抽量不足之线性不定方程正整数解

独舟星海 · 发表于 2021-11-4 12:17

n值统计3元
1 0
2 0
3 1
4 0
5 0
6 0
7 3
8 3
9 0
10 0
11 3
12 9
13 6
14 0
15 1
16 9
17 18
18 10
19 0
20 3
21 18
22 30
23 15
24 0
25 6
合成结果统计数据（模5余4的n值都没有解，在三元加法运算中，参与余数类为0和1,5抽2组合）。
只有到了四元加法运算后，模5的各类余数才有解（当然n需要大于一定的值，小点的n值不一定有解）。
连续几楼，都是讨论，分析5抽2组合情况，实例样本是余数0和余数1，参与m元运算的结论。

yangchuanju · 发表于 2021-11-5 03:00

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-5 03:19 编辑

5抽2二元不定方程只有3种有解的实质
这里的5抽2，是将所有正整数按模5余数分成5类，只抽取余数相同的2类正整数；
对于5抽2的二元不定方程来说，就是2种余数相同的正整数两两相加，如余数分别是1和2，两两相加只能得到余数是2,3,4的正整数，
无论如何也不会得到余数是1和0的正整数，即5抽2的二元不定方程只有3种有解，另两种无解。

对于5抽2的三元不定方程来说，就是2种余数相同的正整数三三相加，仍以余数分别是1和2的为例，三三相加：1+1+1=3,1+1+2=4,1+2+2=5,2+2+2=6，只能得到余数是3,4和0,1的正整数，
无论如何也不会得到余数是2的正整数，即5抽2的三元不定方程只有4种有解，另一种无解。

对于5抽2的四元不定方程来说，就是2种余数相同的4个正整数任意相加，仍以余数分别是1和2的为例，四四相加：
1+1+1+1=4≡4(mod 5),1+1+1+2=5≡0(mod 5),1+1+2+2=6≡1(mod 5),1+2+2+2=7≡2(mod 5),2+2+2+2=8≡3(mod 5)，5种余数都可能出现，
即5种5抽2的四元不定方程都有解，作为特例当常数项n较小时可能无解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-5 03:04

对于5种5抽2的四元不定方程，当周数t=3时模式1（序1）已经全部有解，但模式10（序10）还是全部无解，要到第4周时才全部有解；
对于其它模式（序2--序9）在第3周有的有解，有的无解。

序1 1 2
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 6 0 -6 0 0 6 24 60
2→→→ 4 0 -4 0 0 4 16 40
3→→→ 1 0 -1 0 0 1 4 10
4→→→ 1 3 2 0 1 4 10 20
5→→0 4 12 8 0 4 16 40 80
一周汇总 16 15 -1 0 5 31 94 210

序2 1 3
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 4 0 -4 0 0 4 16 40
2→→→ 1 -3 2 0 0 0 1 4
3→→→ 6 0 -6 0 0 6 24 60
4→→→ 1 3 2 0 1 4 10 20
5→→0 4 0 -4 0 0 4 16 40
一周汇总 16 0 -10 0 1 18 67 164

序3 1 4
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 1 -6 11 -1 0 0 0 1
2→→→ 4 0 -4 0 0 4 16 40
3→→→ 4 -12 8 0 0 0 4 16
4→→→ 1 3 2 0 1 4 10 20
5→→0 6 0 -6 0 0 6 24 60
一周汇总 16 -15 11 -1 1 14 54 137

序4 1 5
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 4 -24 44 -4 0 0 0 4
2→→→ 6 -18 12 0 0 0 6 24
3→→→ 4 0 -4 0 0 4 16 40
4→→→ 1 3 2 0 1 4 10 20
5→→0 1 -6 11 -1 0 0 0 1
一周汇总 16 -45 65 -5 1 8 32 89

序5 2 3
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 4 -12 8 0 0 0 4 16
2→→→ 1 -3 2 0 0 0 1 4
3→→→ 1 0 -1 0 0 1 4 10
4→→→ 4 0 -4 0 0 4 16 40
5→→0 6 0 -6 0 0 6 24 60
一周汇总 16 -15 -1 0 0 11 49 130

序6 2 4
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 1 -6 11 -1 0 0 0 1
2→→→ 6 -18 12 0 0 0 6 24
3→→→ 1 0 -1 0 0 1 4 10
4→→→ 4 -12 8 0 0 0 4 16
5→→0 4 0 -4 0 0 4 16 40
一周汇总 16 -36 26 -1 0 5 30 91

序7 2 5
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 4 -12 8 0 0 0 4 16
2→→→ 4 -24 44 -4 0 0 0 4
3→→→ 1 0 -1 0 0 1 4 10
4→→→ 6 -18 12 0 0 0 6 24
5→→0 1 -6 11 -1 0 0 0 1
一周汇总 16 -60 74 -5 0 1 14 55

