【转载】大傻拉曼纽扬系数推导贴

重生888@ · 发表于 2023-8-30 14:43

yangchuanju 发表于 2023-8-30 05:11
p=3-97时，∏（1-1/p)= 0.12031729
10000内素数个数约等于 1203.172905
1203稍少于1229，还可以。

谢谢老师的耐心解释！不过这个近似素数个数式子，怎样与求N素数对联系起来？还拿10000做例子，或假设N=无穷大？

重生888@ · 发表于 2023-8-30 15:00

关于梅滕斯的问题，请问大傻先生，我对此也很迷惑！

谢谢杨老师！大傻先生会看到我们的对话，我想会有消息的。再次谢谢！

重生888@ · 发表于 2023-8-30 15:12

杨老师！从今天起，您就是我老师！您只比我小一两岁，但精力旺盛，聪慧，理解力特强（白新岭语）。我现在，看不了东西，最多20分钟，头就晕，没办法。一次打两三百字到吃力。但还是丢不下，没办法。

大傻8888888 · 发表于 2023-8-30 21:42

本帖最后由大傻8888888 于 2023-9-2 08:01 编辑

yangchuanju 发表于 2023-8-30 13:11
p=3-97时，∏（1-1/p)= 0.12031729
10000内素数个数约等于 1203.172905
1203稍少于1229，还可以。

梅滕斯定理：∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，（其中p≤x x→∞ γ=0.57721......是欧拉常数）
因为当 x→∞时，O(1/(lnx)^2)和e^(-γ)/lnx相比为无穷小，因此可以认为∏(1-1/p)～e^(-γ)/lnx
当p≤√x，x→∞时，根据梅滕斯定理可以得出∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnx e^(-γ)≈0.56146.......
所以当p≤√x，x→∞时，∏(1-1/p)～1.1229....../lnx
因此用连乘积x∏(1-1/p)表示素数的个数即使x→∞，得出的数值与素数定理x/lnx只多出0.1229.......倍
所以想用x∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值是说x→∞时
对于有限的整数因为x∏(1-1/p)表示素数的个数误差很小，可以不用乘以1/2e^(-γ)
同样对于有限的整数因为(x/2)∏(1-2/p)表示x以内孪生素数的个数误差很小，也可以不用乘以1//[2e^(-γ)]^2，对于有限的整数用连乘积表示x以内素数对的个数误差也很小，同样可以不用乘以1//[2e^(-γ)]^2

重生888@ · 发表于 2023-8-31 02:15

本帖最后由重生888@ 于 2023-8-30 18:16 编辑

请杨老师看看24楼，好像天山草老师说“n=3正确”，没说到无穷大。再说他等同素数定理，与计算偶数素数对也无补。

yangchuanju · 发表于 2023-8-31 04:46

大傻8888888 发表于 2023-8-30 13:42
梅滕斯定理：∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，（其中p≤x x→∞ γ=0.57721......是欧拉常数）
...

