求证：4 个不同的正整数，通过四则运算（加减乘除，以及括号），总可以算出 24 的倍数

王守恩

luyuanhong 发表于 2022-8-19 10:13

求助陆老师！感谢不尽！

5个(正整数)选其中3个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出24的倍数来。

整数按照除以24的余数不同，可以分为24类。

5个整数共有7962634种可能。7962624=\(24^5\)。

剪去一些明显有解的：

1，余数是0；

2，余数是12；

3，2个正整数的余数相同；

4，2个正整数的余数互补。

剩下462种可能。462=\(\frac{11*10*9*8*7}{1*2*3*4*5}\)

逐一检查，都可以有解。

0-1110

（*）5个整数选其中3个，通过四则运算，总能凑出24的倍数来

陆老师结论：
任意2个同类数必能凑出24的倍数，所以排除同类数
（*）5个整数属于{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}

陆老师结论：
任意4个整数中必有2个能凑出8的倍数，所以5个数中排除含有3的倍数的数
（*）5个整数属于{1，2，4，5，7，8，10，11}

陆老师结论：
任意2个整数必能凑出3的倍数，所以5个数中排除含有8的倍数的数
（*）5个整数属于{1，2，4，5，7，10，11}

因{1，2，4，5，7，10，11}为4奇3偶，取任意不同的5个数中必有2个为奇数，这两个奇数在{1，5，7，11}中必能凑出6的倍数，所以5个数中排除含有4的倍数的数
（*）5个整数属于{1，2，5，7，10，11}

因{1，2，5，7，10，11}为4奇2偶，取任意不同的5个数中至少有3个奇数和1个偶数，这3个奇数在{1，5，7，11}中必能找到2个凑出12的倍数，再与1个偶数的积，此积必为24的倍数，得证.

王守恩

0-1110 发表于 2022-8-26 15:03
（*）5个整数选其中3个，通过四则运算，总能凑出24的倍数来

陆老师结论：

谢谢 0-1110！！！太好了！！！！
也就是说：在462种可能里，再扣除{3,4,6,8,9}。
最后剩6种可能。
1，{1,2,5,7,10}
2，{1,2,5,7,11}
3，{1,2,5,10,11}
4，{1,2,7,10,11}
5，{1,5,7,10,11}
6，{2,5,7,10,11}
逐一检查，都可以有解。

王守恩

好玩的游戏！继续开发！

谢谢 0-1110！谢谢陆老师！谢谢各位好友！

4个不同正整数,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出27的倍数来。

0-1110

（*）4个整数，通过四则运算，总能凑出27的倍数来
2个整数能凑出3的倍数，
3个整数能凑出9的倍数，(因1+2*4=9)
排除同类数，再排除3的倍数，
所以，4个整数属于{1，2，4，5，7，8，10，11，13}
这恰好配成{1，8，10}，{2，7，11}，{4，5，13}三种组合，
要在这三种组合中取4个整数，至少某一组合里取2个数，而每种组合中任取2个数都能凑出9的倍数，余下2个整数必能凑出3的倍数，所以这4个整数，通过四则运算，总能凑出27的倍数来

0-1110

类推：N个整 数都能凑出3的（N-1）次幂的倍数来？

王守恩

0-1110 发表于 2022-8-27 15:09
类推：N个整 数都能凑出3的（N-1）次幂的倍数来？

16 楼就是往这个方向想的(虽然答案是错的)。
可以借鉴：《整数序列在线百科全书(OEIS)》A070960。
好像比 3 的（N-1）次幂还要快一些。

与传统“算24”相比，我们的题目灵活多了。
a个(正整数)选其中b个,通过四则运算(加减乘除,括号)总可以算出c的倍数来。
1，出题人不怕出错题，每题都有解；
2，解题人只要有信心，肯定有答案！

有类似资料吗？谢谢！

0-1110

2个整数能凑出3的倍数；
3个整数能凑出9的倍数；
4个整数能凑出27的倍数；

（*）5个整数能凑出81的倍数.
证：
排除以81为模的同类数，再排除3的倍数，得
27个数{1，2，4，5，7，8，...，40}
按模9类分组，恰好配成{1，8，10，17，19，26，28，35，37}，{2，7，11，16，20，25，29，34，38}，{4，5，13，14，22，23，31，32，40}三个组合，
5个整数在三个组合中选取，必有2个数在同一类组合里，它们必能凑出9的倍数，且余下3个整数也能凑出9的倍数
所以5个整数，通过四则运算，总能凑出81的倍数来.

证明的规律出来了，故可证明：n个整数，通过四则运算，总能凑出3^(n-1)的倍数来 .

王守恩

0-1110 发表于 2022-8-27 18:34
2个整数能凑出3的倍数；
3个整数能凑出9的倍数；
4个整数能凑出27的倍数；

(1), 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049,
2个整数能凑出3的倍数；
3个整数能凑出9的倍数；
4个整数能凑出27的倍数；
5个整数能凑出81的倍数；

(2), 3, 9, 27, 108, 540, 3240, 22680, 181440, 1632960,
2个整数能凑出最大3的倍数；
3个整数能凑出最大9的倍数；
4个整数能凑出最大27的倍数；
5个整数能凑出最大108的倍数；
5=2(5选2)+3=12*9=108

后面的数:540, 3240,...,我是瞎猜的，没找到方法。

王守恩

0-1110 发表于 2022-8-27 18:34
2个整数能凑出3的倍数；
3个整数能凑出9的倍数；
4个整数能凑出27的倍数；

我们有(1),(2),(3)作基础，依次推出(4),(5),(6),......
(1),2个整数能凑出3的倍数；
(2),3个整数能凑出9的倍数；
(3),4个整数:选2个凑出9的倍数，剩2个凑出3的倍数，合计9*3=27。
(4),5个整数:选2个凑出9的倍数，剩3个凑出9的倍数，合计9*9=81。
(5),6个整数:选2个凑出9的倍数，剩4个凑出27的倍数，合计9*27=243。
(6),7个整数:选2个凑出9的倍数，剩5个凑出81的倍数，合计9*81=729。
.......

分析一下：
4个整数:选2个凑出9的倍数没浪费；
5个整数:选2个凑出9的倍数有浪费；
6个整数:选2个凑出9的倍数有浪费；
7个整数:选2个凑出9的倍数有浪费；
........