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3,4 5是一组人人皆知的勾股数,下一组是5,12,13;
能不能将勾股数中的3数作为四元毕达哥拉斯数的abc,求d呢?
查四元数组表,仅有3,4,12,13;5,12,84,85这样的数组。
3^2+4^2=5^2;5^2+5^2=50不是完全平方数,故不存在四元毕达哥拉斯数d^2=3^2+4^2+5^2;
同理5^2+12^2+13^2=2*13^2不是完全平方数,不存在四元毕达哥拉斯数d^2=5^2+12^2+13^2;……
然而以两直角边分别等于3和4的直角三角形的斜边(长5)为另一个直角三角形的一条直角边,
以长度等于12的一条垂线为另一直角边,可得到第2个斜边长度是整数13的直角三角形;
再以13和84为两直角边,可得到第3个斜边长是整数(85)的直角三角形;
继以85和132为两直角边,可得到第4个斜边长是整数(157)的直角三角形;
续以157和12324为两直角边,可得到第4个斜边长是整数(12325)的直角三角形;……
(第4步也可以85和3612位两直角边得到一个斜边长3613的直角三角形)
如此延伸下去,可得到一颗毕达哥拉斯树;
第2个直角三角形的第2条直角边可放在第1个直角三角形斜边的左端或右端,因而可得2个不同的树形(图形);
第3个直角三角形的第2条直角边可放在第2个直角三角形斜边的左端或右端,因而可得4个不同的树形(图形);
第4个直角三角形的第2条直角边可放在第3个直角三角形斜边的左端或右端,因而可得8个不同的树形(图形);
……
再加上第1个直角三角形也有几种不同的摆放方式,因而可得一系列不同的毕达哥拉斯树。
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