连乘积哥猜公式误差分析

愚工688

为什么连乘式是对条件a的素数对的计算呢？
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、…、jn及(n－jn)、…、jr及(r -jr)的数，它们与偶数半值A构成的素对中的小素数A-x 是不能被√（M-2）内的素数整除的，即大于√（M-2）的。
而符合条件b的素对s2中的小素数则是能被√（M-2）内的素数整除但是商等于1，即是＜√（M-2）的素数。而这样的素数对的数量是没有计算特性的，即不可计算的。
比如；
M= 43532      S(m)= 298   S1(m)= 298 ,s2=0   r= 199
而小偶数 M= 34      S(m)= 4     S1(m)= 2    ,s2=2        r=5
因此在讨论连乘式的误差时我们不可把偶数的大小区域加以区别：
在小偶数的区域，连乘式的计算值更贴近符合条件s的素对数量s1；
由于偶数增大后，连乘式的计算值逐渐偏离了0位而向正方移动，因此把连乘式的计算值看着全部素对数量的计算值则缩小了相对误差，是比较适宜的。
而在1万-8万区域，连乘式的计算值则比较接近偶数的全部素对值S(m)；
而在10万以上的区域，连乘式的计算值逐步的偏离偶数的全部素对值S(m)，相对误差值逐渐趋于0.20附近。
样本相对误差的统计计算：
15万——1亿的偶数样本的相对误差E(m)的统计计算数据如下：

[ 150002 , 150100 ]   :   n= 50    μ= .0316   σχ= .0135   δ(min)= .0004  δ(max)= .0589
[ 500002 , 500100 ]   :   n= 50    μ= .0536   σχ= .0084   δ(min)= .0359  δ(max)= .0698
[ 1000002 , 1000100 ] :   n= 50    μ= .0691   σχ= .0069   δ(min)= .0508  δ(max)= .0879
[ 2000002 , 2000100 ] :   n= 50    μ= .0804   σχ= .0063   δ(min)= .0641  δ(max)= .0951
[ 3000002 , 3000100 ] :   n= 50    μ= .0825   σχ= .005    δ(min)= .0706  δ(max)= .0923
[ 4000002 , 4000100 ] :   n= 50    μ= .0874   σχ= .004    δ(min)= .0792  δ(max)= .0967
[ 5000002 , 5000100 ] :   n= 50    μ= .0923   σχ= .004    δ(min)= .0841  δ(max)= .1012
[ 6000002 , 6000100 ] :   n= 50    μ= .0897   σχ= .0041   δ(min)= .0799  δ(max)= .0999
[ 7000002 , 7000100 ] :   n= 50    μ= .096    σχ= .0033   δ(min)= .0884  δ(max)= .1027
[ 8000002 , 8000100 ] :   n= 50    μ= .0935   σχ= .0035   δ(min)= .0842  δ(max)= .1003
[9000002 -  9000100 ] :   n= 50    μ= .0959   σχ= .0026   δ(min)= .0893  δ(max)= .1007
[10000000 - 10000100] :   n= 51    μ= .10032  σχ= .00256  δ(min)= .09543 δ(max)= .10503

1亿-500亿的取样样本的相对误差的统计计算数据：
（标准偏差的通用符号为σx ，μ-样本平均值）

100000000 -   100000098 : n= 50 μ= .1192  σx= .0013  δ(min)= .1156  δ(max)= .1224
1000000000 - 1000000098 : n= 50 μ= .1368  σx= .0004  δ(min)= .1356  δ(max)= .138
2000000000 - 2000000098 : n= 50 μ= .1406  σx= .0003  δ(min)= .1399  δ(max)= .141
3000000000 - 3000000098 : n= 50 μ= .1431  σx= .0002  δ(min)= .1425  δ(max)= .1435
4000000000 - 4000000098 : n= 50 μ= .1449  σx= .0003  δ(min)= .1441  δ(max)= .1456
5000000000 - 5000000098 : n= 50 μ= .1462  σx= .0003  δ(min)= .1456  δ(max)= .1468
5999999990 - 6000000088 : n= 50 μ= .1471  σx= .0002  δ(min)= .1466  δ(max)= .1474  
8000000000 - 8000000050 : n= 26 μ= .1486  σx= .0002  δ(min)= .1481  δ(max)= .1490
10000000000-10000000098 : n= 50 μ= .1494  σx= .0002  δ(min)= .1491  δ(max)= .1497
15000000000-15000000098 : n= 50 μ= .15159 σx= .00014 δ(min)= .1511  δ(max)= .15185
20000000002-20000000100 : n= 50 μ= .15281 σx= .00011 δ(min)= .1525  δ(max)= .15307
30000000002-30000000100 : n= 50 μ= .15494 σx= .0001  δ(min)= .15474 δ(max)= .15519
40000000002-40000000100 : n= 50 μ= .15614 σx= .00008 δ(min)= .1559  δ(max)= .15637  
50000000002-50000000100 : n= 50 μ= .1571  σx= .0001  δ(min)= .1569  δ(max)= .1573

只有不了解连乘式的计算值与实际偶数真值的变化规律的人，才会认为连乘式的计算值是与真值是比例关系，却不能解释数据的误差现象。真是无知者无畏啊！

yangchuanju

愚工688 发表于 2021-10-27 09:15
素数连乘式的各个步骤的含义举例：

例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分 ...

