智力游戏赛题之妙解

费尔马1

以现在论坛里解丢番图方程的水平，我们可以向多项和不定方程进展了。
例如，解丢番图方程:
8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^11

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-2-23 12:29
时空伴随者老师的两个题很好！其中，那道三项和不定方程意义非凡，她可以延伸到多项和不定方程，基本解决希 ...

18楼楼主给出一题：
1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013
经分析ABC的3个系数和3个指数中有5个素数，唯C指8013=3*2671；
又分析由1,2,6,7四数组成的24个四位数中共有6个素数（第6个是7621），
如将C指8013换成7621，则方程的3个系数和3个指数变成全素数的了，
且6个四位素数的4个数字都是1,2,6,7。
将8013换成7621，另对一个不定方程：
1627A^2671+6217B^6271=2617C^7621

又得知时空伴随者曾经给出一方程：
\( 2617A^{2671}+6217B^{6271}=1627C^{7621}\)
亦属于由1,2,6,7四数组成的24个四位数中的6个素数做不定方程系数和指数的方程之一。

现有6个素数，6个位置（3个系数，3个指数），6素数全排列共6！=720种，
因此共可排出720个不同的丢番图不定方程，请问楼主（程中战）它们都有解吗？

yangchuanju

1楼楼主所给丢番图方程是：
2357A^7253+2753B^7523=3257C^5273
方程中的3系数、3指数都是素数，
另行分析知由2,3,5,7四数组成的24个四位数中共有8个素数（第7-8个是3527和7253），
时空伴随者给出的第二题中的4系数、4指数用完本组8素数：
\( 3257A^{7253}+3527B^{7523}+5237C^{5273}=2357D^{2753}\)
现有8个素数，8个位置（4个系数，4个指数），8素数全排列共8！=40320种，
据此共可排出40320个不同的丢番图不定方程，它们都有解吗？

yangchuanju

18楼楼主给出一题：
1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013

经分析ABC的3个系数和3个指数中有5个素数，唯C指8013=3*2671；（该类型不会解）
又分析由1,2,6,7四数组成的24个四位数中共有6个素数（第6个是7621），
如将C指8013换成7621，则方程的3个系数和3个指数变成全素数的了，
且6个四位素数的4个数字都是1,2,6,7。
下面用程氏解法试解一下方程：
1627A^2671+6217B^6271=2617C^7621

假定不定方程解的结构是
A=1627^c1*6217^d1*2617^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
B=1627^c2*6217^d2*2617^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
C=1627^c3*6217^d3*2617^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶；u=2671（A指）。

1627的指数不定方程：2671*c1+1=6271*c2=7621*c3
6217的指数不定方程：2671*d1=6271*d2+1=7621*d3
2617的指数不定方程：2671*e1=6271*e2=7621*e3+1

设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
2671*s1=6271*s2=7621*s3-2
2671*t1=6271*t2+2=7621*t3
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

解以下5组不定方程可求出c1,c2,c3;d1,d2,d3;e1,e2,e3;s1,s2,s3;t1,t2,t3共15参数。
2671*c1+1=6271*c2=7621*c3, c2=7621*c3/6271, c1=(7621*c3-1)/2671
2671*d1=6271*d2+1=7621*d3, d3=2671*d1/7621, d2=(2671*d1-1)/6271
2671*e1=6271*e2=7621*e3+1, e1=6271*e2/2671, e3=(2671*e1-1)/7621
2671*s1=6271*s2=7621*s3-2, s2=2671*s1/6271, s3=(2671*s1+2)/7621
2671*t1=6271*t2-2=7621*t3, t3=2671*t1/7621, t2=(2671*t1+2)/6271

A=1627^24262445*6217^36321686*2617^34998451*a*b*[(a^u+b^u) /2]^25585680*[(a^u－b^u ) /2]^22939210
B=1627^10334076*6217^15470455*2617^14906851*[(a^u+b^u) /2]^10897680*[(a^u－b^u ) /2]^9770472
C=1627^8503476*6217^12729986*2617^12266220*[(a^u+b^u) /2]^8967242*[(a^u－b^u ) /2]^8039710

2367A^2671=1627^64804990596*6217^97015223306*2617^93480862621*a^2671*b^2671*[(a^2671+b^2671) /2]^68339351280*[(a^2671－b^2671 ) /2]^61270629910
6217B^6271=1627^64804990596*6217^97015223306*2617^93480862621*[(a^2671+b^2671) /2]^68339351280*[(a^2671－b^2671 ) /2]^61270629912
2617C^7621=1627^64804990596*6217^97015223306*2617^93480862621*[(a^2671+b^2671) /2]^68339351282*[(a^2671－b^2671 ) /2]^61270629910

令式中u=2671（A的指数），至此ABC前3项指数均相等了，对2367A^2671+6217B^6271合并同类项，
提取公因式合并同类项后，A项剩一a^2671*b^2671，B项剩一[(a^2671-b^2671)/2]^2，C项剩一[(a^2671+b^2671)/2]^2，
a^2671*b^2671+[(a^2671-b^2671)/2]^2=a^2671*b^2671+(a^2671)^2/4-2*a^2671*b^2671/4+(b^2671)^2/4=(a^2671)^2/4+2*a^2671*b^2671/4+(b^2671)^2/4=[(a^2671+b^2671)/2]^2
AB两相和等于C项，原不定方程解正确。式中u=2671（A的指数）

