欧拉素数链

yangchuanju

已经知晓，二次三项式n^2+n+3中能产生2个连续素数3和5；
二次三项式n^2+n+5中能产生4个连续素数5,7,11和17；
二次三项式n^2+n+11中能产生10个连续素数11,13,17……和101；
那么二次三项式n^2+n+7;  n^2+n+13呢：
前3个二次三项式除第一个2,4,10连续素数段以后有没有连续素数，连续素数链长又是多少？

经计算可知，二次三项式n^2+n+3除了第一连续素数链长为2外，此后没有连续素数链了，或者说链长为1；n=0-9999之中有627个1；
二次三项式n^2+n+5除了第一连续素数链长为4外，此后连续素数链长次大的是3，在n=0-9999之中有4个3、有114个2；
二次三项式n^2+n+7之中最大连续素数链长为2，在n=0-9999之中有151个，第一个链长为2的是13和19；
二次三项式n^2+n+11除了第一连续素数链长为10外，此后连续素数链长次大的是9，它们是：
8570267        8576123        8581981        8587841        8593703        8599567        8605433        8611301        8617171
另在n=0-9999之中有2个5、7个4、41个3、308个2；
二次三项式n^2+n+13之中最大连续素数链长为2，在n=0-9999之中有33个，第一个链长为2的是1993和2083。

yangchuanju

在二次三项式n^2+n+41之中，除了第一连续素数链长等于40外，在前10000个素数之中，
还有1个链长等于13的：
48221   48661        49103        49547        49993        50441        50891
51343        51797        52253        52711        53171        53633
还有3个链长9的，1个链长8的，5个链长7的，16个链长6的，33个链长5的，90个链长4的，……

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-12-19 21:09
在二次三项式n^2+n+41之中，除了第一连续素数链长等于40外，在前10000个素数之中，
还有1个链长等于12的： ...

       在二次三项式n^2+n+41之中，除了第一连续素数链长等于40外，在以后不会再有连续素数链长等于40的情况出现，最多连续素数链长等于39。如n=41时，n^2+n+41是41的倍数，这样只有n=42才有可能是素数，但是到了n=81时，n^2+n+41又是41的倍数，只有n等于42,43，44.....80这39值的时候才有可能是素数，以此类推，以后最多连续素数链长等于39。所以在二次三项式n^2+n+41之中，除了第一连续素数链长等于40外，在以后不会再有连续素数链长等于40的情况出现了。要想有连续素数链长大于等于40只能寄希望于二次三项式n^2+n+43了，当然在这个二次三项式n^2+n+43找到连续素数链长等于40的具体值则是一件很困难的事，即使如此这个二次三项式n^2+n+43里面大于等于40并且小于42的连续素数链应该有无穷多。

大傻8888888

大傻8888888 发表于 2022-12-19 22:54
在二次三项式n^2+n+41之中，除了第一连续素数链长等于40外，在以后不会再有连续素数链长等于40 ...

独木星空谁先生在这个问题的点评是理解错误。因为他把二次三项式n^2+n+41和素数间隔为（0,2,6,12,20,30,.....(n-1)×n）的40生素数链弄混了。
首先素数间隔为（0,2,6,12,20,30,.....(n-1)×n）的40生素数链应该有无穷多。当然这样的k生素数正如独木星空谁先生所说“素数41已经不是素数链条的第一个素数了，而有大于它的素数P代替。”并且这个素数p必须是尾数是1或者7的孪生素数中的较小的那个素数，如71,101,107这样一类的素数p才有可能是这种素数链条的第一个素数。
而二次三项式n^2+n+41，除了第一连续素数链长等于40外，在以后都不会再有连续素数链长等于40的情况出现了。

白新岭

x^2-79x+1601,k=0～80
x^2-77x+1523,k=0～79
x^2-75x+1447,k=0～78
x^2-73x+1373,k=0～77
x^2-71x+1301,k=0～76
x^2-69x+1231,k=0～75
x^2-67x+1163,k=0～74
x^2-65x+1097,k=0～73
x^2-63x+1033,k=0～72
x^2-61x+971,k=0～71
x^2-59x+911,k=0～70
x^2-57x+853,k=0～69
x^2-55x+797,k=0～68
x^2-53x+743,k=0～67
x^2-51x+691,k=0～66
x^2-49x+641,k=0～65
x^2-47x+593,k=0～64
x^2-45x+547,k=0～63
x^2-43x+503,k=0～62
x^2-41x+461,k=0～61
x^2-39x+421,k=0～60
x^2-37x+383,k=0～59
x^2-35x+347,k=0～58
x^2-33x+313,k=0～57
x^2-31x+257,k=0～32
x^2-31x+281,k=0～56
x^2-29x+227,k=0～31
x^2-29x+251,k=0～55
x^2-27x+199,k=0～30
x^2-27x+223,k=0～54
x^2-25x+197,k=0～53
x^2-23x+173,k=0～52
x^2-21x+151,k=0～51
x^2-19x+131,k=0～50
x^2-17x+113,k=0～49
x^2-15x+97,k=0～48
x^2-13x+83,k=0～47
x^2-11x+71,k=0～46
x^2-9x+61,k=0～45
x^2-7x+53,k=0～44
x^2-5x+47,k=0～43
x^2-3x+43,k=0～42
x^2-1x+41,k=0～41
x^2+1x+41,k=0～40
x^2+3x+43,k=0～39
x^2+5x+47,k=0～38
x^2+7x+53,k=0～37
x^2+9x+61,k=0～36
x^2+11x+71,k=0～35
x^2+13x+83,k=0～34
x^2+15x+97,k=0～33
x^2+17x+113,k=0～32
x^2+19x+131,k=0～31
x^2+21x+151,k=0～30
这是在vb6版块给的程序结果，没有验证。