序8 3 4
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 1 -6 11 -1 0 0 0 1
2→→→ 1 -3 2 0 0 0 1 4
3→→→ 4 -12 8 0 0 0 4 16
4→→→ 6 -18 12 0 0 0 6 24
5→→0 4 -12 8 0 0 0 4 16
一周汇总 16 -51 41 -1 0 0 15 61

序9 3 5
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 6 -36 66 -6 0 0 0 6
2→→→ 1 -3 2 0 0 0 1 4
3→→→ 4 -24 44 -4 0 0 0 4
4→→→ 4 -12 8 0 0 0 4 16
5→→0 1 -6 11 -1 0 0 0 1
一周汇总 16 -81 131 -11 0 0 5 31

序10 4 5
mod(n,5) 6at^3 6bt^2 6ct d 1周 2周 3周 4周
1→→→ 1 -6 11 -1 0 0 0 1
2→→→ 4 -24 44 -4 0 0 0 4
3→→→ 6 -36 66 -6 0 0 0 6
4→→→ 4 -24 44 -4 0 0 0 4
5→→0 1 -6 11 -1 0 0 0 1
一周汇总 16 -96 176 -16 0 0 0 16

yangchuanju · 发表于 2021-11-5 03:36

同样，对于7抽2二元不定方程只有3种有解,4种无解
这里的7抽2，是将所有正整数按模7余数分成7类，只抽取余数相同的2类正整数；
对于7抽2的二元不定方程来说，就是2种余数相同的正整数两两相加，
如余数分别是1和2，两两相加只能得到余数是2,3,4的正整数，
无论如何也不会得到余数是1,5,6和0的正整数，即5抽2的二元不定方程只有3种有解，另四种无解。
7抽2共21种模式，第1-11种以分别验证“3种有解,4种无解”正确。

对于7抽2的三元不定方程来说，就是2种余数相同的正整数三三相加，
仍以余数分别是1和2的为例，三三相加：1+1+1=3,1+1+2=4,1+2+2=5,2+2+2=6，只能得到余数是3,4,5,6的正整数，
无论如何也不会得到余数是0,1,2的正整数，即7抽2的三元不定方程只有4种有解，另3种无解。
其它各种模式的7抽2的三元不定方程也都是这样，4种有解，3种无解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-5 03:38

（接上楼）
各种模式的7抽2的三元不定方程都是4种有解，3种无解：
序1 1 2 8 9 15 16
mod(n,7) 2at^2 2bt c 5周 6周 7周 8周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 1 1 0 15 21 28 36
4→→→ 3 3 0 45 63 84 108
5→→→ 3 3 0 45 63 84 108
6→→→ 1 1 0 15 21 28 36
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 8 8 0 120 168 224 288

序2 1 3 8 10 15 17
mod(n,7) 2at^2 2bt c 5周 6周 7周 8周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 -1 0 10 15 21 28
3→→→ 1 1 0 15 21 28 36
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→→ 3 3 0 45 63 84 108
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→0 3 3 0 45 63 84 108
一周汇总 8 6 0 115 162 217 280

序3 1 4 8 11 15 18
mod(n,7) 2at^2 2bt c 5周 6周 7周 8周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 3 -3 0 30 45 63 84
3→→→ 1 1 0 15 21 28 36
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→→ 1 -1 0 10 15 21 28
6→→→ 3 3 0 45 63 84 108
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 8 0 0 100 144 196 256

序10 2 6 9 13 16 20
mod(n,7) 2at^2 2bt c 5周 6周 7周 8周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 3 -3 0 30 45 63 84
4→→→ 1 -3 1 6 10 15 21
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 1 1 0 15 21 28 36
7→→0 3 -3 0 30 45 63 84
一周汇总 8 -8 1 81 121 169 225

序16 4 5 11 12 18 19
mod(n,7) 2at^2 2bt c 5周 6周 7周 8周
1→→→ 1 -3 1 6 10 15 21
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→→ 1 -1 0 10 15 21 28
6→→→ 3 -3 0 30 45 63 84
7→→0 3 -3 0 30 45 63 84
一周汇总 8 -10 1 76 115 162 217

序21 6 7 13 14 20 21
mod(n,7) 2at^2 2bt c 5周 6周 7周 8周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 1 -3 1 6 10 15 21
5→→→ 3 -9 3 18 30 45 63
6→→→ 3 -9 3 18 30 45 63
7→→0 1 -3 1 6 10 15 21
一周汇总 8 -24 8 48 80 120 168

yangchuanju · 发表于 2021-11-5 03:47

对于7抽2的四元不定方程来说，就是2种余数相同的4个正整数任意相加，
仍以余数分别是1和2的为例，四四相加：1+1+1+1=4≡4(mod 7),1+1+1+2=5≡5(mod 7),1+1+2+2=6≡6(mod 7),
1+2+2+2=7≡0(mod 7),2+2+2+2=8≡1(mod 7)，共出现5种余数，
即7种7抽2的四元不定方程5种有解，2种仍无解。
经抽检，各种模式的7抽2的四元不定方程都是5种有解，2种无解。