至此本丢番图方程：1627A^2671+6217B^6271=2617C^7621的通解是：
A=1627^24262445*6217^36321686*2617^34998451*a*b*[(a^2671+b^2671) /2]^25585680*[(a^2671－b^2671 ) /2]^22939210
B=1627^10334076*6217^15470455*2617^14906851*[(a^2671+b^2671) /2]^10897680*[(a^2671－b^2671 ) /2]^9770472
C=1627^8503476*6217^12729986*2617^12266220*[(a^2671+b^2671) /2]^8967242*[(a^2671－b^2671 ) /2]^8039710

yangchuanju

试解不定方程
3A^23+5B^19+7C^17=11D^13
设方程解的形式是
A=11^(E1*t+F1)*15^(G1*k+H1)
B=11^(E2*t+F2)*15^(G2*k+H2)
C=11^(E3*t+F3)*15^(G3*k+H3)
D=11^(E4*t+F4)*15^(G4*k+H4)

解之得
A=11^(4199*t+3553)*15^(4199*k+646)
B=11^(5083*t+4301)*15^(5083*k+782)
C=11^(5681*t+4803)*15^(5681*k+874)
D=11^(7429*t+6286)*15^(7429*k+1143)

检验
A^23=11^(96577*t+81719)*15^(96577*k+14858)
B^19=11^(96577*t+81719)*15^(96577*k+14858)
C^17=11^(96577*t+81719)*15^(96577*k+14858)
D^13=11^(96577*t+81718)*15^(96577*k+14859)

3A^23+5B^19+7C^17=(3+5+7)*11^(96577*t+81719)*15^(96577*k+14858)=11^(96577*t+81719)*15^(96577*k+14859)
11D^13=11*11^(96577*t+81718)*15^(96577*k+14859)=11^(96577*t+81719)*15^(96577*k+14859)
3A^23+5B^19+7C^17=11D^13正确！

3A^23+5B^19+7C^17=11D^13的正整数通解是：
A=11^(4199*t+3553)*15^(4199*k+646)
B=11^(5083*t+4301)*15^(5083*k+782)
C=11^(5681*t+4803)*15^(5681*k+874)
D=11^(7429*t+6286)*15^(7429*k+1143)
式中t、k是零或正整数。

yangchuanju

试解时空伴随者不定方程
3257A^7253+3527B^7523+5237C^5273=2357D^2753
设方程解的形式是
A=2357^(E1*t+F1)*12021^(G1*k+H1)
B=2357^(E2*t+F2)*12021^(G2*k+H2)
C=2357^(E3*t+F3)*12021^(G3*k+H3)
D=2357^(E4*t+F4)*12021^(G4*k+H4)
解之
A=2357^(109208148587*t+13725397534)*12021^(109208148587*k+81757353519)
B=2357^(105288674957*t+13232793874)*12021^(105288674957*k+78823087209)
C=2357^(150215570207*t+18879254374)*12021^(150215570207*k+112457061459)
D=2357^(287717654087*t+36160664117)*12021^(287717654087*k+215396325853)

检验
A^7253=2357^(792086701701511*t+99550308314102)*12021^(792086701701511*k+592986085073307)
B^7523=2357^(792086701701511*t+99550308314102)*12021^(792086701701511*k+592986085073307)
C^5273=2357^(792086701701511*t+99550308314102)*12021^(792086701701511*k+592986085073307)
D^2753=2357^(792086701701511*t+99550308314101)*12021^(792086701701511*k+592986085073308)

3257A^7253+3527B^7523+5237C^5273
=(3257+3527+5237)*2357^(792086701701511*t+99550308314102)*12021^(792086701701511*k+592986085073307)
=2357^(792086701701511*t+99550308314102)*12021^(792086701701511*k+592986085073308)
2357D^2753=2357*2357^(792086701701511*t+99550308314101)*12021^(792086701701511*k+592986085073308)
=2357^(792086701701511*t+99550308314102)*12021^(792086701701511*k+592986085073308)
3257A^7253+3527B^7523+5237C^5273=2357D^2753正确！

3257A^7253+3527B^7523+5237C^5273=2357D^2753的正整数通解是：
A=2357^(109208148587*t+13725397534)*12021^(109208148587*k+81757353519)
B=2357^(105288674957*t+13232793874)*12021^(105288674957*k+78823087209)
C=2357^(150215570207*t+18879254374)*12021^(150215570207*k+112457061459)
D=2357^(287717654087*t+36160664117)*12021^(287717654087*k+215396325853)
式中t、k是0或正整数。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-2-24 18:05
试解时空伴随者不定方程
3257A^7253+3527B^7523+5237C^5273=2357D^2753
设方程解的形式是

杨老师艺高胆大，攻关的干劲十足，您的这种对知识的执着精神值得我们学习！

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-2-24 19:34
杨老师艺高胆大，攻关的干劲十足，您的这种对知识的执着精神值得我们学习！

请问程老师：
18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013如何解？8013=3*2671
21楼的方程8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^11如何解？

yangchuanju

18楼楼主给出一题：
1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013
经分析ABC的3个系数和3个指数中有5个素数，唯C指8013=3*2671；
该类型不定方程我还不会解，试将C的指数改成3，便可解了。
解出ABC后再将C换成C^2671，行不行？
应该不行的，因求出的通解C一般不能开2671次方。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-2-24 20:28
请问程老师：
18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013如何解？8013=3*2671
21楼的方程8A^3+9B^5+5 ...

18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013如何解？8013=3*2671
21楼的方程8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^11如何解？
学生回答:
18楼的方程1627A^2671+6217B^6271=2617C^8013
移项，等价变形:
2617C^8013－1627A^2671=6217B^6271
然后采用鲁氏解法，取解的底数为2617－1627=990
………………………………………………
21楼的方程8A^3+9B^5+5C^9=10D^7+6E^11
移项，等价变形为，
8A^3+9B^5+5C^9－10D^7=6E^11
或8A^3+9B^5+5C^9－6E^11=10D^7
或其它变形都可以。
必须使等号右边一个项，且此项的指数与其它指数都互质。
然后，再采用鲁氏解法或其他解法即可。