数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
楼主: yangchuanju

抽量不足之线性不定方程正整数解

[复制链接]
发表于 2021-11-4 12:17 | 显示全部楼层
n值        统计3元
1        0
2        0
3        1
4        0
5        0
6        0
7        3
8        3
9        0
10        0
11        3
12        9
13        6
14        0
15        1
16        9
17        18
18        10
19        0
20        3
21        18
22        30
23        15
24        0
25        6
合成结果统计数据(模5余4的n值都没有解,在三元加法运算中,参与余数类为0和1,5抽2组合)。
只有到了四元加法运算后,模5的各类余数才有解(当然n需要大于一定的值,小点的n值不一定有解)。
连续几楼,都是讨论,分析5抽2组合情况,实例样本是余数0和余数1,参与m元运算的结论。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-5 03:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-5 03:19 编辑

5抽2二元不定方程只有3种有解的实质
这里的5抽2,是将所有正整数按模5余数分成5类,只抽取余数相同的2类正整数;
对于5抽2的二元不定方程来说,就是2种余数相同的正整数两两相加,如余数分别是1和2,两两相加只能得到余数是2,3,4的正整数,
无论如何也不会得到余数是1和0的正整数,即5抽2的二元不定方程只有3种有解,另两种无解。

对于5抽2的三元不定方程来说,就是2种余数相同的正整数三三相加,仍以余数分别是1和2的为例,三三相加:1+1+1=3,1+1+2=4,1+2+2=5,2+2+2=6,只能得到余数是3,4和0,1的正整数,
无论如何也不会得到余数是2的正整数,即5抽2的三元不定方程只有4种有解,另一种无解。

对于5抽2的四元不定方程来说,就是2种余数相同的4个正整数任意相加,仍以余数分别是1和2的为例,四四相加:
1+1+1+1=4≡4(mod 5),1+1+1+2=5≡0(mod 5),1+1+2+2=6≡1(mod 5),1+2+2+2=7≡2(mod 5),2+2+2+2=8≡3(mod 5),5种余数都可能出现,
即5种5抽2的四元不定方程都有解,作为特例当常数项n较小时可能无解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-5 03:04 | 显示全部楼层
对于5种5抽2的四元不定方程,当周数t=3时模式1(序1)已经全部有解,但模式10(序10)还是全部无解,要到第4周时才全部有解;
对于其它模式(序2--序9)在第3周有的有解,有的无解。

序1        1        2                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        6        0        -6        0        0        6        24        60
2→→→        4        0        -4        0        0        4        16        40
3→→→        1        0        -1        0        0        1        4        10
4→→→        1        3        2        0        1        4        10        20
5→→0        4        12        8        0        4        16        40        80
一周汇总        16        15        -1        0        5        31        94        210

序2        1        3                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        4        0        -4        0        0        4        16        40
2→→→        1        -3        2        0        0        0        1        4
3→→→        6        0        -6        0        0        6        24        60
4→→→        1        3        2        0        1        4        10        20
5→→0        4        0        -4        0        0        4        16        40
一周汇总        16        0        -10        0        1        18        67        164

序3        1        4                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        1        -6        11        -1        0        0        0        1
2→→→        4        0        -4        0        0        4        16        40
3→→→        4        -12        8        0        0        0        4        16
4→→→        1        3        2        0        1        4        10        20
5→→0        6        0        -6        0        0        6        24        60
一周汇总        16        -15        11        -1        1        14        54        137

序4        1        5                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        4        -24        44        -4        0        0        0        4
2→→→        6        -18        12        0        0        0        6        24
3→→→        4        0        -4        0        0        4        16        40
4→→→        1        3        2        0        1        4        10        20
5→→0        1        -6        11        -1        0        0        0        1
一周汇总        16        -45        65        -5        1        8        32        89

序5        2        3                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        4        -12        8        0        0        0        4        16
2→→→        1        -3        2        0        0        0        1        4
3→→→        1        0        -1        0        0        1        4        10
4→→→        4        0        -4        0        0        4        16        40
5→→0        6        0        -6        0        0        6        24        60
一周汇总        16        -15        -1        0        0        11        49        130

序6        2        4                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        1        -6        11        -1        0        0        0        1
2→→→        6        -18        12        0        0        0        6        24
3→→→        1        0        -1        0        0        1        4        10
4→→→        4        -12        8        0        0        0        4        16
5→→0        4        0        -4        0        0        4        16        40
一周汇总        16        -36        26        -1        0        5        30        91

序7        2        5                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        4        -12        8        0        0        0        4        16
2→→→        4        -24        44        -4        0        0        0        4
3→→→        1        0        -1        0        0        1        4        10
4→→→        6        -18        12        0        0        0        6        24
5→→0        1        -6        11        -1        0        0        0        1
一周汇总        16        -60        74        -5        0        1        14        55