各种模式的7抽2的四元不定方程都是5种有解，2种无解：
序1 1 7
mod(n,7) 6at^3 6bt^2 6ct d 5周 6周 7周
1→→→ 4 -24 44 -4 16 40 80
2→→→ 6 -18 12 0 60 120 210
3→→→ 4 0 -4 0 80 140 224
4→→→ 1 3 2 0 35 56 84
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→0 1 -6 11 -1 4 10 20
一周汇总 16 -45 65 -5 195 366 618

序2 1 3
mod(n,7) 6at^3 6bt^2 6ct d 5周 6周 7周
1→→→ 6 0 -6 0 120 210 336
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 4 0 -4 0 80 140 224
4→→→ 1 3 2 0 35 56 84
5→→→ 1 0 -1 0 20 35 56
6→→→ 4 12 8 0 140 224 336
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 16 15 -1 0 395 665 1036

序3 1 4
mod(n,7) 6at^3 6bt^2 6ct d 5周 6周 7周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 -3 2 0 10 20 35
3→→→ 6 0 -6 0 120 210 336
4→→→ 1 3 2 0 35 56 84
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 4 0 -4 0 80 140 224
7→→0 4 12 8 0 140 224 336
一周汇总 16 12 2 0 385 650 1015

序10 2 6
mod(n,7) 6at^3 6bt^2 6ct d 5周 6周 7周
1→→→ 1 0 -1 0 20 35 56
2→→→ 6 -18 12 0 60 120 210
3→→→ 1 -6 11 -1 4 10 20
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→→ 4 0 -4 0 80 140 224
6→→→ 4 -12 8 0 40 80 140
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 16 -36 26 -1 204 385 650

序15 3 7
mod(n,7) 6at^3 6bt^2 6ct d 5周 6周 7周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 4 -12 8 0 40 80 140
3→→→ 4 -24 44 -4 16 40 80
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→→ 1 0 -1 0 20 35 56
6→→→ 6 -18 12 0 60 120 210
7→→0 1 -6 11 -1 4 10 20
一周汇总 16 -60 74 -5 140 285 506

序21 6 7
mod(n,7) 6at^3 6bt^2 6ct d 5周 6周 7周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 1 -6 11 -1 4 10 20
4→→→ 4 -24 44 -4 16 40 80
5→→→ 6 -36 66 -6 24 60 120
6→→→ 4 -24 44 -4 16 40 80
7→→0 1 -6 11 -1 4 10 20
一周汇总 16 -96 176 -16 64 160 320

yangchuanju · 发表于 2021-11-5 03:50

初步推测，对于7抽2的五元不定方程，还会有1种无解的情况；要到六元不定方程才会全部有解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-5 04:26

7抽3的二元不定方程变得复杂一些，35种模式下有的1种无解，有的2种无解：
序号 S1 S2 S3 无解数
序1 1 2 3 2
序2 1 2 4 1
序3 1 2 5 2
序4 1 2 6 1
序5 1 2 7 2
序6 1 3 4 1
序7 1 3 5 2
序8 1 3 6 2
序9 1 3 7 1
序10 1 4 5 2
序11 1 4 6 2
序12 1 4 7 2
序13 1 5 6 1
序14 1 5 7 1
序15 1 6 7 2
序16 2 3 4 2
序17 2 3 5 1
序18 2 3 6 2
序19 2 3 7 1
序20 2 4 5 1
序21 2 4 6 2
序22 2 4 7 2
序23 2 5 6 2
序24 2 5 7 2
序25 2 6 7 1
序26 3 4 5 2
序27 3 4 6 1
序28 3 4 7 2
序29 3 5 6 1
序30 3 5 7 2
序31 3 6 7 2
序32 4 5 6 2
序33 4 5 7 1
序34 4 6 7 1
序35 5 6 7 2

