数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
123
返回列表 发新帖
楼主: 费尔马1

n^2+a^2+b^2=C^2;通式全部解公式

[复制链接]
发表于 2021-11-30 07:58 | 显示全部楼层
3,4 5是一组人人皆知的勾股数,下一组是5,12,13;
能不能将勾股数中的3数作为四元毕达哥拉斯数的abc,求d呢?

查四元数组表,仅有3,4,12,13;5,12,84,85这样的数组。
3^2+4^2=5^2;5^2+5^2=50不是完全平方数,故不存在四元毕达哥拉斯数d^2=3^2+4^2+5^2;
同理5^2+12^2+13^2=2*13^2不是完全平方数,不存在四元毕达哥拉斯数d^2=5^2+12^2+13^2;……

然而以两直角边分别等于3和4的直角三角形的斜边(长5)为另一个直角三角形的一条直角边,
以长度等于12的一条垂线为另一直角边,可得到第2个斜边长度是整数13的直角三角形;
再以13和84为两直角边,可得到第3个斜边长是整数(85)的直角三角形;
继以85和132为两直角边,可得到第4个斜边长是整数(157)的直角三角形;
续以157和12324为两直角边,可得到第4个斜边长是整数(12325)的直角三角形;……
(第4步也可以85和3612位两直角边得到一个斜边长3613的直角三角形)

如此延伸下去,可得到一颗毕达哥拉斯树;
第2个直角三角形的第2条直角边可放在第1个直角三角形斜边的左端或右端,因而可得2个不同的树形(图形);
第3个直角三角形的第2条直角边可放在第2个直角三角形斜边的左端或右端,因而可得4个不同的树形(图形);
第4个直角三角形的第2条直角边可放在第3个直角三角形斜边的左端或右端,因而可得8个不同的树形(图形);
……
再加上第1个直角三角形也有几种不同的摆放方式,因而可得一系列不同的毕达哥拉斯树。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-30 08:15 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2021-11-29 10:49
那就再来一个解:

对于\( x^2 + y^2 + z^2 = w^2\),它的整数通解是:

对于x2+y2+z2=w2,它的整数通解是:
x=(u-s^2-t^2)*(u+s^2+t^2)
y=2u*(s-t)*(s+t)
z=4u*s*t
w=u^2+s^4+2s^2*t^2+t^4

x=(s^2+t^2-u)*(s^2+t^2+u)
y=2u*(s-t)*(s+t)
z=4u*s*t
w=-(u^2+s^4+2s^2*t^2+t^4)

按照creasson老师的通式,给定s,t,u三参数就可以得到x,y,z,w;
如果s>t,u>s^2+t^2,则所得就是一组正整数四元毕达哥拉斯数组。
x,y,z至少是二合数、四合数、四合数;而四元数组不全如此,故该通式包括不了所有四元毕达哥拉斯数组。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-30 09:46 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-30 07:58
3,4 5是一组人人皆知的勾股数,下一组是5,12,13;
能不能将勾股数中的3数作为四元毕达哥拉斯数的abc,求d ...

yangchuanju
该式包括不了2,3,6,7和2,5,14,15等四元毕达哥拉斯数组, 因为用b=[1/(2K)](m^2-K^2+n^2)求不出6和14等数字。  
回复:
2^2+3^2+6^2=7^2
k=1,代入可得b=6
同样,2^2+5^2+14^2=15^2
k=1,代入可得b=14
通式是全部解啊!

点评

三元不定方程的正整数解只有白新岭能求全,我求解时可能有丢失。  发表于 2021-11-30 10:16
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-11 05:36 , Processed in 0.083870 second(s), 18 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表