yangchuanju

暂不分析白新岭和大傻两位老师的说法对不对，请老师们先看一看我下面的分析对不对！

yangchuanju

欧拉二次三项式n^2+n+p的最大素数链长
已知的欧拉幸运数有3,5,11,17,41；当p=3,5,11,17,41时，欧拉二次三项式的最大素数链长分别是2,4,10,16,40。
在二次三项式n^2+n+41之中，除了第一连续素数链长等于40外，在前10000个素数之中，还有1个链长等于12的；
继续下去，在无穷多个n^2+n+41型欧拉素数中应该有长度不大于40的无穷多段素数链，应该有长度等于39的素数链存在。

当p等于其它素数时会不会有更长的素数链呢？
首先分析一下二次三项式n^2+n+7的素数链构成，该二次三项式中没有链长等于6的，因为当n=0,1,2,3,4,5时
多项式值分别等于7,9,13,19,27,37，其中9和27不是素数，是3的倍数，可能存在的链长等于6的链条被3打断；
那以后会不会有链长等于5的呢？
设k^2+k+7是7的倍数，那么k^2+k也是7的倍数；
(k+1)^2+(k+1)+7=k^2+3k+9，模7余k^2+3k+2；
(k+2)^2+(k+2)+7=k^2+5k+13，模7余k^2+5k+6；
(k+3)^2+(k+3)+7=k^2+7k+19，模7余k^2+5；
(k+4)^2+(k+4)+7=k^2+9k+27，模7余k^2+2k+6；
(k+5)^2+(k+5)+7=k^2+11k+37，模7余k^2+4k+2；
(k+6)^2+(k+6)+7=k^2+13k+49，模7余k^2+6k；
(k+7)^2+(k+7)+7=k^2+15k+63，模7余k^2+k，7的倍数；
对于二次三项式n^2+n+7的最大素数链长不会超过6或5；为什么待继续探讨！
（另行分析，在二次三项式n^2+n+7的系列数值中，每隔5个非7倍数的数就有2个数是7的倍数；
对于p=3时，每隔1个非3倍数的数就有2个3的倍数；p=5时每个2个非5倍数的数就有2个5的倍数；
对于p=11时，每隔9个非11倍数的数就有2个11的倍数；p=13时每个11个非13倍数的数就有2个13的倍数。）

设k^2+k+7是3的倍数（存在这样的k），那么k^2+k+1也是3的倍数；
(k+1)^2+(k+1)+7=k^2+3k+9，模3余k^2；
(k+2)^2+(k+2)+7=k^2+5k+13，模3余k^2+2k+1；
(k+3)^2+(k+3)+7=k^2+7k+19，模3余k^2+k+1，3的倍数；
(k+4)^2+(k+4)+7=k^2+9k+27，模3余k^2；
(k+5)^2+(k+5)+7=k^2+11k+37，模3余k^2+2k+1；
(k+6)^2+(k+6)+7=k^2+13k+49，模3余k^2+k+1，3的倍数；
……
对于二次三项式n^2+n+7的最大素数链长不会超过2！
（当二次三项式n^2+n+p中的p=5,11,17,41时多项式值中没有3的倍数，不受3控制。）


欧拉幸运数都是孪生素数的小素数，3是（3,5）的小素数，5是（5,7）的小素数，
11是（11,13）的小素数，17是（17,19）的小素数，41是（41,43）的小素数。
29虽是孪生素数（29,31）的小素数，但它不是欧拉幸运数——
29+2=31是素数，31+4=35倍数素数，素数链被5打断。
进一步所有以9结尾的素数加6都是5的倍数（9+2+4=15），都不是欧拉幸运数；
换言之，二次三项式n^2+n+p中的p不能是以9结尾的素数，它的素数链长不可能达到p-1，总要被5打断。
类似的所有以3结尾的素数加2都是5的倍数（3+2=5），也都不是欧拉幸运数；
二次三项式n^2+n+p中的p不能是以3结尾的素数，它的素数链长不可能达到p-1，总要被3打断。
大傻先生认为n^2+n+43之中可能存在素数链长不可能达到42是对的，但素数链长“大于等于40并且小于42的连续素数链应该有无穷多”是不正确的；
事实上该二次三项式的素数链受3控制，它的素数链长仅为2。

