也谈马克思的《数学手稿》和现行教科书的实数理论

ba571016

春风晚霞 发表于 2022-3-8 06:22
也许我对数学史的认知确实有些缺乏，不过我也知道古希腊人只认同几何推理，而怀疑代数演算。由于\(\sqr ...

“公理集合论”如今莫衷一是，“连续统假设”得不到证明。
你能说微积分遗留下的逻辑基础问题得到了完全解决吗？？

春风晚霞

ba571016 发表于 2022-3-8 10:53
“公理集合论”如今莫衷一是，“连续统假设”得不到证明。
你能说微积分遗留下的逻辑基础问题得到了完全 ...

一、关于数学中人的理想
1、教书匠退休后的理想
       米岁茶年的人，几十年执教生涯。养成了忠于教育事业；忠于赖以履职的教科书的秉性。不误导学生，使之能顺利升学、顺利毕业便是我最大的理想。退休之后，本应安享清闲，但面对一些全面否定现行教科书数学理论的奇谈怪论，也忍不住想发表几句拙见。
2、ba571016先生的理想
    ①、 ba571016先生的理想
    ba571016先生的理想，大概就是根据那个【是要虚数？还是要虽-1<1,而-1÷1=1÷(-1)仍然成立？谁生谁亡的问题？？】，来扬名立万，从根本上否定现行教科书的复数理论。当然，建立在\(i^2\)=-1基础上的像傳立叶级数、杨(乐)—张(广厚)亚纯函数理论等等与复数相关的理论也一并铲除。虽然我并不彻底知道，ba571016先生的最终理想是什么？但从他的贴文看，他所储备的数学知识还不足以实现他的理想。
       ②、ba571016认为【康托尔及希尔伯特派的“逻辑主义”和“符号形式主义”的理想看来是永远不可实现】，首先看这个理想是什么？其次是看实现的标准又是什么？若是像你那样以名垂千古，流芳百世为理想，那么康托尔及希尔伯特派的“逻辑主义”和“符号形式主义”的理想早已实现了。顺便告诉你康托尔实数理论不仅在\(\mathbf{分析数学}\)中独占鳌头，就在比\(\mathbf{分析数学}\)抽象得多的近世代数、微分几何、点集拓扑……中也有广泛的应用，就你的理想得以实现的那天，能有此成就吗？唐·韩愈《原道》:“坐井而观天,曰天小者,非天小也。” ba571016先生，你要推翻现行的数学理论，最好还是先学好现行的数学理论，方能做到有的放矢，言之有据嘛！
3、Hilbert理想和Goder定理
①、Hilbert理想
       20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”；希尔伯特还要求公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁）和“无矛盾性”（即相容性，不能从公理系统导出矛盾）。值得指出的是，希尔伯特所说的公理不是我们通常认为的公理，而是经过了彻底的形式化，它们存在于一门叫做元数学的分支中。元数学与一般数学理论的关系有点像计算机中应用程序和普通文件的关系。
②、Godel不完备性定理
       定理1：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
       定理2:如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
二、理解Godel的常见错误
       错误之一、“所有的公理系统都是不完备的”。这是最常见的错误，甚至有人用这点来否定逻辑学。拿欧氏几何来说，就可以被公理化为一个完整的系统。
       错误之二、“所有包含到自然数的公理系统都是不完备的”。这个错误从有些哥德尔定理的描述中都能看得出来。该定理仅假设公理系统能“定义”自然数。很多包含自然数的系统，例如“实数”和“复数”都有完备的公理化系统。
       错误之三、“因为不完备，我们永远无法证明一个公理系统无矛盾”。其实，我们可以用其他方法证明，如超限归纳法。其实该定理只表明我们不能从系统的内部证明相容性，不排除我们可以通过其他系统给出证明。
三、对ba571016善意提醒之回复
       ba571016先生在他的贴末，语重心长的嘱托，【请记住：那些局囿在“数学圈子”的人，常犯的错误就是：不识庐山真面目，只缘身在此山中！】
       谢谢先生提醒，我身处庐山之中，虽难欣赏“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的外在景观，却能感悟“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”内在成因。ba571016先生，如果你也是“数学圈子”的人，你还会认为Hilbert和Cantor的数学理论是完全错误的吗？
       【公理集合论”如今莫衷一是，“连续统假设”得不到证明】，这并不意味着微积分基础就存在问题。“莫衷一是，和连续统假得不到证明”与你打算建立的那个现在我还不知名的“系统”比较，微积分根本就没遗留下什么逻辑基础问题。