7抽3的三元不定方程已全部有解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-5 05:08

9抽2的不定方程肯定相当多的无解，不做讨论。
9抽3的二元不定方程也有许多无解，至三元不定方程尚有1种或2种无解，至四元不定方程全部有解了。

84种9抽3二元不定方程有的3种无解，有的4种无解：
序号数1 数2 数3 无解数
序1 1 2 3 4
序2 1 2 4 3
序3 1 2 5 3
序4 1 2 6 4
序5 1 2 7 3
序6 1 2 8 3
序7 1 2 9 4
序8 1 3 4 3
序9 1 3 5 4
序10 1 3 6 3
序11 1 3 7 3
序12 1 3 8 4
序13 1 3 9 3
序14 1 4 5 3
序15 1 4 6 3
序16 1 4 7 6
序17 1 4 8 3
序18 1 4 9 3
序19 1 5 6 4
序20 1 5 7 3
序21 1 5 8 3
序22 1 5 9 4
序23 1 6 7 3
序24 1 6 8 4
序25 1 6 9 3
序26 1 7 8 3
序27 1 7 9 3
序28 1 8 9 4
序29 2 3 4 4
序30 2 3 5 3
序31 2 3 6 3
序32 2 3 7 4
序33 2 3 8 3
序34 2 3 9 3
序35 2 4 5 3
序36 2 4 6 4
序37 2 4 7 3
序38 2 4 8 3
序39 2 4 9 4
序40 2 5 6 3
序41 2 5 7 3
序42 2 5 8 6
序43 2 5 9 3
序44 2 6 7 4
序45 2 6 8 3
序46 2 6 9 3
序47 2 7 8 3
序48 2 7 9 4
序49 2 8 9 3
序50 3 4 5 4
序51 3 4 6 3
序52 3 4 7 3
序53 3 4 8 4
序54 3 4 9 3
序55 3 5 6 3
序56 3 5 7 4
序57 3 5 8 3
序58 3 5 9 3
序59 3 6 7 3
序60 3 6 8 3
序61 3 6 9 6
序62 3 7 8 4
序63 3 7 9 3
序64 3 8 9 3
序65 4 5 6 4
序66 4 5 7 3
序67 4 5 8 3
序68 4 5 9 4
序69 4 6 7 3
序70 4 6 8 4
序71 4 6 9 3
序72 4 7 8 3
序73 4 7 9 3
序74 4 8 9 4
序75 5 6 7 4
序76 5 6 8 3
序77 5 6 9 3
序78 5 7 8 3
序79 5 7 9 4
序80 5 8 9 3
序81 6 7 8 4
序82 6 7 9 3
序83 6 8 9 3
序84 7 8 9 4

yangchuanju · 发表于 2021-11-5 05:09

84种9抽3三元不定方程有的1种无解，有的2种无解：
序号数1 数2 数3 无解数
序1 1 2 3 2
序2 1 2 4 1
序3 1 2 5 1
序4 1 2 6 2
序5 1 2 7 1
序6 1 2 8 1
序7 1 2 9 2
序8 1 3 4 1
序9 1 3 5 2
序10 1 3 6 1
序11 1 3 7 1
序12 1 3 8 2
序13 1 3 9 1
序14 1 4 5 1
序15 1 4 6 1
序16 1 4 7 6
序17 1 4 8 1
序18 1 4 9 1
序19 1 5 6 2
序20 1 5 7 1
序21 1 5 8 1
序22 1 5 9 2
序23 1 6 7 1
序24 1 6 8 2
序25 1 6 9 1
序26 1 7 8 1
序27 1 7 9 1
序28 1 8 9 2
序29 2 3 4 2
序30 2 3 5 1
序31 2 3 6 1
序32 2 3 7 2
序33 2 3 8 1
序34 2 3 9 1
序35 2 4 5 1
序36 2 4 6 2
序37 2 4 7 1
序38 2 4 8 1
序39 2 4 9 2
序40 2 5 6 1
序41 2 5 7 1
序42 2 5 8 6
序43 2 5 9 1
序44 2 6 7 2
序45 2 6 8 1
序46 2 6 9 1
序47 2 7 8 1
序48 2 7 9 2
序49 2 8 9 1
序50 3 4 5 2
序51 3 4 6 1
序52 3 4 7 1
序53 3 4 8 2
序54 3 4 9 1
序55 3 5 6 1
序56 3 5 7 2
序57 3 5 8 1
序58 3 5 9 1
序59 3 6 7 1
序60 3 6 8 1
序61 3 6 9 6
序62 3 7 8 2
序63 3 7 9 1
序64 3 8 9 1
序65 4 5 6 2
序66 4 5 7 1
序67 4 5 8 1
序68 4 5 9 2
序69 4 6 7 1
序70 4 6 8 2
序71 4 6 9 1
序72 4 7 8 1
序73 4 7 9 1
序74 4 8 9 2
序75 5 6 7 2
序76 5 6 8 1
序77 5 6 9 1
序78 5 7 8 1
序79 5 7 9 2
序80 5 8 9 1
序81 6 7 8 2
序82 6 7 9 1
序83 6 8 9 1
序84 7 8 9 2

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抽量不足之线性不定方程正整数解

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