi(M)≈ 13804629.23       δxi (M)≈?-0.0002360
  G(4200000026) = 6239933  ;Xi(M)≈ 6238075.03           δxi(M)≈?-0.0002978
  G(4200000028) = 7455997  ;Xi(M)≈ 7454499.84           δxi(M)≈?-0.0002008
  time start =19:34:35, time end =19:35:48

显然该区域的偶数的素对计算值的相对误差首位有效值都在万分位上。比较前面几楼偶数的相对误差的首位有效值处于千分位，绝对值更小一些。

愚工688

使用连乘式计算偶数素对下界值，可以从排除了波动系数 k(m)影响的区域下界计算值infS(m)上面看出其数值的变化意味着什么？
以今天日期的百倍作随机偶数，计算连续偶数的素对的下界值inf(M)，区域下界值infS(m)，看看情况怎么样？
区域下界值infS(m)=   inf(M)/ k(m)
inf( 2022080800 )≈  4293481.0 , jd ≈0.99395  ,infS(m) = 3190157.32 , k(m)= 1.34585
inf( 2022080802 )≈  7733714.7 , jd ≈0.99367  ,infS(m) = 3190157.32 , k(m)= 2.42424
inf( 2022080804 )≈  3395501.9 , jd ≈0.99362  ,infS(m) = 3190157.33 , k(m)= 1.06437
inf( 2022080806 )≈  3190157.3 , jd ≈0.99374  ,infS(m) = 3190157.33 , k(m)= 1
inf( 2022080808 )≈  7094372.6 , jd ≈0.99354  ,infS(m) = 3190157.33 , k(m)= 2.22383
inf( 2022080810 )≈  4537112.7 , jd ≈0.99357  ,infS(m) = 3190157.33 , k(m)= 1.42222
inf( 2022080812 )≈  3261049.7 , jd ≈0.99340  ,infS(m) = 3190157.34 , k(m)= 1.02222
inf( 2022080814 )≈  7369775.3 , jd ≈0.99360  ,infS(m) = 3190157.34 , k(m)= 2.31016
inf( 2022080816 )≈  3856131.8 , jd ≈0.99387  ,infS(m) = 3190157.34 , k(m)= 1.20876
inf( 2022080818 )≈  3247617.5 , jd ≈0.99310  ,infS(m) = 3190157.35 , k(m)= 1.01801
inf( 2022080820 )≈  8507086.3 , jd ≈0.99375  ,infS(m) = 3190157.35 , k(m)= 2.66667
inf( 2022080822 )≈  3190157.4 , jd ≈0.99368  ,infS(m) = 3190157.35 , k(m)= 1
inf( 2022080824 )≈  3191886.4 , jd ≈0.99365  ,infS(m) = 3190157.36 , k(m)= 1.00054
inf( 2022080826 )≈  6488455.7 , jd ≈0.99358  ,infS(m) = 3190157.36 , k(m)= 2.0339
inf( 2022080828 )≈  3191606.8 , jd ≈0.99353  ,infS(m) = 3190157.36 , k(m)= 1.00045
inf( 2022080830 )≈  5671390.9 , jd ≈0.99345  ,infS(m) = 3190157.37 , k(m)= 1.77778
inf( 2022080832 )≈  6380314.7 , jd ≈0.99364  ,infS(m) = 3190157.37 , k(m)= 2
time start =20:35:50  ,time end =20:37:11   ,time use =

2022080800:18:2  素对真值

G(2022080800) = 4319625
G(2022080802) = 7782973
G(2022080804) = 3417317
G(2022080806) = 3210250
G(2022080808) = 7140488
G(2022080810) = 4566497
G(2022080812) = 3282705
G(2022080814) = 7417278
G(2022080816) = 3879932
G(2022080818) = 3270184
G(2022080820) = 8560608
G(2022080822) = 3210432
G(2022080824) = 3212292
G(2022080826) = 6530403
G(2022080828) = 3212399
G(2022080830) = 5708763
G(2022080832) = 6421155
G(2022080834) = 3478167

count = 18, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.646 sec

可以从区域下界计算值上面看出，其数值是随着偶数的增大而缓慢的线性增大的，大约每3个多一点偶数的区域下界计算值约增大0.01，这意味着偶数越大，区域下界计算值也就越大，大偶数的哥德巴赫猜想必定成立。因为素对真值始终大于区域下界值。

愚工688

从上面帖子的数据可以看到，在排除了波动影响后，区域下界计算值的增大是近似线性的，约3.2个偶数增大0.01，就是320个偶数增大1,因此每32000个偶数增大约100，就是偶数增大64000的区域下界计算值将会增大100.

计算一下（2022080800+64000）系列连续偶数的素对下界计算值，看看区域下界计算值的增大有多少？

inf( 2022144800 )≈  4680557.9 , jd ≈0.99325  ,infS(m) = 3190258.29 , k(m)= 1.46714
inf( 2022144802 )≈  3190258.3 , jd ≈0.99364  ,infS(m) = 3190258.29 , k(m)= 1
inf( 2022144804 )≈  6403223.1 , jd ≈0.99350  ,infS(m) = 3190258.3 , k(m)= 2.00712
inf( 2022144806 )≈  3756796.6 , jd ≈0.99355  ,infS(m) = 3190258.3 , k(m)= 1.17758
inf( 2022144808 )≈  3190258.3 , jd ≈0.99340  ,infS(m) = 3190258.3 , k(m)= 1
inf( 2022144810 )≈ 10222888.3 , jd ≈0.99341  ,infS(m) = 3190258.31 , k(m)= 3.20441
inf( 2022144812 )≈  3190258.3 , jd ≈0.99382  ,infS(m) = 3190258.31 , k(m)= 1
inf( 2022144814 )≈  3190258.3 , jd ≈0.99372  ,infS(m) = 3190258.31 , k(m)= 1
inf( 2022144816 )≈  6382713.5 , jd ≈0.99318  ,infS(m) = 3190258.31 , k(m)= 2.00069
inf( 2022144818 )≈  3300267.2 , jd ≈0.99391  ,infS(m) = 3190258.32 , k(m)= 1.03448
inf( 2022144820 )≈  4493860.5 , jd ≈0.99358  ,infS(m) = 3190258.32 , k(m)= 1.40862
inf( 2022144822 )≈  6664998.7 , jd ≈0.99333  ,infS(m) = 3190258.32 , k(m)= 2.08917
time start =12:11:24  ,time end =12:12:21   ,time use =
2022144800:12:2

G(2022144800) = 4712362
G(2022144802) = 3210664
G(2022144804) = 6445130
G(2022144806) = 3781194
G(2022144808) = 3211435
G(2022144810) = 10290721
G(2022144812) = 3210082
G(2022144814) = 3210413
G(2022144816) = 6426521
G(2022144818) = 3320484
G(2022144820) = 4522913
G(2022144822) = 6709735

实际的偶数增大64000后的素对区域下界值增大了101，（3190258.29 -3190157.32 =100.97）
与预测基本一致。而下界计算值的计算精度基本没有变化。
因此排除了素因子系数 k(m)的区域下界计算值infS(m)是线性增大的。而素因子系数 k(m)是影响偶数素对数量波动的主要因素，故也称为波动系数。