n与n+1互质的经典证法

ysr

判定方法（资料）
能否正确、快速地判断两个数是不是互质数，对能否正确求出两个数的最大公约数和最小公倍数起着关键的作用。以下是几种判断两个数是不是互质数的方法。 [2]
概念判断法
公约数只有1的两个数叫做互质数。根据互质数的概念可以对一组数是否互质进行判断。如：9和11的公约数只有1，则它们是互质数。 [3]
规律判断法
根据互质数的定义，可总结出一些规律，利用这些规律能迅速判断一组数是否互质。 [4]
（1）两个不相同的质数一定是互质数。如：7和11、17和31是互质数。
（2）两个连续的自然数一定是互质数。如：4和5、13和14是互质数。
（3）相邻的两个奇数一定是互质数。如：5和7、75和77是互质数。
（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。如：1和4、1和13是互质数。
（5）两个数中的较大一个是质数，这两个数一定是互质数。如：3和19、16和97是互质数。
（6）两个数中的较小一个是质数，而较大数是合数且不是较小数的倍数，这两个数一定是互质数。如：2和15、7和54是互质数。
（7）较大数比较小数的2倍多1或少1，这两个数一定是互质数。如：13和27、13和25是互质数。
分解判断法
如果两个数都是合数，可先将两个数分别分解质因数，再看两个数是否含有相同的质因数。如果没有，这两个数是互质数。 [5]  如：130和231，先将它们分解质因数：130=2×5×13，231=3×7×11。分解后，发现它们没有相同的质因数，则130和231是互质数。
求差判断法
如果两个数相差不大，可先求出它们的差，再看差与其中较小数是否互质。如果互质，则原来两个数一定是互质数。如：194和201，先求出它们的差，201－194=7，因7和194互质，则194和201是互质数。
求商判断法
用大数除以小数，如果除得的余数与其中较小数互质，则原来两个数是互质数。如：317和52，317÷52=6……5，因余数5与52互质，则317和52是互质数。

费尔马1

感谢ysr老师关注并指点！
学生认为有关正整数互质是小学的课程，根本用不着大动干戈，互质的根本是没有公因数，没有公因数的实质就是不存在整除，这一点也是素数的来源。例如，相邻的两个偶数各除以2以后，就变成了两个相邻的正整数了，这时，这两个相邻的正整数互质。所以，又可以证明，n、(n+1)、(2n+1)这三个数两两互质，且同时可以证明n(n+1)(2n+1)能被3整除。

太阳

\(已知:正整数a＞0，c＞1，m＞1，n＞1，a＝m\times n，求证:\frac{a+1}{m}\ne c\)
\(证明:假设\frac{a+1}{m}＝c，c最小值n+1，m\times\left( n+1\right)＞a+1，假设不成立，结论:\frac{a+1}{m}\ne c\)

太阳

正整数:a=m*n，c>1，m>1，n>1，假设(a+1)/m=c，c必定大于n，c最小值n+1
m*(n+1)>a+1，假设不成立，结论：a和a+1互质数

太阳

\(已知:整数a＞0，c＞0，m＞1，n＞0，\frac{a}{m}＝n，求证:\frac{a+1}{m}\ne c\)
\(证明:因为\frac{a}{m}＝n，\frac{a+1}{m}＝\frac{a}{m}+\frac{1}{m}＝n+\frac{1}{m}，m＞1，所以\frac{a+1}{m}\ne c\)

太阳

ysr 发表于 2021-11-3 00:54
小学课本中应该有这一条，百度一下可以知道，互质数的第5条性质：
（5）任何相邻的自然数都互质。
不过证 ...

任何相邻的自然数都互质，专门家弄的东西才是有理的。
专家是根据:相临的两个自然数最小公倍数等于相临的两个自然数乘积。
如果相临的两个自然数不互质，必定有相临的两个自然数最小公倍数小于相临的两个自然数乘积。

费尔马1

设正整数n=abcde……p，其中，所有字母都表示素数或素数的乘幂，
则(abcde……p+1)不是a、b、c、d、e、……、p的倍数，即n+1与n互质。
以上是欧几里得的证明。这次大家还有意见吗？
以学生看来，(abcde……p－1)也不是a、b、c、d、e、……、p的倍数，即n－1与n也互质。
这样的证明如果还是看不懂，哈哈，那就没有读过小学啊？！或者小学基础没打好啊！

太阳

求证1:相临的两个自然数最小公倍数等于相临的两个自然数乘积，
求证2:相临的两个自然数互质，命题1和命题2，这两个命题可以互相证明，命题1成立，推出命题2成立，同样命题2成立，推出命题1成立

太阳

费尔马1 发表于 2021-11-4 04:19
设正整数n=abcde……p，其中，所有字母都表示素数或素数的乘幂，
则(abcde……p+1)不是a、b、c、d、e、… ...

欧几里得的证明：n和n+1互质，使用什么方法证明？

费尔马1

太阳 发表于 2021-11-4 08:30
求证:相临的两个自然数最小公倍数等于相临的两个自然数乘积
如何证明？十分困难

只要证明了n与n+1互质，它们的最小公倍数就是n(n+1)啊！
谢谢老师关注！