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关于素数定理，我的理解与众不同。我是不愿随意的随波逐流的，而是注重客观事实。
素数定理：在x→∞,有pi(x)=x/lnx
两边除以x,得 pi(x)/x=1/lnx ;
左边表示自然数中真实的素数出现率；右边表示素数理论出现率。
现在的数学界都认为素数的出现率在x→∞时有1/lnx →0，但是我认为这是错误的，因为其不符合无穷小量的比较定理的判断准则。
自然数中的素数出现率 pi(x)/x ，说到底是两个无穷小量的比较，
pi(x)/x =（1/x )/[1/ pi(x)] ,
那么这两个无穷小量的阶的比较又有什么高低之分呢？
无穷小量的比较
教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。
关于素数的出现率，目前的数学界主流理论是：
x→∞时，1/lnx→0；也就是π(x)/x→0 ；书《数论导引》（华罗庚编著）93页定理）
现在从无穷小量的阶的概念出发，判断π(x)/x→0 正确与否：
引入一个x→∞时比x低阶无穷大√x，那么 1/x→0 是比 1/√x →0 高价的无穷小量。
再来考察一下x→∞时，无穷小量 1/x→0、1/π(x)→0、1/√x→0 之间的比值：
x=10^2, π(10^2)=25; √x/π(x) = 0.4,——π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229; √x/π(x)≈0.08137 ,——π(x)/x= .1229;
x=10^6,π(10^6)=78498, √x/π(x) ≈0.01274,——π(x)/x = .078498 ;
x=10^8,π(10^8)=5761455, √x/π(x) ≈0.001736,——π(x)/x ≈.057615 ;
x=10^10,π(10^10)=455052511, √x/π(x) ≈2.1975e-4,——π(x)/x ≈.04551;
x=10^12,π(10^12)=37607912018 ,√x/π(x) ≈2.659e-5,——π(x)/x ≈ .03761;
x=10^14,π(10^14)=3204941750802 , √x/π(x) ≈3.12e-6,—— π(x)/x ≈.03205;
x=10^16,π(10^16)=279238341033925, √x/π(x) ≈3.58e-7,——π(x)/x ≈ .02792;
x=10^20,π(10^20)= 2220819602560918840；√x/π(x) ≈4.503e-9;——π(x)/x ≈.02221;
x=10^22,π(10^22)=201467286689315906290；√x/π(x) ≈4.964e-10;——π(x)/x ≈.02015;
数据显示：
∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,接近0 ；
∴1/π(x) 是比1/√x高价的无穷小.
又因为 1/x与1/π(x)都是比1/√x 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，故1/x与1/π(x)是同阶无穷小量。
因此 依据 α(x)与β(x)是同阶无穷小量的比较定理，得出
x→∞时 lim π(x)/x = C ≠0 ，
而从实际的素数出现率π(x)/x 看，其减小的速率是越来越慢的。
这是与现在数论界的结论 x→∞，lim π(x)/x =0 相悖的结论， 但是却与实际的素数出现率趋向一个不等于0的小数值相符。随 x→∞，素数的出现率并没有快速的减小而是逐渐的趋向一个稳定的比率值。
因此数论界的x→∞时，π(x)/x→0 ，也就是1/lnx→0 是不符合无穷小量比较定理的，也不符合实际中素数出现情况的。
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发表于 2022-6-8 16:49