yangchuanju

17是一个欧拉幸运数，其它以7结尾的素数呢？
7不是，已经被证实，那么37,47,67,97,107,127,137,157,167,197,227,257,277,307,317……呢？
——        37        47        67        97        107        127        137
2        39        49        69        99        109        129        139
4        43        53        73        103        113        133        143
6        49        59        79        109        119        139        149
8        57        67        87        117        127        147        157
10        67        77        97        127        137        157        167
12        79        89        109        139        149        169        179
14        93        103        123        153        163        183        193
16        109        119        139        169        179        199        209
18        127        137        157        187        197        217        227
20        147        157        177        207        217        237        247
22        169        179        199        229        239        259        269
24        193        203        223        253        263        283        293
26        219        229        249        279        289        309        319
28        247        257        277        307        317        337        347
30        277        287        307        337        347        367        377
32        309        319        339        369        379        399        409
34        343        353        373        403        413        433        443
36        379        389        409        439        449        469        479
38        417        427        447        477        487        507        517
40        457        467        487        517        527        547        557
42        499        509        529        559        569        589        599
44        543        553        573        603        613        633        643
46        589        599        619        649        659        679        689
48        637        647        667        697        707        727        737
50        687        697        717        747        757        777        787
52        739        749        769        799        809        829        839
54        793        803        823        853        863        883        893
56        849        859        879        909        919        939        949
58        907        917        937        967        977        997        1007
60        967        977        997        1027        1037        1057        1067
mod 3        1        2        1        1        2        1        2
mod 7        2        5        4        6        2        1        4
37总被素数3和7打断；
47总被素数7和11打断；
67总被素数3打断；
97总被素数3和11打断；
模3余1的素数7,37,67,97,127总被3打断；据此有1/2的p被否认；
模7余1,2,5的素数37,47,107,127总被7打断；据此也有1/2的p被否认。
进一步分析，模11,13,17,19……的素数也会各有1/2被它们打断，被否认；
然而这些1/2彼此相乘而非相加，故也可能某个素数P落在所有素数的缝隙中，成为下一个欧拉幸运数！
1/2的无穷大次方趋近于0，但不等于0。

（附注：本来原计算表中的各个合数都有标记，复制粘贴后标记全丢失了，请谅解）

yangchuanju

11,41是欧拉幸运数，其它以1结尾的素数还有没有幸运数呢？
31,61,71,101,131,151,181,191,241,251,271,281,311,331……呢：
31,61,151,181肯定不行，它们不是孪生素数小素数，加2都是3的倍数；
只考察模3余2的以1结尾的素数71,101,131,191……
——        11        41        71        101        131        191        251        281
2        13        43        73        103        133        193        253        283
4        17        47        77        107        137        197        257        287
6        23        53        83        113        143        203        263        293
8        31        61        91        121        151        211        271        301
10        41        71        101        131        161        221        281        311
12        53        83        113        143        173        233        293        323
14        67        97        127        157        187        247        307        337
16        83        113        143        173        203        263        323        353
18        101        131        161        191        221        281        341        371
20        121        151        181        211        241        301        361        391
22        143        173        203        233        263        323        383        413
24        167        197        227        257        287        347        407        437
26        193        223        253        283        313        373        433        463
28        221        251        281        311        341        401        461        491
30        251        281        311        341        371        431        491        521
32        283        313        343        373        403        463        523        553
34        317        347        377        407        437        497        557        587
36        353        383        413        443        473        533        593        623
38        391        421        451        481        511        571        631        661
40        431        461        491        521        551        611        671        701
42        473        503        533        563        593        653        713        743
44        517        547        577        607        637        697        757        787
46        563        593        623        653        683        743        803        833
48        611        641        671        701        731        791        851        881
50        661        691        721        751        781        841        901        931
52        713        743        773        803        833        893        953        983
54        767        797        827        857        887        947        1007        1037
56        823        853        883        913        943        1003        1063        1093
58        881        911        941        971        1001        1061        1121        1151
60        941        971        1001        1031        1061        1121        1181        1211
mod 3        2        2        2        2        2        2        2        2
mod 7        4        6        1        3        5        2        6        1
同样的原理，模3余1的素数总被3打断，1/2的p被否认，上面的计算表未显示这些素数；
模7余1,2,5的素数71,131,191,281,401,491总被7打断；据此也有1/2的p被否认。
进一步分析，模11,13,17,19……的素数也会各有1/2被它们打断，被否认；
然而这些1/2彼此相乘而非相加，故也可能某个素数P落在所有素数的缝隙中，成为下一个欧拉幸运数！
1/2的无穷大次方趋近于0，但不等于0。

yangchuanju

白新岭 发表于 2022-12-20 09:49
x^2-79x+1601,k=0～80
x^2-77x+1523,k=0～79
x^2-75x+1447,k=0～78

经复查，白老师的列表有两个错误：
1、列表中多了3个无用行；
2、k值全部大了1，第一行k应等于0至79。
向下继续延伸至第80行为
x^2+79x+1601,k=0，至此结束。

还不如将k全部改为x。