对于偶数908，按yangchuanju的算法，最后筛余量是32，减去1+907和907+1等于30；这是双计哥猜数，折算成单计哥猜数就是15，各次筛分后的误差见下表第4列：
筛子        计算筛余量        实际筛余量        误差        计算删除量        实际删除量
2        454        454        0        454        454
3        151.333         152        -0.667         302.667         302
5        90.800         92        -1.200         60.533         60
7        64.857         64        0.857         25.943         28
11        53.065         54        -0.935         11.792         10
13        44.901         46        -1.099         8.164         8
17        39.619         40        -0.381         5.282         6
19        35.448         38        -2.552         4.170         2
23        32.366         34        -1.634         3.082         4
29        30.134         32        -1.866         2.232         2

愚工688

大偶数的连乘式的计算：
以下4个偶数的计算用时125分钟.无修正.(10万亿级偶数)
G(11111111111110)= 12000220328 ,Sp( 11111111111110 )=  14114669913.7 ,Δ≈0.176200897 ,
G(11111111111112)= 17470455584 ,Sp( 11111111111112 )=  20549005813.6 ,Δ≈0.17621465 ,
G(11111111111114)= 11172207831 ,Sp( 11111111111114 )=  13141002048.5 ,Δ≈0.176222484,
G(11111111111116)= 8805605145  ,Sp( 11111111111116 )=  10357204998.6 ,Δ≈0.176205931,

计算式：
Sp( 11111111111110 ) =  1 *[( 11111111111110 /2 -2)]*p(m) =  14114669913.7
Sp( 11111111111112 ) =  1 *[( 11111111111112 /2 -2)]*p(m) =  20549005813.6
Sp( 11111111111114 ) =  1 *[( 11111111111114 /2 -2)]*p(m) =  13141002048.5
Sp( 11111111111116 ) =  1 *[( 11111111111116 /2 -2)]*p(m) =  10357204998.6

愚工688

在具有波动性的偶数M的素对下界计算值 inf( m)的相对误差绝对值小于0.001的情况下，inf( m )图形几乎与素对真值 G(M)的图形重合。大小变化规律几乎完全一致。
而偶数表法数的区域下界函数值infS（m)则随着偶数的增大，始终缓慢的攀升，表明大偶数的表法数下限是逐渐上升的。
而素因子系数k(m)值，则真实的体现出偶数素对数量波动的幅度。

  G(10000000000) = 18200488；
inf( 10000000000 )≈  18192520.4 , Δ≈-0.0004378,infS（m)= 13644390.26 , k(m)= 1.33333
  G(10000000002) = 27302893；
inf( 10000000002 )≈  27288780.5 , Δ≈-0.0005169,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2
  G(10000000004) = 13655366；
inf( 10000000004 )≈  13644390.3 , Δ≈-0.0008038,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1
  G(10000000006) = 13742400；
inf( 10000000006 )≈  13737209.3 , Δ≈-0.0003777,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1.0068
  G(10000000008) = 27563979；
inf( 10000000008 )≈  27548673.7 , Δ≈-0.0005553,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2.01905
  G(10000000010) = 28031513
inf( 10000000010 )≈  28018960 , Δ≈-0.0004478,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.05351
  G(10000000012) = 13654956；
inf( 10000000012 )≈  13647157.3 , Δ≈-0.0005711,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 1.0002
  G(10000000014) = 27361348；
inf( 10000000014 )≈  27348233.3 , Δ≈-0.0004793,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.00436
  G(10000000016) = 13708223；
inf( 10000000016 )≈  13701479.8 , Δ≈-0.0004919,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00418
  G(10000000018) = 13781412；
inf( 10000000018 )≈  13776842.4 , Δ≈-0.0003316,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00971
  G(10000000020) = 37335123；
inf( 10000000020 )≈  37319942.4 , Δ≈-0.0004066,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 2.73519
  G(10000000022) = 13653503；
inf( 10000000022 )≈  13646792.1 , Δ≈-0.0004915,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00018
  G(10000000024) = 16587802；
inf( 10000000024 )≈  16575407.5 , Δ≈-0.0007472,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.21481
  G(10000000026) = 28871083；
inf( 10000000026 )≈  28857101.3 , Δ≈-0.0004843,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 2.11494
G(10000000028) = 13665084；
inf( 10000000028 )≈  13661050.1 , Δ≈-0.0002952,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.00122
G(10000000030) = 19127680；
inf( 10000000030 )≈  19121318.9 , Δ≈-0.0003326,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.40141
G(10000000032) = 32355048；
inf( 10000000032 )≈  32342258.5 , Δ≈-0.0003953,infS（m)= 13644390.31 , k(m)= 2.37037

