再谈连乘积（1-1/p）的来历

天山草@

注： 公式 (2) 或公式 (5) 可以当作是 \(n\) 以内包含有多少孪生素数对的个数下限计算式。

因为这些公式的建立尚缺少数学家们要求的严格的论证，所以这些公式尽管我们相信它是正确的，

但数学家们不会以此为根据认可“孪生素数有无穷多”这个命题得到了证明。

也就是说， 数学家们不会认可公式 (2) 或公式 (5) 是一个无懈可击的孪生素数下限数值公式。

天山草@

在上面的例子中，由连乘积公式 (2) 变换成了容易计算的公式  (5)。当然公式 (2) 和公式 (5) 的精度都不高，所以鲁思顺先生才把公式 (2) 进行了改进，比如改成了公式 (2A)， 那么还需要再进一步把  (2A) 变换成类似公式  (5) 那样的形式。如果变不过去， 将是一个遗憾。  

天山草@

回复“大傻8888888”网友，天山草 即是 天山草@，我把天山草的登录密码忘记了，找不回来，只好换了个马甲。

lusishun

不知天仙草先生，是否看过本人的拙作《倍数含量筛法与恒等式的 妙用》，
不知哈代—李是如何得到连乘积（1-1/p），与连乘积（1-2/p）的，
我得来过程是，在倍数含量的概念建立基础上，发现倍数含量重叠规律上，进行逐步筛除2，3，5，7，……的倍数含量的过程中，出现了（1-1/p）的连乘积。
注意，这里只能筛除倍数含量，与筛除倍数（个数），是有区别的。
要想筛干净个数，我采取的方法是，加强，且步步加强。

lusishun

lusishun 发表于 2021-6-12 10:34
不知天仙草先生，是否看过本人的拙作《倍数含量筛法与恒等式的 妙用》，
不知哈代—李是如何得到连乘积（1 ...

圆法，不懂，
2017年版，汉斯出版，对

天山草@

在倍数含量筛法一文中，中间突然出现了下述文字，没有给出解释：


这篇文章一开始，好像是要证明哥猜的。但是结尾，却是证明了孪生素数为无穷多。

从整篇文章看，应该是证明后者的。如果能证明孪生素数为无穷多，那就足够了。

如果这篇短文基本上能把“孪生素数有无穷多”讲明白，可以把文章标题改为“用倍数含量筛法证明孪生素数有无穷多”。

大傻8888888

天山草@ 发表于 2021-6-12 10:39
注： 公式 (2) 或公式 (5) 可以当作是 \(n\) 以内包含有多少孪生素数对的个数下限计算式。

因为这些 ...

天山草@先生引用我的帖子是我2009年发表的。
下面是2011年我的帖子和天山草先生验证的情况：
“ 楼主| 发表于 2011-9-24 21:59 | 只看该作者
(x/2)∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数，请网友用数据检验
天山草先生计算结果如下：
“按大傻8888888的不大于 x 的孪生素数组数公式计算，与实际值比较，结果如下：
   x           计算值           实际值          计算/实际
-----------------------------------------------------------------
10000000           50726             58980       0.86005
20000000           93122            107407       0.86700
30000000          133295            152891       0.87183  
40000000          171795            196753       0.87315     
   2 亿           721868            813371       0.88750
  20 亿          5751530           6388041       0.90035
  40 亿         10797924          11944438       0.90401
100 亿         24887721          27412679       0.90789
1000 亿        205772902         224376048       0.91708
1 万亿       1729229895        1870585220       0.92443
10 万亿      14734651089       15834664872       0.93053
100 万亿    127052915959      135780321665       0.93572
1000万亿   1106769279118     1177209242304       0.94016
1 亿亿    9727596632846    10304195697298       0.94404
10 亿亿   86168506931355    90948839353159       0.94743
20 亿亿  166392268896577   175448328823978       0.94838
30 亿亿  244584778743210   257750385466498       0.94892         
40 亿亿  321499383716968   338672552419827       0.94929

-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在 时添加 -=-=-=-=-
40 亿亿以后，按大傻88888888的公式还能算下去，但是实际值没有参考资料了。上面这些实际值来自国际数学互联网。
如哪位网友有 40 亿亿以后的数据，请您发上来，大家共享。”
可惜的是没有40 亿亿以后的实际值数据，如果有计算值和实际值之比可以达到0.99、0.999、一直到0.99999.......。
(x/2)*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数虽然看起来计算值比实际值小，但是不能保证是孪生素数的下限数值，说不定在某个数值后实际值会比计算值大，只能认为当数值趋近无限大时计算值和实际值之比趋近1。当然如果是(x/4)*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数则比实际值小。
另外知道了天山草@就是原来的天山草先生，欢迎天山草@多来论坛发表高见，和您交流使我受益非浅。再次向您表示感谢！

天山草@

请大傻8888888先生看看下面：





注意到，随着 \(n\) 的增大，公式 (1) 似乎是发散的，而公式 (3) 好像是收敛的。

大傻8888888

天山草@ 发表于 2021-6-12 22:18
请大傻8888888先生看看下面：

确实如天山草@所说n较小时（1）式更准，n较大时（3）式较准。（3）式理论上和素数定理n/ln（n）等价。

天山草@

“（3）式理论上和素数定理 \(n/ln（n）\) 等价。”

这个是如何证明的？ 如果这个结论成立，那么随着 \( n \) 趋于无穷大， (3) 式最终会收敛到 \( π(n)\)，

也就是说 (3) 式对 \( π(n)\) 的误差将最终趋于零。

而 (1) 式等于 (3) 式的 \(1/0.8766=1.14\) 倍，它就最终会收敛到  \(1.14× π(n)\) 了。这个，可能吗？

那么另一种可能，就是 (1) 式和 (2) 式相对于  \( π(n)\) 而言，都是振荡发散的，它们最终都不能收敛到 \( π(n)\)。