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发表于 2022-9-13 08:42
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本帖最后由 愚工688 于 2022-9-13 00:54 编辑
对于小偶数来说，不与A的余数构成同余关系的变量x必然存在，由此可知偶数2A的素数对{ A±x }也必然存在。这是很容易验证的。
由于自然数中数在除以任意一个素数的余数呈现周期性变化：
除以2时的余数变化：0、1、0、1、0、1、…；
除以3时的余数变化：0、1、2、0、1、2、…；
除以5时的余数变化：0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、…；
……
除以r时的余数变化：0、1、2、…、r-2、r-1、0、…；
由任意给定偶数2A 确定了A除以≤√(M-2)的所有素数的余数：j2、j3、j5、j7、…jr；
而要使得 A±x不能被这些素数整除，变量x的余数条件为与A的余数必须不构成同余关系，即
变量x除以2，余数不等于j2；
变量x除以3，余数不等于j3与（3-j3）；
变量x除以5，余数不等于j5与（5-j5）；
变量x除以7，余数不等于j7与（7-j7）；
……
而在除以每个素数的周期性变化的余数中，筛除了与A的余数构成同余关系的余数后，必然有筛余的余数存在。
因此在除以每个素数的余数周期性变化中，都有不与A的余数构成同余关系的余数。
依据变量x 对≤√(M-2)的各个素数的余数条件，可以产生不同素数的余数组合，每个组合对应一个最小值，可以由中国余数定理求出。
其中处于【0，A-3】范围的解值即构成该偶数的哥猜解：{A±x }
例：
对≤√(M-2)的最大素数为2的偶数M来说：（6——10）
2A=6，A=3， 【0，A-3】内的数有0 ； A除以2的余数为1，x取除以2的余数为0即可。就是6=3+3；
2A=8，A=4， 【0，A-3】内的数有0，1； A除以2的余数为0，x取除以2的余数为1即可。就是8=（4-1）+（4+1）= 3+5；
2A=10，A=5，【0，A-3】内的数有0，1,2； A除以2的余数为1，x取除以2的余数为0即可。就是10=5+5=（5-2）+（5+2）=3+7 ；
对≤√(M-2)的最大素数为3的偶数M来说：（M=12——26）
2A=12，A=6，【0，A-3】内的数有0，1,2,3； A除以2的余数为0，除以3的余数是0；x取除以2的余数不为0、除以3的余数不为0即可。就是 x=1,构成素对{5+7}；
2A=14，A=7，【0，A-3】内的数有0，1,2,3,4； A除以2的余数为1，除以3的余数是1；x取除以2的余数为0、除以3的余数为0即可。就是 x=0，构成素对{7+7}；
2A=16，A=8，【0，A-3】内的数有0，1,2,3.4,5； A除以2的余数为0，除以3的余数是2；x取除以2的余数为不为0、除以3的余数为0即可。就是x=3,构成素对{5+11}；
2A=18，A=9，【0，A-3】内的数有0，1,2,3,4,5,6； A除以2的余数为1，除以3的余数是0；x取除以2的余数为0、除以3的余数不为0 即可。就是x=2,4,构成素对{7+11},{5+13}；
2A=20，A=10，【0，A-3】内的数有0，1,2,3,4,5,6,7； A除以2的余数为0，除以3的余数是1；x取除以2的余数为1、除以3的余数为0即可。就是 x=3,构成素对{7+13}；【3+17】符合条件b的素对。
2A=22，A=11，【0，A-3】内的数有0，1,2,3,4,5,6,7,8； A除以2的余数为1，除以3的余数是2；x取除以2的余数为0、除以3的余数为0 即可。就是 x=6,构成素对{5+17}，【3+19】符合条件b的素对。
2A=24，A=12，【0，A-3】内的数有0，1,2，3,4,5,6,7,8,9； A除以2的余数为0，除以3的余数是0；x取除以2的余数为1、除以3的余数不为0 即可。就是x=1,5,7，构成素对{11+13}，{7+17}，{5+19}；
2A=26，A=13，【0，A-3】内的数有0，1,2,3,4,5,6,7,8,9,10； A除以2的余数为1，除以3的余数是1；x取除以2的余数为0、除以3的余数为0 即可。就是x=6，构成素对{7+19}，【3+23】是符合条件b的素对。
对≤√(M-2)的最大素数为5的偶数M来说：（M=28——50）
2A=28，A=14，j2=0,j3=2,j5=4；故x的余数条件是：y2=1,y3=0,y5=0、2、3 ；可以构成的余数组合有（1,0,0），（1,0,2），（1,0,3） ， 即15 ,27, 3， 其中处于 【0，A-3】内的解值有 3， 可以构成偶数28的素对 {11+17} ，【5+23】是符合条件b的素对。
2A=30，A=15，j2=1,j3=0,j5=0；故x的余数条件是：y2=0,y3≠0,y5=1、2、3 、4；可以构成的余数组合有（0,1,1），（0,1,2），（0,1,3），（0,1,4），（0,2,1），（0,2,2），（0,2,3），（0,2,4）. 由余数条件可以解得：16,22,28,4,26,2,8,24；其中处于【0，A-3】内x的值有4,2,8，,能够构成素对{15±4}，{15±,2}，{15±8}，
……
对≤√(M-2)的最大素数为7的偶数M来说：（M=52——122）
