设 f(0)=f(1)=0, f'' 连续，恒取负值. 求 P=(a,f(a)) 使折线 (0,0), P, (1,0) 最长.

elim

cgl_74 发表于 2022-11-17 13:45
这个题目很简单啊，难道我理解错了？讨论下哈。
1、折线没有最大值。f(x)其实可以是一个向上凸出的曲线。 ...

任意给定满足题设的 f(x), 对应的折线有最大值。这个最大值的求法不平凡。不简单。

cgl_74

elim 发表于 2022-11-18 05:51
任意给定满足题设的 f(x), 对应的折线有最大值。这个最大值的求法不平凡。不简单。

嗯，看来我没有理解错你原来的题目。
是你的意思含糊，没有在题目中表达清楚，显得题目高深哈。
1、如果给定一个f，当然折线有最大值了。这个毋庸置疑。
2、但是这个f具体是啥呢？一般要用额外的参数来刻画；折线的最大值也用这些参数来描述。你给的描述中既没有参数的个数，也无带参数的f的表达式。折线最大值也无从可求。一般这种情况就是任意情况下的最大值，其值就是无穷大。即无论你给出一个多大的值，我总可以找到一种曲线满足你的条件，并且折线大于此值。

elim

cgl_74 发表于 2022-11-18 11:32
嗯，看来我没有理解错你原来的题目。
是你的意思含糊，没有在题目中表达清楚，显得题目高深哈。
1、如 ...

我的问题含糊到要你去找曲线吗？如果要你找函数的最大值，你怎么表示才不含糊，才标准？

cgl_74

elim 发表于 2022-11-19 02:35
我的问题含糊到要你去找曲线吗？如果要你找函数的最大值，你怎么表示才不含糊，才标准？

真的看不懂？
情况1: f是一个半圆。
情况2: f是一个半椭圆，参数就是其焦点。
这2种情况下，折线的最大值都存在，但显然不一样。因为f的表达式都不一样。

一个简单问题，一个帖子用这么多层楼都搞不清吗？数学问题本来也单纯，也不虚心交流！

elim

cgl_74 发表于 2022-11-18 11:47
真的看不懂？
情况1: f是一个半圆。
情况2: f是一个半椭圆，参数就是其焦点。

比较以下两个问题

(1)设 f(0)=f(1)=0, f'' 连续, 恒取负值，求 f 在 [0,1] 的最大值。

(2)设 f(0)=f(1)=0, f'' 连续, 恒取负值. 求\(a\in (0,1), \; P=(a,f(a))\) 使折线 (0,0), P, (1,0) 最长.

请问哪个问题陈述比较含糊，为什么？
(1)的答案是\(\max f([0,1]=f(\xi),\,\small(\xi\in(0,1),\, f'(\xi) = 0)\) (论证略);
(2) 很简单吗？ 请算+论证给大家看看？1


取函数族  \(\{f_{\lambda}\},\;\small(f_{\lambda}(x)=-\lambda((x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}))\).
易见对应的折线长随\(\lambda\)趋于无穷. 对任意曲线族, 问题没有最大解的。