已知四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD，且有 AC=BD=1，求证：ABCD 至少有一条边长为无理数

llshs好石

shuxuestar 发表于 2022-5-19 13:22
朱世桀假如真有那么牛逼，怎么现在世界数学界没有他的地位？

现在是现在，将来是将来……世事一直在变化着，没有人能未卜先知

波斯猫猫

本帖最后由 llshs好石 于 2022-5-19 19:46 编辑

波斯猫猫 发表于 2022-5-19 12:06
仙人，你的“不定方程x^2+z^2=y^2+w^2”中的未知数（解为整数）不受任何限制，而此处的“y^2=x^2+z^2-w^2” ...


谢谢老师，再次细阅老师您的证明过程，并未用到对角线AC=BD=1的条件，不知是何缘故，而得出受限，学生愚昧，难以理解，望老师指明。

科普：两条长均为1的对角线被分成a和1-a，b和1-b四段，则0＜a＜1,0＜1-a＜1,0＜b＜1,0＜1-b＜1。
由勾股定理有，x^2=a^2+b^2＜2，y^2=b^2+(1-a)^2＜2，z^2=(1-a)^2+(1-b)^2＜2，
w^2=a^2+(1-b)^2＜2，故，x^2+z^2=y^2+w^2，其中x，y，z，w∈(0，√2)。
“x，y，z，w∈(0，√2)”就是“受限”。

llshs好石

波斯猫猫 发表于 2022-5-19 22:02
本帖最后由 llshs好石 于 2022-5-19 19:46 编辑

波斯猫猫 发表于 2022-5-19 12:06

谢谢老师，当不定方程x^2+z^2=y^2+w^2有整数解时，方程两边同时除以一个足够大的平方数，我相信x,z,y,w一定能取值在(0,2^(1/2))，我相信你懂的。请老师仔细斟酌！
还有：若(n^2-m^2）/m^2=λ^2-μ^2=e/t  (e，t互素)  ，则必有(n^2-m^2）=e和m^2=t，何来tn^2=(t+e)m^2？实在让学生费解

风花飘飘

设：两条垂直的相等线段的4个端点共圆，问各点的坐标？

波斯猫猫

谢谢老师，当不定方程x^2+z^2=y^2+w^2有整数解时，方程两边同时除以一个足够大的平方数，我相信x,z,y,w一定能取值在(0,2^(1/2))，我相信你懂的。请老师仔细斟酌！
还有：若(n^2-m^2）/m^2=λ^2-μ^2=e/t  (e，t互素)  ，则必有(n^2-m^2）=e和m^2=t，何来tn^2=(t+e)m^2？实在让学生费解。

（1）众人皆知：垂美四边形不相邻两边的平方和相等，即x^2+z^2=y^2+w^2。但是，其逆命题“不相邻两边的平方和相等的四边形是垂美四边形“一定成立吗（即使有个别成立的情况，但未必一定满足加强条件“对角线相等“）？。或命题“四边形是垂美四边形的充要条件是不相邻两边的平方和相等“一定成立吗？如果是成立的，那么早就有人给出了这样的命题。哪还有机会让他人叽叽喳喳的。
（2）还有：若(n^2-m^2）/m^2=λ^2-μ^2=e/t  (e，t互素)  ，则必有(n^2-m^2）=e和m^2=t，何来tn^2=(t+e)m^2？实在让学生费解。断章取义，难道中间过渡的“λ^2-μ^2”被亚速营灭了不成？

波斯猫猫

好好的把59^2，133^2，134^2，158^2具体验证一下，从逻辑次序讲，看看用它们能否构成四边形？能否垂美？对角线能否相等？
如果啥都不是，就是按比例缩小到（0，√2）内，也是空谈。

llshs好石

波斯猫猫 发表于 2022-5-20 15:47
好好的把59^2，133^2，134^2，158^2具体验证一下，从逻辑次序讲，看看用它们能否构成四边形？能否垂美？对 ...

验证过，不成立

风花飘飘

给定一条斜边，使其可以构造1、2、3、4、5、6……个“毕氏三角形”，这个都有通解公式。
好石想讨论的是构造4个的情况即可满足要求，而已！
我懒得翻书了，也不想去自己推导……
这类问题，论坛有个蔡（蔡家雄）先生最内行，可以请教他，包大家满意！
因为那本书被他熟读透了，这本书是《数论妙趣》，其中对这个问题研究的透透的了，不妨找来一读。。。

好石的猜测很幼稚！要多多读书学习。

风花飘飘

给定的这一条斜边必须含有（4x+1）型因子，否则不能构成“毕氏三角形”的斜边。
我把斜边为50000之前的写在这里：
520为斜边可以构造4个“毕氏三角形”/
780为斜边可以构造4个“毕氏三角形”/
975为斜边可以构造7个“毕氏三角形”/
9375为斜边可以构造5个“毕氏三角形”/
50000为斜边可以构造5个“毕氏三角形”/
3*5^8为斜边可以构造8个“毕氏三角形”/
……
注：【5为斜边只可以构造1个“毕氏三角形”/】
50000之前可以构造至少4个“毕氏三角形”的都写在这里了，要找就从这些斜边里构造，其它数都是万万不能的。

风花飘飘

什么型的数可以是直角边？什么型的即可以是直角边也可以是斜边？书中有详尽解说，，，
好石的这个问题是可以给出通解式的问题。
简单但也很不是不繁琐。。