elim

吃狗屎的 jzkyllcjl 与人类数学事实上已经无法对话了：话语系统根本没有交集。现实线段是什么？现实圆又多圆？他的狗屎现实与人类数学毫不相干，不过是他的主观意淫。

jzkyllcjl 支配时常在这个论坛被吊打，

现在谈谈 ba571016.  感觉先生的确先被生了出来，只是脑袋受了伤，先进入了痴呆。克莱因的【古今数学思想】和【数学：确定性的丧失】二书的确有名一时，可惜避免不了学术短命：【古今数学思想】没啥数学思想，只许多数学名人轶事的拼盘，从中找不出什么印象深刻让人终身得益的思想；人类在一个形式系统内无法证明系统的完备性就是确定性的丧失？谁丧失了原本有的东西？不要意淫人是上帝，无所不知无所不能好不好？人的理性无法企及终极真理有什么好大惊小怪的？你四则运算都搞不定却想着挑战人类数学？吃错了什么药？

春风晚霞

                           \(\mathbf{数系的扩张及i^2=-1的由来}\)
一、i=\(\sqrt {-1}\)的由来
       由方程\(x^2\)+1=0，移项得\(x^2\)=-1，由于实数系中\(\sqrt a\)要求被开方数a\(\gneq\)0(即要求a非负) 。所以，实数系中负数不允许开方，也不包负数的平方根这样的数。为此，必须扩张实数系，并使扩张后的数系满足①、对实数的开方运算封闭；②、扩充后的数系必须包含负数开方的结果(即\(\sqrt a\) a<0)。逻辑上需要引进一种新的数的单位i=\(\sqrt {-1}\)。
二、复数发展(数系扩张)简介
1、复数的概念
       定义：形如Z=x+yi  (x，y∈R，\(i^2\)=-1)的数称为复数。其中， i 为虚单位，x 与 y 分别叫做 z 的实部与虚部,常记作 x = Rez; y = Imz。   
       虚部为零的复数为实数, 简记为 x + i0 = x. 因此, 全体实数是复数的一部分。特别记 0 + i0 = 0, 即当且仅当 z 的实部和虚部同时为零时，复数 z 为零。实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数。如果两复数的实部和虚部分别相等, 则称两复数相等。
2、复数发展简史
       意大利数学家卡尔达诺 (G. Cardano, 1501-1576) 在 1545 年出版的《大术》一书被公认为是第一本引入复数概念的数学专著。然而创新者本人在这本著作中就给复数戴上了一顶“既不可捉摸，又没有用处”的帽子，预示着出生后的复数将是命运多舛。
       1572 年，意大利另一位数学家邦贝利 (R. Bombelli, 1526-1572) 出版的《代数学》一书，第一次定义出复数的代数运算，但又否定说“所有这些似乎是以诡辩而不是真理为基础的”。那时复数被称为“不可纯数”或“虚数”。不幸的是后者一直沿用至今。
       所有这些困惑和麻烦皆指向“什么是复数”这一带有根本性的问题。
       直到 18 世纪末、 19 世纪初，挪威的测量学家韦塞尔 (C. Wesel, 1745-1818)、瑞士人阿尔冈 (J. R. Argand, 1768-1822) 和德国数学家高斯 (C.F.Guass, 1777-1855)先后互相独立地给出复数的几何表示。
       在直角坐标系下, 横轴上取点 x, 纵轴上取点 y, 且分别做垂直于该坐标轴的直线, 它们的交点表示复数 x + iy. 像这样表示复数全体的平面称为“复平面”，特别地，高斯还把复数看作是从原点出发的向量，并利用复数与平面向量的一一对应的关系，进一步给出复数的加倍和乘法的几何表示。
       至此复数被揭去神秘的面纱，有了立足之地。人们开始承认复数是实实在在的数，不再是虚无缥缈的虚幻之数。复数及复变函数理论的发展开始进入快车道。
       1814-1851 年间经过法国数学家柯西 (A.L.Caucby, 1789-1857)、德国数学家黎曼 (G.F.B.Riemann, (1826-1866)) 和魏尔斯特拉斯 (K.T.W.Weierstrass, 1815-1897)等人的巨大努力，复变函数形成了非常系统、完整的基本理论。
       今天复变函数理论仍在发展，同时也渗透到代数学、数理、微分方程、概率统计等其他数学分支，在电学、弹性力学、理论物理、天体力学等领域得到了广泛的应用，已成为从事自然科学工程技术的人才必须具备的数学知识。
      

ba571016

    避开指出别人质疑与否定所给出的明白了然逻辑证明错误在哪，却以一种自认学问多高多深的姿态强词夺理与攻击。他们自认书读的越多，就越接近真理，殊不知接近真理的核心路径是既要“多读多学”，更要“多虑多思”地尊重事实与独立思考！他们不知不觉就成盲从书堆的“套中人”，盲信“皇帝新衣”的“大人们”(但恰恰是“那个小孩”说出的才是真象！)。
      我为他们感到悲哀。
  

elim

ba571016 多愁善感，还是专心玩四则运算吧，争取在拼傻儿人转中暂时胜出 jzkyllcjl.

