给春风晚霞教授出一道悖论题

春风晚霞

虽然时间序列｛1/2，3/4，7/8，15/16……｝是一个无限序列，但当两时间节点之差\(t_{i+1}\)-\(t_i\)=1-\(1\over 2^{i+1}\)-1+\(1\over 2^i\)=\(1\over 2^{i+1}\)小于往盒子拿放小球的必需时间L时，往盒子里拿放小球的活动就已结束。故此操作是有限操作。不妨设L=\(10^{-8}\)秒（也就是每亿分之1秒，完成一次拿放操作，这是肯定不能办到的）那么当\(1\over 2^{i+1}\)<\(1\over 10^8\),i≥【\(8\over Lg2\)】=27，也就是说即使你亿分之一秒完成一次操作，也最多不会超过27次。所以虽然有时间序列｛1/2，3/4，7/8，15/16……｝是一个无限序列，每一个时间节点对应一个拿放球的操作动作仍是有限操作。

门外汉

春风晚霞 发表于 2022-7-16 01:16
虽然时间序列｛1/2，3/4，7/8，15/16……｝是一个无限序列，但当两时间节点之差\(t_{i+1}\)-\(t_i\)=1-\(1\ ...

既然教授这么说了，那我不得不拿出来另一个非常有名的悖论，叫做球与花瓶悖论，题目如下：假设有无穷多个球，所有的球用自然数一一编号，假设有一个无穷大的花瓶，在1分钟的时间里执行下列操作：当时间为1/2分钟时，往花瓶里放入1到10号球，同时取出1号球；当时间为3/4分钟时，往花瓶里放入11到20号球，同时取出2号球，当时间为7/8分钟时，往花瓶里放入21到30号球，同时取出3号球.........就这样无限的操作下去，问：当时间为1分钟时，花瓶里剩多少个球？
请教授解答一下这道题。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-7-15 13:02
关于极限可达性的论述，有兴趣的网友可参阅徐利治先生《论无限》一书，第二章第六节﹝关于极限可达 ...

n可以趋向于∞， 但n永远达不到∞，所以 1/2^n永远达不到其极限值0， 1- 1/2^n永远达不到1.

elim

部分和到不到级数和，但无尽小数就是实数的级数和表示的简写

jzkyllcjl

elim 发表于 2022-7-16 03:31
部分和到不到级数和，但无尽小数就是实数的级数和表示的简写

关于无穷的概念存在着“实无穷与潜无穷”的两千多年的争论，王宪钧著 数理逻辑引论[M] ]中讲到“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的；潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的[1]。”这个实无穷观点中的“完成的”定语，违背“无穷是无有穷尽、无有终了事实”。所以，康托尔的“数学必须肯定实无穷”的意见不成立，ZFC形式公理中的“无穷集合存在公理”需要改写为“无穷集合是其元素个数趋向于 ，但永远无法构造完毕的想象性非正常集合”。徐利治先生在文献[2]中介绍了布劳维尔（Brouwer）提出的反例。这个反例涉及到无理数的无尽不循环小数的展开式中的① 这些展开式中没有“百零排（即100个连续的0）”；② 这些展开式中有奇数多个“百零排”；③ 这些展开式中有偶数多个“百零排”的三个命题是不是能行的可判断的问题。关于 可判断问题，在黄耀枢《数学基础引论》（北京：北京大学出版社，1987出版，）讲了：定义1.20(能行可判断性)  如果存在一个算法，使得对所给的公式集合中每一个公式的真假，都能在有穷步数内做出答案，那么我们说这集合中的公式是能行可判断的。根据这个定义，上述三个命题都不是能行可判断问题，猅中律失效。文献[1]中也讲到排中律失效的例子。由于无尽不循环小数展开式具有永远算不到底的不可判断的性质，布劳威尔不能使用两次猅中律，提出一个实数Q，与这个实数 是大于、小于或等于0的无法判定实数的三分律反例，虽然徐利治说过“在实无穷意义下，应用两次排中律可以判断这个实数 是大于、小于或等于0的问题”，但“这个问题不是实无穷问题，究竟这个实数 是大于、小于或等于0呢？的问题是一个无法判断的问题”。所以，徐利治先生最后讲到：“看来，这还是一个不易解决的难题”,“希望对布劳维尔(Brouwer)反例感兴趣的读者继续研究下去”。笔者研究后得到的结论是：根据“无穷是无有穷尽、无有终了的事实”，“百零排”的这三种命题都是由于永远算不到底的不可判断的命题，布劳维尔（Brouwer）不能使用两次猅中律，提出他那个实数Q，这样就消除了布劳威尔这个反例。春风晚霞坚持的“数学表述系统中所允许的方法只有演绎推理的方法，……使用两次猅中律得到的三者有且只有一个命题成立的结论”是无效的，事实是：他无法得到三个命题究竟哪一个成立的问题。这说明：数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑，也说明：无尽小数永远写不到底的事实必须受到尊重。
第五，根据恩格斯的“只能从现实来说明[5]”的意见，首先需要知道如下的自然数及其集合的如下的从实践出发的定义。
定义2，空集这个术语，表示没有元素的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，而且整体不能作为集合元素的集合，叫做现实的正常集合。其中的术语“元素个数”具有忽略现实集合各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数（在暂时不联系现实数量的纯粹数学研究中可以简称为自然数）。
这个定义下的现实正常集合需要用一篮子苹果、一家人、一班学生等实例进行说明：其中自然数（即元素个数的表达符号）是古代人创造的由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号与十进记数法表示的数。由此出发，就有了形式逻辑下，需要的背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则就构成了现行的自然数的初步理论。但在自然数应用时，不能忘掉它们与现实数量的关系，例如; 虽然从纯理论上可以讲：理想自然数10比9大，但还需要知道“9个大苹果比十个小苹果分量大、养分多”。使用自然数表达线段长度的毫米数时，需要知道：“线段长度具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析”。这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。也需要使用毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述。