序8        3        4                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        1        -6        11        -1        0        0        0        1
2→→→        1        -3        2        0        0        0        1        4
3→→→        4        -12        8        0        0        0        4        16
4→→→        6        -18        12        0        0        0        6        24
5→→0        4        -12        8        0        0        0        4        16
一周汇总        16        -51        41        -1        0        0        15        61

序9        3        5                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        6        -36        66        -6        0        0        0        6
2→→→        1        -3        2        0        0        0        1        4
3→→→        4        -24        44        -4        0        0        0        4
4→→→        4        -12        8        0        0        0        4        16
5→→0        1        -6        11        -1        0        0        0        1
一周汇总        16        -81        131        -11        0        0        5        31

序10        4        5                                               
mod(n,5)        6at^3        6bt^2        6ct        d        1周        2周        3周        4周
1→→→        1        -6        11        -1        0        0        0        1
2→→→        4        -24        44        -4        0        0        0        4
3→→→        6        -36        66        -6        0        0        0        6
4→→→        4        -24        44        -4        0        0        0        4
5→→0        1        -6        11        -1        0        0        0        1
一周汇总        16        -96        176        -16        0        0        0        16
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-5 03:36 | 显示全部楼层
同样,对于7抽2二元不定方程只有3种有解,4种无解
这里的7抽2,是将所有正整数按模7余数分成7类,只抽取余数相同的2类正整数;
对于7抽2的二元不定方程来说,就是2种余数相同的正整数两两相加,
如余数分别是1和2,两两相加只能得到余数是2,3,4的正整数,
无论如何也不会得到余数是1,5,6和0的正整数,即5抽2的二元不定方程只有3种有解,另四种无解。
7抽2共21种模式,第1-11种以分别验证“3种有解,4种无解”正确。

对于7抽2的三元不定方程来说,就是2种余数相同的正整数三三相加,
仍以余数分别是1和2的为例,三三相加:1+1+1=3,1+1+2=4,1+2+2=5,2+2+2=6,只能得到余数是3,4,5,6的正整数,
无论如何也不会得到余数是0,1,2的正整数,即7抽2的三元不定方程只有4种有解,另3种无解。
其它各种模式的7抽2的三元不定方程也都是这样,4种有解,3种无解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-5 03:38 | 显示全部楼层
(接上楼)
各种模式的7抽2的三元不定方程都是4种有解,3种无解:                                                       
序1        1        2        8        9        15        16       
mod(n,7)        2at^2        2bt        c        5周        6周        7周        8周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        1        1        0        15        21        28        36
4→→→        3        3        0        45        63        84        108
5→→→        3        3        0        45        63        84        108
6→→→        1        1        0        15        21        28        36
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        8        8        0        120        168        224        288
                                                       
序2        1        3        8        10        15        17       
mod(n,7)        2at^2        2bt        c        5周        6周        7周        8周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        -1        0        10        15        21        28
3→→→        1        1        0        15        21        28        36
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→→        3        3        0        45        63        84        108
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→0        3        3        0        45        63        84        108
一周汇总        8        6        0        115        162        217        280
                                                       
序3        1        4        8        11        15        18       
mod(n,7)        2at^2        2bt        c        5周        6周        7周        8周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        3        -3        0        30        45        63        84
3→→→        1        1        0        15        21        28        36
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→→        1        -1        0        10        15        21        28
6→→→        3        3        0        45        63        84        108
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        8        0        0        100        144        196        256

序10        2        6        9        13        16        20       
mod(n,7)        2at^2        2bt        c        5周        6周        7周        8周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        3        -3        0        30        45        63        84
4→→→        1        -3        1        6        10        15        21
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        1        1        0        15        21        28        36
7→→0        3        -3        0        30        45        63        84
一周汇总        8        -8        1        81        121        169        225

序16        4        5        11        12        18        19       
mod(n,7)        2at^2        2bt        c        5周        6周        7周        8周
1→→→        1        -3        1        6        10        15        21
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→→        1        -1        0        10        15        21        28
6→→→        3        -3        0        30        45        63        84
7→→0        3        -3        0        30        45        63        84
一周汇总        8        -10        1        76        115        162        217

序21        6        7        13        14        20        21       
mod(n,7)        2at^2        2bt        c        5周        6周        7周        8周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        1        -3        1        6        10        15        21
5→→→        3        -9        3        18        30        45        63
6→→→        3        -9        3        18        30        45        63
7→→0        1        -3        1        6        10        15        21
一周汇总        8        -24        8        48        80        120        168
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-5 03:47 | 显示全部楼层
对于7抽2的四元不定方程来说,就是2种余数相同的4个正整数任意相加,
仍以余数分别是1和2的为例,四四相加:1+1+1+1=4≡4(mod 7),1+1+1+2=5≡5(mod 7),1+1+2+2=6≡6(mod 7),
1+2+2+2=7≡0(mod 7),2+2+2+2=8≡1(mod 7),共出现5种余数,
即7种7抽2的四元不定方程5种有解,2种仍无解。
经抽检,各种模式的7抽2的四元不定方程都是5种有解,2种无解。