春风晚霞

ba571016 发表于 2022-3-9 21:51
避开指出别人质疑与否定所给出的明白了然逻辑证明错误在哪，却以一种自认学问多高多深的姿态强词夺理与 ...

ha571016先生，读了你【避开指出别人质疑与否定所给出的明白了然逻辑证明错误在哪，却以一种自认学问多高多深的姿态强词夺理与攻击强词夺理与攻击。他们自认书读的越多，就越接近真理，殊不知接近真理的核心路径是既要“多读多学”，更要“多虑多思”地尊重事实与独立思考！他们不知不觉就成盲从书堆的“套中人”，盲信“皇帝新衣”的“大人们”(但恰恰是“那个小孩”说出的才是真象！)。我为他们感到悲哀】的宏论，我觉得你未免太霸道了吧？我在我的主题下，介绍了复数的起源和发展简史，招惹了你什么？我就是你批评的【盲从书堆的“套中人”】，但我不需要你为我“感到悲哀”。其实，我并不拒绝对现行数学观念的创新，我像你那么大就接受了鲁滨逊(A. Robinson)的《非标准分析》。我不是不能指出你【质疑与否定所给出的明白了然逻辑证明错误在哪】(相关的贴子已写好，待斟酌定稿后仍发在我的主题下)。我从不认为我的【学问多高多深】，也从未跑到人家的主题下去【强词夺理与攻击】他人。学海无涯，我确实认为【书读的越多，就越接近真理】。从你的【殊不知接近真理的核心路径是既要“多读多学”，更要“多虑多思”地尊重事实与独立思考】看，好像你觉得你已获得了真理。只可惜你篡改实数乘法法则得到的“负负得负”，即使你封住了我的嘴，也得不到众人认可。因为这样的东西，谁相信谁就要倒血霉。初中生信了，一定会把初中读成本科。高中生信了，升学也成困难。大学生信了，整个《复变函数》必然挂科。你的【既要“多读多学”，更要“多虑多思”】有几分哲理，只可惜你并没有按此要求你自己。一个小小的《\(\mathbf{数系的扩张及i^2=-1的由来}\)》贴子就让你大动肝火，你还能做到【既要“多读多学”，更要“多虑多思”】吗？現行的实数理论和复数理论并不是【“皇帝新衣”】，你说的也不是什么真象。ha571016先生，任何一次数系的扩张，都必须继承扩张前已得公认的知识。像这种“负负得负”的创举，以牺牲实数运算性质、摧毁复数基础为代价的“改革”能成功吗？

春风晚霞

ba571016 发表于 2022-3-9 21:51
避开指出别人质疑与否定所给出的明白了然逻辑证明错误在哪，却以一种自认学问多高多深的姿态强词夺理与 ...