yangchuanju

根据愚工688老师以往各个博贴分析，老师计算哥猜数精确值时，并不是把校正系数直接乘在两个连乘积之后，
而是除以一个校正系数1+μ，放在计算式的分母上。
经本人按愚工方法计算，大约在4万左右μ由负转正，1+μ≈1；之后μ在正数范围内逐渐增大，
至10万1+μ约增大到1.017-1.022，至100万1+μ约增大到1.069（愚工值）。
10-100万间偶的和式个数可按1.025,1.030,1.035,1.040,1.045,1.050,1.055,1.060,1.065估算，
学生喜欢用计算式N/4*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)*1/(1+μ)估算该区间某偶数的单计哥猜数，但没有减2。
计算式中第一个连乘积中的p从3取到N平方根以内的最大素数，3≤p≤√(N)；
第二个连乘积中的p取N平方根以内的N的所有奇素因子，p|N，3≤p≤√(N)。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-10-27 10:07
请问：愚工老师
Sp(908)=((908/2-2)/2)*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)*(15/17)*(17/19)*(21/23)*(27 ...

愚工点评：不是看计算值的结果，因为计算值大多数情况下是有误差的。但是x的取值区间[0，A-3]是不变的。当然也可用[0，A-2]，但是不能用[0，A]因为其中包含了1+（M-1）的情况。否则当（M-1）是素数时连乘式是不能把其筛除的。  发表于 2021-10-27 12:24

当偶数不是很小时，减去2或减去3，对最终计算值影响很小，只有在极个别的时候使取整后的数值增减1，学生认为老师的点评解释未免太牵强。从某偶数中减去2或3，去不了含1的奇数对。

yangchuanju

【转载】鲁思顺《概率与比例》博贴：
lusishun  发表于 2021-10-27 09:25
有一个四面体，四个面分别写有1，2，3，4.随机抛出，自由落地，每一次朝下的那个面，标的数字出现是不确定的，是随机的。每一次的抛出，得到的数字都是随机的，独立的事件。每个数字出现的概率1/4，如果抛101次，数字3出现的次数在101·1/4=25左右游摆，可能是21，23，24，25，26，27，甚至是十几次，或是30多次，具体的次数是不确定的。
但是，在1，2，3，——101，4的倍数出现的次数一定是101·1/4=25.25，即25次，所以倍数的出现规律是有周期的，不是随机的，

yangchuanju

愚工688 发表于 2021-10-27 09:15
素数连乘式的各个步骤的含义举例：

例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分 ...

从鲁思顺的点评和专贴看，概率≠比例，它俩不是同一个数学概念。
愚工老师帖子中几次使用“概率”这一数学名词，鲁思顺有异议，
学生认为用鲁思顺所说的“比例”较为妥当，用“概率”不如用“比例”，
请老师斟酌！

