\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+x^{-4}}\,d\,x\;(0< a< b)\textbf{ 问题}\)

elim

吃狗屎的 jzkyllcjl 楼上最大最小和的计算是错的。看来 jzkyllcjl 的加法也不行了，呵呵

elim

\(g(a,b,n,o)\)是\([a,b](\subset [1,\infty))\;n\)等分对应的\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+x^{-4}}dx\)黎曼和. o 可取\(-1,0,1\). 对应最小和，中点和，最大和.

积分的黎曼和数值算法随区间的分划加密而趋近准确，但精度大致在 \(O(n^{-2})\) 等级。根本不可能得到百位有效数字. 所以还得回到 Newton-Leibniz 定理，

我定义了 \(F(x,d),\;G(x),L(a,t)\), 前者假定\(x>1\), 给出小数点后\(d\)位有效数字，再者处理 \(x>0\)的全部情况，给出小数点后 100 位有效数字。最后 \(L(a,b)\) 是小数点后有105位有效数字的积分\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+x^{-4}}dx\) 值. \(0< a< b\).

elim

@春风晚霞，永远，下面是我用 gp/pari 软件对\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+x^{-4}}dx\) 给出的代码和计算。比 Mathematica 快很多。欢迎提出改进易见，提出问题加以讨论。

1. \p 105
   
2.            realprecision = 115 significant digits (105 digits displayed)
   
3. ac = 105;
   
4. c0=sqrt(2*Pi)*gamma(3/4)/gamma(1/4);
   
5. g(a,b,n,o)=my(m=max(n,10),s=0.0,h=(b-a)/m);for(k=1,m,s=s+sqrt(1.+(a+(k-0.5*(1+o))*h)^(-4)));return(s*h);
   
6. F(x,d)=my(t=x,n=2,s=x);while((t=t*(3.-n)*(5-2*n)/(x^4*n*(1-2*n)))&&(s=s+t)&&(abs(t)*10^d>1),n=n+2);return(s);
   
7. G(x)=my(u=x,sg=1);if(u==1,return(0.0));if((x<1)&&(u=1./x),sg=-1);return(sg*(F(u,ac)-c0));
   
8. L(a,b)=if((a<= 0.0)||(b<= 0.0),return(0));return(sign(b-a)*abs(G(b)-G(a)));

复制代码

jzkyllcjl

elim谢谢你。我的加法算错了。

elim

jzkyllcjl 不必赘述. 还是谈方法. 直接用黎曼和逼近定积分，精度大约是
\(O(h^2)\) 其中 \(h\) 是区间划分的'细度'. 例如\(h=(b-a)/n\) 是区间
\([a,b]\) 的\(n\)分之一。所以计算结果一般只能达到很少几位有效数字.

若被积函数是解析函数, 则原函数可表位幂级数. 相应的定积分的数值
计算精度一般是\(O((\delta(x))^{n})\;\small(\|\delta\|< 1),\;n\)是级数被计算的部分和的项数.
所以可以轻松谈论几十上百位有效数字的算法。

标准分析的定积分极其数值计算的坚实基础是实数理论，微分学等等.
其中极限论和级数理论具有核心意义. 否认级数(收敛)是定数, 否认无
尽小数是实数的十进制值的一般表达形式，就没有数值计算。

jzkyllcjl

elim 发表于 2022-9-23 20:00
jzkyllcjl 不必赘述. 还是谈方法. 直接用黎曼和逼近定积分，精度大约是
\(O(h^2)\) 其中 \(h\) 是区间划分 ...

elim网友：第一，你误会了，我说的积分区间n等分的n,可以无限增多，因此：当n趋向于+∞时，取值区间ε趋向于0.，积分区间[1，2]上的定积分是这样的极限性理想实数。
第二，无穷级数的和是其前n项和的序列的极限，n只能趋向于 +∞，,n不能达到+∞；所以，使用无穷级数只能得到n足够大时的这个定积分与原函数的足够准近似值，而达不到它的绝对准数值。无尽小数具有算不到底的性质，对圆周率 虽然美国人算到2000万亿位的准确值，但永远算不出它的绝对准十进小数值。
第三，从你算出的 F（1）=0.84721308479397908……的计算结果可以看出：你的这个G(x)表达式在x=1处是个跳跃性间断点，这与弧长函数处处有导数，“可导一定连续”的结论矛盾。

elim

为了有\(k\)位有效数字，你的等分数\(n\)在 \(k^2\) 的数量级，级数方法的\(n\) 基本上与\(k\)成正比．
你虽然是个分析盲，但还是可以让你服输的，算个有效数字达到小数点后十位的\(\displaystyle\int_1^2\sqrt{1+x^{-4}}dx\) 黎曼和给大家看看？

你算不过计算机，但计算机的浮点数的长度，cpu的计算速度是非常有限的．叫计算机遍历\(1\sim 10^{1000}\)就不可能，别说算黎曼和了．

elim

jzkyllcjl 发表于 2022-9-23 17:42
elim网友：第一，你误会了，我说的积分区间n等分的n,可以无限增多，因此：当n趋向于+∞时，取值区间ε趋 ...

我订正了G(x) 的代码的笔误，保证了函数的光滑性，加了 L(a,b) 作为所论定积分精确到 105 位的数值计算。

elim

楼上的计算表明，将\([2,7]\;n=10^8\) 等分后得到数值积分小数点后 16 位有效数字。
对\([1,2]\;n=10^1\) 等分给出 2 位有效数字。经典验证了今天看起来可怜的简单黎曼和的收敛速度。

elim

定义 \((a)_n=\displaystyle{\small\prod_{k=0}^{n-1}}(a+k),\;_2\text{F}\hspace{-1mm}{\,_1}(a,b,c,z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!}\), 则
\(\qquad\displaystyle x\sum_{n=0}^\infty{\small\frac{1}{1-4n}\binom{1/2}{n}}x^{-4n}=x\cdot\,_2\text{F}\hspace{-1mm}{\;_1}({\small-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{x^4}})\)
\(\qquad\displaystyle -\int_{1/x}^1\sqrt{1+t^{-4}}dt=\int_1^x\sqrt{1+t ^{-4}}dt= x\cdot\,_2\text{F}\hspace{-1mm}{\;_1}({\small-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{x^4}})\small-\frac{\sqrt{2\pi}\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\quad(x\ge 1)\)

Mathematica 的”计算”与这里有点不同(x 的取值及收敛邻城问题)．