ha571016先生
        你先生在《是要虚数？还是要虽-1<1,而-1÷1=1÷(-1)仍然成立？谁生谁亡的问题？？》（该主题名称太长，不便 叙述。以下简称为《谁生谁亡》）中根据你的“事理逻辑”，演译出了一个创新等式\(\sqrt{-1}\)=-1,笔者认为这个等式是错误的。
       ha571016先生在主题《谁生谁亡》的2#写道【我们当然明白：-1÷1=1÷(-1) 这样的数学演算规则，几百年无尽的演算事实已验证了它们的正确性，但并非等于我们明白了这一等式所蕴含的真正的事理及逻辑意义！关键在于：我们对这样的规则，怎样更深刻地从正确的“事理逻辑”去理解，才能圆满地解释得通：虽然有 -1<1，而仍会有：-1÷1=1÷(-1) ！我认为，对此，唯有作如下的解释，问题才能迎刃而解：
        第一：
       当-1×a，则理解为是有“a个有向量的-1相加”；当-1×(-a)，此时后乘数(-a)的“-”符号，其真正意义是“相反”提示性符号，而不应看作是“负数”符号，它提示的是：前乘数的“相反数”。故-1×(-a)应理解为：“前乘数的相反数”乘以a，而-1的相反数为1，则为“a个有向量的1相加”，即：1×a=a 。
       [当a<0, -1×a是否还可理解为是有“a个有向量的-1相加”吗？如果可以，那么－1个向量的－1相加中的“－1个向量”是多少？]
如此：-1÷a则理解为是将-1作a等分，等于：-(1/a); 而-1÷(-a),除数(-a)中的“-”不是负数负号，应理解为是提示符号：“被除数的相反数”，所以-1÷(-a)则是：1÷a ,将1作a等分，等于1/a ，所以我们会有： -a÷(a)=a÷(-a)
[-1÷a则理解为是将-1作a等分，等于：-(1/a);那么当a<0时，如a=-2, -1÷a则理解为是将-1作-2等分, -2等分是多少等分？凭什么-1÷(-a),除数(-a)中的“-”不是负数负号，应理解为是提示符号：“被除数的相反数”？为什么不能把(-a)理解成“除数的相反数”？这种规定是否是为你的-1÷（－1）＝－1量身定制？你双如何解译实数运算中的“任何非零数与它自身相除都等于1”？]
由上而知：1×(-1)实则为：-1×1,表达的是：“1个向量-1的相加”，即：-1×1=-1，则其乘法的逆运算仅只有-1÷1=-1，
       『截止于此先生的事理逻辑只是证明了“异号两数相乘除得负”和“同正两数相乘除得正”的问题，根本证明不了“同负两数相乘除得负”，即根本未证明负数的平方等负数的问题。作为特殊情形也就根本没有证明(-1)的平方等于-1.』
其乘法的逆运算可表示为√-1=-1，『乘法的逆运算是除法，平方的逆运算才是开方！所以等式\(\sqrt {-1}\)=-1不成立。
也即可顺推出：√-a=-√a『由于前面并未证明哪个数的平方是负数，所以当a>0时，\(\sqrt {-a}\)=-\(\sqrt a\)不成立！}}\)』我们设定的虚数“i”，原是没有必要的多余。『由前面评述知设定\(\mathbf{i=\sqrt {-1}}\)确有必要』
       15#
     【值得指出的是：(-1)÷(-1)=(-1)(-1),而(-1)(-1)其实并非表达的是-1的二次方！
     『先生真会说笑(-1)(-1)不是(-1)的平方？难道又是Cantor\(a^2=|a|^2\)错了！？』
-1的二次方的本位表达式是-1^2，其本真意义是：-|1|×|1|=-|1|^2，
-1的n次方的本位表达式是-1^n，其本真意义是：-|1|^n
『先生真会创新，为什么-1的二次方的本位表达式是-1^2？这样将会有（－1）×（－1）＝（－1）×1，这个等式成立吗？所以-1的二次方的本位表达式是-1^2本身就是伪命题.至于-1的n次方的本位表达式是-1^n也只当n为奇数时成立，当n为偶数时-1的n次方的本位表达式是-1^n不真。所以【-1的二次开方的本位表达式是-√1，其本真意义是：-√|1|，n次开方的本位表达式是-1^1/n；其本真意义是：-|1|^1/n】\(\color{red}{\mathbf{也都是错误的！}}\)』
       好了，就说这些？至于《是要虚数？还是要虽-1<1,而-1÷1=1÷(-1)仍然成立？谁生谁亡的问题？？》我的回答是：\(\color{red}{\mathbf{虚数要要!-1<1,-1÷1=1÷(-1)仍然成立!两者同生!}}\)

jzkyllcjl

克莱因的【古今数学思想】和【数学：确定性的丧失】二书 说了一些事实，可以参考，但它的观点不一定是正确的。 第一，数学理论有确定性，这个确定性是：；数学理论的本质是研究现实数量大小、多少及其关系表达方法的科学；是解决生产实际问题的活生生的工具。第二，从古到今，数学理论的研究过程 就是:，理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法的过程。，

ba571016

春风晚霞 发表于 2022-3-10 10:17
ha571016先生
        ha571016先生在《是要虚数？还是要虽-1

看了你所谓反驳的肤浅，我都懒得回复你。等你有充分理由并合符逻辑地先
解答莱布尼茨们对(-1)<1,为什么还有 (-1)÷1=1÷(-1)？的疑问后，再
把我批判“虚数i”的全部理由与证明都能合理地反驳，我才重视你的反驳。