偶数98的x的对应余数条件以及能够构成素对的变量x值
由偶数98的半值49除以2、3、5、7的余数条件49（j2=1,j3=1,j5=4,j7=0),
得出x的余数条件:x(y2=0,y3=0,y5≠1、4,y7≠0），
即x的余数条件：2（0）、3（0）、5（0，2，3）、7（1，2，3，4，5，6），
共有以下不同余数的组合18组及依据中国剩余定理的解值，它们基本散布于[0，209]区域：
（0，0，0，1）-120，（0，0，0，2）-30，（0，0，0，3）-150，（0，0，0，4）-60，（0，0，0，5）-180，（0，0，0，6）-90；
（0，0，2，1）-162，（0，0，2，2）-72，（0，0，2，3）-192，（0，0，2，4）-102，（0，0，2，5）-12，（0，0，2，6）-132；
（0，0，3，1）-78，（0，0，3，2）-198，（0，0，3，3）-108，（0，0，3，4）-18，（0，0，3，5）-138，（0，0，3，6）-48；
其中处于x值取值区域[0，46]内的x值有：30，12，18，
因此偶数98的素对有49±30，49±12，49±18，符合条件b的S2(m)=0 。
偶数100的x的对应余数条件
由偶数100的半值50除以2、3、5、7的余数条件50（j2=0,j3=2,j5=0,j7=1),
得出x的余数条件:x(y2=1,y3=0,y5≠0,y7≠1与6），
即x的余数条件：2（1）、3（0）、5（1，2，3，4）、7（0，2，3，4，5），
有以下不同余数的20种组合：
（1,0,1,0),（1,0,1,2),（1,0,1,3),（1,0,1,4),（1,0,1,5);
（1,0,2,0),（1,0,2,2),（1,0,2,3),（1,0,2,4),（1,0,2,5);
（1,0,3,0),（1,0,3,2),（1,0,3,3),（1,0,3,4),（1,0,3,5);
（1,0,4,0),（1,0,4,2),（1,0,4,3),（1,0,4,4),（1,0,4,5);
运用中国剩余定理，每组不同的余数条件组合在素数连乘积内（此题即２×３×５×７＝210 个连续自然数中）对应于一个唯一的整数，有
（1,0,1,0)=21, （1,0,1,2)=51, （1,0,1,3)=171,（1,0,1,4)=81, （1,0,1,5)=201;
（1,0,2,0)=147,（1,0,2,2)=177,（1,0,2,3)=87, （1,0,2,4)=207,（1,0,2,5)=117;
（1,0,3,0)=63, （1,0,3,2)=93, （1,0,3,3)=3, （1,0,3,4)=113,（1,0,3,5)=33;
（1,0,4,0)=189,（1,0,4,2)=9, （1,0,4,3)=129,（1,0,4,4)=39, （1,0,4,5)=159;
其中处于x值取值区域[0，47]内的x值有：21，9，3，33，39，
A= 50 ,x= : 3 , 9 , 21 , 33 , 39 ,( 47 ——符合条件b),
代人A±x,得到符合条件a的全部素对：
[ 100 = ] 47 + 53，41 + 59，29 + 71，17 + 83，11 + 89，（3 + 97 ）
M= 100 S(m)= 6 S1(m)= 5 Sp(m)≈ 4.571 δ1(m)≈-.086 K(m)= 1.33 r= 7
* Sp( 100)=[( 100/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 4.571
在偶数区域52——122，√(M-2)的最大素数=7；
大于100的其它偶数的A除以√(M-2)内的素数的余数：
偶数102：A=51,j2=1,j3=0,j5=1,j7=2,
偶数104：A=52,j2=0,j3=1,j5=2,j7=3,
偶数106：A=53,j2=1,j3=2,j5=3,j7=4,
偶数108：A=54,j2=0,j3=0,j5=4,j7=5,
偶数110：A=55,j2=1,j3=1,j5=0,j7=6,
偶数112：A=56,j2=0,j3=2,j5=1,j7=0,
偶数114：A=57,j2=1,j3=0,j5=2,j7=1,
偶数116：A=58,j2=0,j3=1,j5=3,j7=2,
偶数118：A=59,j2=1,j3=2,j5=4,j7=3,
偶数120：A=60,j2=0,j3=0,j5=0,j7=4,
偶数122：A=61,j2=1,j3=1,j5=1,j7=5,
相信大部分网友都能够依据上述偶数的A除以素数2，3，5，7时余数条件，而列出x值除以素数2，3，5，7时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)时的余数条件组合，因而依据中国余数定理求出处于[0，A-3]内的对应x值来，得到符合条件a的全部素数对。
当然随着偶数M的增大，√(M-2)内的素数的增多，运用中国余数定理求能够构成素对A±x 的x值会越来越复杂一些，但是依据中国余数定理这个基本数学原理是不会改变的，只是在阶方面的增多而需要分步求解而已。
（这里的阶是指除以素数的数量。例孙子点兵法可称谓3阶余数求值。）
而对于采用计算机程序来对高阶的不同余数条件的组合进行求解，则完全是小菜一碟的事情。
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发表于 2022-9-14 06:57