【答】证明：sin(π／5)／sin(2π／5)=(√5-1)／2

ysr

dodonaomikiki 发表于 2022-9-29 05:17
谢谢波斯猫老师！

利用5倍角公式的话太复杂，需要解5次方程，下面是利用4倍角公式的方法:（仅仅供您参考）

ysr

ysr 发表于 2022-10-3 13:31
利用5倍角公式的话太复杂，需要解5次方程，下面是利用4倍角公式的方法:（仅仅供您参考）

cos36°=1-2(sin18°)^2，前面写错了，丢了平方，最下面一行的分母18°的正弦中间应该有个指数2的，没有写上图片无法补了（已经修改添加图中蓝紫色的字就是）。

ysr

ysr 发表于 2022-10-3 13:31
利用5倍角公式的话太复杂，需要解5次方程，下面是利用4倍角公式的方法:（仅仅供您参考）

输入1:  a=8,  b=,  c=-4,  d=1;  输出结果1:    x1=-0.8090169944,  x2=0.3090169944,  x3=0.5000000000.

而(√5-1)/4=0.3090169944.

ysr

ysr 发表于 2022-10-3 14:27
输入1:  a=8,  b=,  c=-4,  d=1;  输出结果1:    x1=-0.8090169944,  x2=0.3090169944,  x3=0.5000000000 ...

额对了，有一个解是0.5，用x-0.5分解原方程就可以化为2次方程了。可以分解为：(x-1/2)(8x^2+4x-2)=0.

dodonaomikiki

感谢 \(                 YSR    \)  老师！
献身数学大业！爱数学 \(       \boldsymbol{  \boxed{    呦茜}}  \)

dodonaomikiki

整理
   \(     sin(72^O+18^O)=sin72^Ocos18^O+sin18^Ocos72^O                                \)
   \(     =sin72^Ocos18^O+sin^218^O                   \)


   \(     \Longrightarrow    1-sin^218^O=sin72^Ocos18^O                   \)
   \(     =2sin36^Ocos36^Ocos18^O                   \)
   \(     =4\bullet   sin18^Ocos^218^O(1-2sin^218^O)                   \)


   \(     Set:  x=sin18                   \)
   \(     \Longrightarrow     1-x^2=4x(1-x^2)(1-2x^2)                   \)
   \(     \Longrightarrow    1=4x(1-2x^2)                   \)
   \(     \Longrightarrow      8x^3-4x+1=0                   \)





   

dodonaomikiki

\begin{align*}
Set:   2x&=a\\
a^3-2\bullet  a  +1&=0\\
a^3-a-(a-1)&=0\\
a(a^2-1)-(a-1)&=0\\
a(a+1)(a-1)-(a-1)&=0\\
(a-1)(a^2+a-1)&=0\\
\end{align*}



  \(            \Longrightarrow   a=   \frac{-1  \pm   \sqrt{1+4}}{2}=     \frac{-1  \pm   \sqrt{5}}{2}         \)
  \(         Of      \quad   course     \)
  \(            2x=   \frac{-1+  \sqrt{5}}{2}         \)
  \(            \Longrightarrow      x= \frac{-1+  \sqrt{5}}{4}                \)

dodonaomikiki

\begin{align*}
REsult    &=  \frac{1}{       2(1-2x^2)            }   \\
&=\frac{1}{        2(1-2\bullet    \frac{ 6-2\sqrt{5}  }{16})            }    \\
&=\frac{1}{2(1-    \frac{ 3-\sqrt{5}  }{4})}    \\
&=\frac{1}{2-    \frac{ 3-\sqrt{5}   }  {2}   }    \\
&=\frac{2}{4- 3  +\sqrt{5}  }    \\
&=\frac{2}{1+\sqrt{5}  }\\
&=\frac{\sqrt{5}-1 }{2 }   \\
\end{align*}

ysr

输入1:  a=8,  b=,  c=-4,  d=1;  输出结果1:    x1=-0.80901699437494742410229341718281906,
x2=0.30901699437494742410229341718281906,
x3=0.50000000000000000000000000000000000

计算器算的：sin( 18° )=0.30901699437494742410229341718282

这个准，一个是……28196，一个是……282，前面的都一样。

dodonaomikiki

jixushenru
继续深入，可以！