各种模式的7抽2的四元不定方程都是5种有解,2种无解:
序1        1        7                                       
mod(n,7)        6at^3        6bt^2        6ct        d        5周        6周        7周
1→→→        4        -24        44        -4        16        40        80
2→→→        6        -18        12        0        60        120        210
3→→→        4        0        -4        0        80        140        224
4→→→        1        3        2        0        35        56        84
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→0        1        -6        11        -1        4        10        20
一周汇总        16        -45        65        -5        195        366        618
                                                       
序2        1        3                                       
mod(n,7)        6at^3        6bt^2        6ct        d        5周        6周        7周
1→→→        6        0        -6        0        120        210        336
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        4        0        -4        0        80        140        224
4→→→        1        3        2        0        35        56        84
5→→→        1        0        -1        0        20        35        56
6→→→        4        12        8        0        140        224        336
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        16        15        -1        0        395        665        1036
                                                       
序3        1        4                                       
mod(n,7)        6at^3        6bt^2        6ct        d        5周        6周        7周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        -3        2        0        10        20        35
3→→→        6        0        -6        0        120        210        336
4→→→        1        3        2        0        35        56        84
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        4        0        -4        0        80        140        224
7→→0        4        12        8        0        140        224        336
一周汇总        16        12        2        0        385        650        1015
                                                       
序10        2        6                                       
mod(n,7)        6at^3        6bt^2        6ct        d        5周        6周        7周
1→→→        1        0        -1        0        20        35        56
2→→→        6        -18        12        0        60        120        210
3→→→        1        -6        11        -1        4        10        20
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→→        4        0        -4        0        80        140        224
6→→→        4        -12        8        0        40        80        140
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        16        -36        26        -1        204        385        650

序15        3        7                                       
mod(n,7)        6at^3        6bt^2        6ct        d        5周        6周        7周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        4        -12        8        0        40        80        140
3→→→        4        -24        44        -4        16        40        80
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→→        1        0        -1        0        20        35        56
6→→→        6        -18        12        0        60        120        210
7→→0        1        -6        11        -1        4        10        20
一周汇总        16        -60        74        -5        140        285        506

序21        6        7                                       
mod(n,7)        6at^3        6bt^2        6ct        d        5周        6周        7周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        1        -6        11        -1        4        10        20
4→→→        4        -24        44        -4        16        40        80
5→→→        6        -36        66        -6        24        60        120
6→→→        4        -24        44        -4        16        40        80
7→→0        1        -6        11        -1        4        10        20
一周汇总        16        -96        176        -16        64        160        320
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-5 03:50 | 显示全部楼层
初步推测,对于7抽2的五元不定方程,还会有1种无解的情况;要到六元不定方程才会全部有解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-5 04:26 | 显示全部楼层
7抽3的二元不定方程变得复杂一些,35种模式下有的1种无解,有的2种无解:
序号        S1        S2        S3        无解数
序1        1        2        3        2
序2        1        2        4        1
序3        1        2        5        2
序4        1        2        6        1
序5        1        2        7        2
序6        1        3        4        1
序7        1        3        5        2
序8        1        3        6        2
序9        1        3        7        1
序10        1        4        5        2
序11        1        4        6        2
序12        1        4        7        2
序13        1        5        6        1
序14        1        5        7        1
序15        1        6        7        2
序16        2        3        4        2
序17        2        3        5        1
序18        2        3        6        2
序19        2        3        7        1
序20        2        4        5        1
序21        2        4        6        2
序22        2        4        7        2
序23        2        5        6        2
序24        2        5        7        2
序25        2        6        7        1
序26        3        4        5        2
序27        3        4        6        1
序28        3        4        7        2
序29        3        5        6        1
序30        3        5        7        2
序31        3        6        7        2
序32        4        5        6        2
序33        4        5        7        1
序34        4        6        7        1
序35        5        6        7        2

7抽3的三元不定方程已全部有解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-5 05:08 | 显示全部楼层
9抽2的不定方程肯定相当多的无解,不做讨论。
9抽3的二元不定方程也有许多无解,至三元不定方程尚有1种或2种无解,至四元不定方程全部有解了。