elim

四则运算缺除法的 jzkyllcjl 天生愚质，又吃上了狗屎，没有能力理解集合论。他那些道听途说的主观唯心主义数学观，泡汤已经很久了。

春风晚霞

门外汉 发表于 2022-7-16 09:51
既然教授这么说了，那我不得不拿出来另一个非常有名的悖论，叫做球与花瓶悖论，题目如下：假设有无穷多个 ...

先生本题所给信息有：①放入花瓶的小球个数与实施放入的次数的关系式\(L_k\)=9K;②实施放入的时间节点为\(t_i\)=1-\(1\over 2^i\)；为具体确定实施执行操作次数，补充完成一次操作所需的最短时间x；所以当\(1\over 2^{i+1}\)<x时,即\( 2^{i+1}\)>\(1\over x\)时，两时间点的间隔小于最短操作时间，操作终止（为什么？自酌。）所以i>【-\(Lgx\over Lg2\)】时，操作无法进行。所以，操作的次数为K=【-\(Lgx\over Lg2\)】（次）。为确定起见，设x=\(1\over10^4\),则K=【-\(-4\over Lg2\)】=13，也就是说如果我们能在万分之一秒内完成一次操作，那么我们就能在一分钟内完成13次操作（为什么？自酌。）这时放入花瓶小球共有\(L_{13}\)=9×13=117(个)，花瓶内小球的最大编号为130号。

门外汉

春风晚霞 发表于 2022-7-16 04:45
先生本题所给信息有：①放入花瓶的小球个数与实施放入的次数的关系式\(L_k\)=9K;②实施放入的时间节点为\ ...

春风晚霞教授的解题方法与国外数学家的解题方法完全不同，国外数学家解题的工具是集合论，而春风晚霞教授的解题思路更像是量子力学
数学教授应该做数学题，此题被教授做成了物理题。

门外汉

春风晚霞 发表于 2022-7-16 04:45
先生本题所给信息有：①放入花瓶的小球个数与实施放入的次数的关系式\(L_k\)=9K;②实施放入的时间节点 ...

给春风晚霞教授说一说国外数理逻辑学家是如何解答球与花瓶悖论的，国外数学家认为，当时间为1分钟时，花瓶里没有球。虽然随着时间的推移，花瓶里的球越来越多，但，1/2分钟时拿出了1号球，3/4分钟拿出了2号球，7/8分钟拿出了3号球……在1分钟的时间里，所有自然数编号的球都会被拿出去，所以瓶子里没有球。
春风晚霞教授认为国外数学家的解题方法有错误吗？

春风晚霞

门外汉 发表于 2022-7-16 13:55
给春风晚霞教授说一说国外数理逻辑学家是如何解答球与花瓶悖论的，国外数学家认为，当时间为1分钟时，花 ...

我认为国外数学家在解答球与花瓶悖论时没有考虑每次向花瓶投放和拿出小球所需要的时间。忽视投放工作所需必要时间时，可作如下逻辑演绎：设每次投入花瓶的小球集合为\(B_i\)=｛x｜10i≤x≤10(i+1)｝；每次从花瓶中拿出的小球集合\(C_i\)={i}；每次净投入花瓶的小球为\(A_i\)，所以1分钟后花瓶中所剩小球数为\(\small\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ A_i\)=\(\small\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ B_i\)-\(\small\displaystyle\bigcup_{k=1}^∞ C_i\)=\(\phi\)。不过这样得到的【1分钟的时间里，所有自然数编号的球都会被拿出去，所以瓶子里没有球】是一个与芝诺悖论同源的悖论。我认为破解花瓶悖论的关键，还是在兼顾逻辑演绎的同时考虑操作能否无限进行。