yangchuanju

误差汇总表
偶数        3误差        5误差        3*5误差        3*5*7误差        7误差
10        0.667         0.000         1.333         -1.333         0.571
12        0.000         -0.400         0.400         -0.800         0.286
14        -0.667         -0.800         -1.600         0.800         0.000
16        0.667         0.800         1.600         -0.800         -0.286
18        0.000         0.400         -0.400         0.800         -0.571
20        -0.667         0.000         -1.333         1.333         -0.857
22        0.667         -0.400         1.200         -1.600         0.857
24        0.000         -0.800         -1.200         0.400         0.571
26        -0.667         0.800         -0.400         1.200         0.286
28        0.667         0.400         0.800         -0.400         0.000
30        0.000         0.000         0.000         0.000         -0.286
32        -0.667         -0.400         -0.800         0.400         -0.571
34        0.667         -0.800         0.400         -1.200         -0.857
36        0.000         0.800         1.200         -0.400         0.857
38        -0.667         0.400         -1.200         1.600         0.571
40        0.667         0.000         1.333         -1.333         0.286
42        0.000         -0.400         0.400         -0.800         0.000
44        -0.667         -0.800         -1.600         0.800         -0.286
46        0.667         0.800         1.600         -0.800         -0.571
48        0.000         0.400         -0.400         0.800         -0.857
50        -0.667         0.000         -1.333         1.333         0.857
52        0.667         -0.400         1.200         -1.600         0.571
54        0.000         -0.800         -1.200         0.400         0.286
56        -0.667         0.800         -0.400         1.200         0.000
58        0.667         0.400         0.800         -0.857         -0.286
60        0.000         0.000         0.000         -0.571         -0.571
62        -0.667         -0.400         -0.800         -0.571         -0.857
64        0.667         -0.800         0.400         -1.429         0.857
66        0.000         0.800         1.200         1.429         0.571
68        -0.667         0.400         -1.200         0.857         0.286
70        0.667         0.000         1.333         0.000         0.000
72        0.000         -0.400         0.400         -1.714         -0.286
74        -0.667         -0.800         -1.600         -1.714         -0.571
76        0.667         0.800         1.600         -0.571         -0.857
78        0.000         0.400         -0.400         1.143         0.857
80        -0.667         0.000         -1.333         -0.381         0.571
82        0.667         -0.400         1.200         -1.143         0.286
84        0.000         -0.800         -1.200         -1.600         0.000
86        -0.667         0.800         -0.400         1.143         -0.286
88        0.667         0.400         0.800         0.286         -0.571
90        0.000         0.000         0.000         -0.857         -0.857
92        -0.667         -0.400         -0.800         0.571         0.857
94        0.667         -0.800         0.400         -0.286         0.571
96        0.000         0.800         1.200         1.714         0.286
98        -0.667         0.400         -1.200         0.400         0.000
100        0.667         0.000         1.333         -0.476         -0.286
102        0.000         -0.400         0.400         -1.429         -0.571
104        -0.667         -0.800         -1.600         -0.571         -0.857
106        0.667         0.800         1.600         0.571         0.857
108        0.000         0.400         -0.400         1.429         0.571
110        -0.667         0.000         -1.333         0.476         0.286
112        0.667         -0.400         1.200         -0.400         0.000
114        0.000         -0.800         -1.200         -1.714         -0.286
116        -0.667         0.800         -0.400         0.286         -0.571
118        0.667         0.400         0.800         -0.571         -0.857
120        0.000         0.000         0.000         0.857         0.857
最小        -0.667         -0.800         -1.600         -1.714         -0.857
最大        0.667         0.800         1.600         1.714         0.857
为使表格整齐，对整数和1位、2位小数也取到3位；3*5*7不足一个周期，其最小、最大值不是真正的最小、最大值。                                       

yangchuanju

再用素数3和7对偶数2-120进行共同筛分怎么样：                                       
偶数        ∏_1        ∏_2        计算剩余        实际剩余        误差
2        0.238         1        0.238         1        -0.762
4        0.238         1        0.476         0        0.476
6        0.238         2        1.429         2        -0.571
8        0.238         1        0.952         0        0.952
10        0.238         1        1.190         1        0.190
12        0.238         2        2.857         2        0.857
14        0.238         1.2        2.000         2        0.000
16        0.238         1        1.905         2        -0.095
18        0.238         2        4.286         4        0.286
20        0.238         1        2.381         2        0.381
22        0.238         1        2.619         3        -0.381
24        0.238         2        5.714         6        -0.286
26        0.238         1        3.095         3        0.095
28        0.238         1.2        4.000         4        0.000
30        0.238         2        7.143         8        -0.857
32        0.238         1        3.810         4        -0.190
34        0.238         1        4.048         5        -0.952
36        0.238         2        8.571         8        0.571
38        0.238         1        4.524         5        -0.476
40        0.238         1        4.762         4        0.762
42        0.238         2.4        12.000         12        0.000
44        0.238         1        5.238         6        -0.762
46        0.238         1        5.476         5        0.476
48        0.238         2        11.429         12        -0.571
50        0.238         1        5.952         5        0.952
52        0.238         1        6.190         6        0.190
54        0.238         2        12.857         12        0.857
56        0.238         1.2        8.000         8        0.000
58        0.238         1        6.905         7        -0.095
60        0.238         2        14.286         14        0.286
62        0.238         1        7.381         7        0.381
64        0.238         1        7.619         8        -0.381
66        0.238         2        15.714         16        -0.286
68        0.238         1        8.095         8        0.095
70        0.238         1.2        10.000         10        0.000
72        0.238         2        17.143         18        -0.857
74        0.238         1        8.810         9        -0.190
76        0.238         1        9.048         10        -0.952
78        0.238         2        18.571         18        0.571
80        0.238         1        9.524         10        -0.476
82        0.238         1        9.762         9        0.762
84        0.238         2.4        24.000         24        0.000
同用素数3和7进行筛分，误差循环节长21，误差范围-0.952381到0.952381。