84种9抽3二元不定方程有的3种无解,有的4种无解:
序号        数1        数2        数3        无解数
序1        1        2        3        4
序2        1        2        4        3
序3        1        2        5        3
序4        1        2        6        4
序5        1        2        7        3
序6        1        2        8        3
序7        1        2        9        4
序8        1        3        4        3
序9        1        3        5        4
序10        1        3        6        3
序11        1        3        7        3
序12        1        3        8        4
序13        1        3        9        3
序14        1        4        5        3
序15        1        4        6        3
序16        1        4        7        6
序17        1        4        8        3
序18        1        4        9        3
序19        1        5        6        4
序20        1        5        7        3
序21        1        5        8        3
序22        1        5        9        4
序23        1        6        7        3
序24        1        6        8        4
序25        1        6        9        3
序26        1        7        8        3
序27        1        7        9        3
序28        1        8        9        4
序29        2        3        4        4
序30        2        3        5        3
序31        2        3        6        3
序32        2        3        7        4
序33        2        3        8        3
序34        2        3        9        3
序35        2        4        5        3
序36        2        4        6        4
序37        2        4        7        3
序38        2        4        8        3
序39        2        4        9        4
序40        2        5        6        3
序41        2        5        7        3
序42        2        5        8        6
序43        2        5        9        3
序44        2        6        7        4
序45        2        6        8        3
序46        2        6        9        3
序47        2        7        8        3
序48        2        7        9        4
序49        2        8        9        3
序50        3        4        5        4
序51        3        4        6        3
序52        3        4        7        3
序53        3        4        8        4
序54        3        4        9        3
序55        3        5        6        3
序56        3        5        7        4
序57        3        5        8        3
序58        3        5        9        3
序59        3        6        7        3
序60        3        6        8        3
序61        3        6        9        6
序62        3        7        8        4
序63        3        7        9        3
序64        3        8        9        3
序65        4        5        6        4
序66        4        5        7        3
序67        4        5        8        3
序68        4        5        9        4
序69        4        6        7        3
序70        4        6        8        4
序71        4        6        9        3
序72        4        7        8        3
序73        4        7        9        3
序74        4        8        9        4
序75        5        6        7        4
序76        5        6        8        3
序77        5        6        9        3
序78        5        7        8        3
序79        5        7        9        4
序80        5        8        9        3
序81        6        7        8        4
序82        6        7        9        3
序83        6        8        9        3
序84        7        8        9        4
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-5 05:09 | 显示全部楼层
84种9抽3三元不定方程有的1种无解,有的2种无解:
序号        数1        数2        数3        无解数
序1        1        2        3        2
序2        1        2        4        1
序3        1        2        5        1
序4        1        2        6        2
序5        1        2        7        1
序6        1        2        8        1
序7        1        2        9        2
序8        1        3        4        1
序9        1        3        5        2
序10        1        3        6        1
序11        1        3        7        1
序12        1        3        8        2
序13        1        3        9        1
序14        1        4        5        1
序15        1        4        6        1
序16        1        4        7        6
序17        1        4        8        1
序18        1        4        9        1
序19        1        5        6        2
序20        1        5        7        1
序21        1        5        8        1
序22        1        5        9        2
序23        1        6        7        1
序24        1        6        8        2
序25        1        6        9        1
序26        1        7        8        1
序27        1        7        9        1
序28        1        8        9        2
序29        2        3        4        2
序30        2        3        5        1
序31        2        3        6        1
序32        2        3        7        2
序33        2        3        8        1
序34        2        3        9        1
序35        2        4        5        1
序36        2        4        6        2
序37        2        4        7        1
序38        2        4        8        1
序39        2        4        9        2
序40        2        5        6        1
序41        2        5        7        1
序42        2        5        8        6
序43        2        5        9        1
序44        2        6        7        2
序45        2        6        8        1
序46        2        6        9        1
序47        2        7        8        1
序48        2        7        9        2
序49        2        8        9        1
序50        3        4        5        2
序51        3        4        6        1
序52        3        4        7        1
序53        3        4        8        2
序54        3        4        9        1
序55        3        5        6        1
序56        3        5        7        2
序57        3        5        8        1
序58        3        5        9        1
序59        3        6        7        1
序60        3        6        8        1
序61        3        6        9        6
序62        3        7        8        2
序63        3        7        9        1
序64        3        8        9        1
序65        4        5        6        2
序66        4        5        7        1
序67        4        5        8        1
序68        4        5        9        2
序69        4        6        7        1
序70        4        6        8        2
序71        4        6        9        1
序72        4        7        8        1
序73        4        7        9        1
序74        4        8        9        2
序75        5        6        7        2
序76        5        6        8        1
序77        5        6        9        1
序78        5        7        8        1
序79        5        7        9        2
序80        5        8        9        1
序81        6        7        8        2
序82        6        7        9        1
序83        6        8        9        1
序84        7        8        9        2
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-12 05:41 , Processed in 0.078259 second(s), 13 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表