数字素数个数积分个数积分/真值素数定理素数定理
x pi(x) li(x) li/pi x/ln(x) /真值
2 1 1.045 1.04500000 2.885390082 2.8854
4 2 2.967 1.48350000 2.885390082 1.4427
8 4 5.253 1.31325000 3.847186776 0.9618
16 6 8.519 1.41983333 5.770780164 0.9618
32 11 13.605 1.23681818 9.233248262 0.8394
64 18 21.934 1.21855556 15.3887471 0.8549
128 31 36.042 1.16264516 26.38070932 0.8510
256 54 60.513 1.12061111 46.16624131 0.8549
512 97 103.721 1.06928866 82.07331788 0.8461
1024 172 181.078 1.05277907 147.7319722 0.8589
2048 309 321.114 1.03920388 268.6035858 0.8693
4096 564 576.922 1.02291135 492.4399073 0.8731
8192 1028 1047.751 1.01921304 909.1198288 0.8844
16384 1900 1919.888 1.01046737 1688.365396 0.8886
32768 3512 3544.244 1.00918109 3151.615407 0.8974
65536 6542 6583.986 1.00641792 5909.278887 0.9033
131072 12251 12296.067 1.00367864 11123.34849 0.9080
262144 23000 23069.193 1.00300839 21010.76938 0.9135
524288 43390 43453.811 1.00147064 39809.87882 0.9175
1048576 82025 82137.527 1.00137186 75638.76976 0.9221
2097152 155611 155739.964 1.00082876 144073.8472 0.9259
4194304 295947 296113.838 1.00056374 275050.0719 0.9294
8388608 564163 564411.512 1.00044050 526182.7462 0.9327
16777216 1077871 1078221.7 1.00032536 1008516.93 0.9357
33554432 2063689 2063984.678 1.00014328 1936352.506 0.9383
67108864 3957809 3958349.548 1.00013658 3723754.819 0.9409
134217728 7603553 7604383.15 1.00010918 7171675.948 0.9432
268435456 14630843 14631777.67 1.00006388 13831089.33 0.9453
536870912 28192750 28194305.43 1.00005517 26708310.43 0.9473
1073741824 54400028 54401475.62 1.00002661 51636066.82 0.9492
2147483648 105097565 105100230.7 1.00002536 99940774.5 0.9509
4294967296 203280221 203284082 1.00001899 193635250.6 0.9526
8589934592 393615806 393619392.4 1.00000911 375535031.4 0.9541
17179869184 762939111 762944445.9 1.00000699 728979766.9 0.9555
34359738368 1480206279 1480216943 1.00000720 1416303547 0.9568
68719476736 2874398515 2874412059 1.00000471 2753923564 0.9581
1.37439E+11 5586502348 5586518343 1.00000286 5358986395 0.9593
2.74878E+11 10866266172 10866289003 1.00000210 10435920874 0.9604
5.49756E+11 21151907950 21151933690 1.00000122 20336666318 0.9615
1.09951E+12 41203088796 41203130441 1.00000101 39656499320 0.9625
2.19902E+12 80316571436 80316641124 1.00000087 77378535258 0.9634
4.39805E+12 1.56661E+11 1.56661E+11 1.00000038 1.51072E+11 0.9643
8.79609E+12 3.05762E+11 3.05762E+11 1.00000038 2.95118E+11 0.9652
1.75922E+13 5.97116E+11 5.97117E+11 1.00000022 5.76822E+11 0.9660
3.51844E+13 1.16675E+12 1.16675E+12 1.00000023 1.12801E+12 0.9668
7.03687E+13 2.281E+12 2.281E+12 1.00000007 2.20697E+12 0.9675
1.40737E+14 4.46163E+12 4.46163E+12 1.00000005 4.32003E+12 0.9683
2.81475E+14 8.73119E+12 8.73119E+12 1.00000008 8.46005E+12 0.9689
5.6295E+14 1.70944E+13 1.70944E+13 1.00000005 1.65748E+13 0.9696
1.1259E+15 3.34834E+13 3.34834E+13 1.00000003 3.24866E+13 0.9702
2.2518E+15 6.56129E+13 6.56129E+13 1.00000003 6.36992E+13 0.9708
4.5036E+15 1.28626E+14 1.28626E+14 1.00000001 1.24948E+14 0.9714
9.0072E+15 2.52253E+14 2.52253E+14 1.00000001 2.45182E+14 0.9720
1.80144E+16 4.9489E+14 4.9489E+14 1.00000001 4.81283E+14 0.9725
3.60288E+16 9.7127E+14 9.7127E+14 1.00000001 9.45065E+14 0.9730
7.20576E+16 1.90688E+15 1.90688E+15 1.00000000 1.85638E+15 0.9735
1.44115E+17 3.74501E+15 3.74501E+15 1.00000000 3.64762E+15 0.9740
2.8823E+17 7.3574E+15 7.3574E+15 1.00000000 7.16946E+15 0.9745
5.76461E+17 1.44588E+16 1.44588E+16 1.00000000 1.40959E+16 0.9749
1.15292E+18 2.84231E+16 2.84231E+16 1.00000000 2.77219E+16 0.9753
2.30584E+18 5.58905E+16 5.58905E+16 1.00000000 5.45349E+16 0.9757
4.61169E+18 1.09933E+17 1.09933E+17 1.00000000 1.07311E+17 0.9761
9.22337E+18 2.1629E+17 2.1629E+17 1.00000000 2.11214E+17 0.9765
1.84467E+19 4.25656E+17 4.25656E+17 1.00000000 4.15829E+17 0.9769
3.68935E+19 8.37903E+17 8.37903E+17 1.00000000 8.18862E+17 0.9773
7.3787E+19 1.64982E+18 1.64982E+18 1.00000000 1.61291E+18 0.9776
1.47574E+20 3.24925E+18 3.24925E+18 1.00000000 3.17767E+18 0.9780
2.95148E+20 6.40077E+18 6.40077E+18 1.00000000 6.26189E+18 0.9783
5.90296E+20 1.26119E+19 1.26119E+19 1.00000000 1.23423E+19 0.9786
1.18059E+21 2.48555E+19 2.48555E+19 1.00000000 2.43319E+19 0.9789
2.36118E+21 4.89956E+19 4.89956E+19 1.00000000 4.79784E+19 0.9792
4.72237E+21 9.66011E+19 9.66011E+19 1.00000000 9.46241E+19 0.9795
9.44473E+21 1.905E+20 1.905E+20 1.00000000 1.86656E+20 0.9798
1.88895E+22 3.75744E+20 3.75744E+20 1.00000000 3.68267E+20 0.9801
3.77789E+22 7.41264E+20 7.41264E+20 1.00000000 7.26713E+20 0.9804
7.55579E+22 1.46263E+21 1.46263E+21 1.00000000 1.4343E+21 0.9806

数字素数个数根内素数连乘积连乘积个数连乘积
x pi(x) p ∏(1-1/p) x∏(1-1/p) /真值
2 1 1 1.0000 2 2.0000
4 2 1 1.0000 4 2.0000
8 4 2 0.5000 4 1.0000
16 6 3 0.3333 5.333333333 0.8889
32 11 5 0.2667 8.533333333 0.7758
64 18 7 0.2286 14.62857143 0.8127
128 31 11 0.2078 26.5974026 0.8580
256 54 13 0.1918 49.1028971 0.9093
512 97 19 0.1710 87.56429948 0.9027
1024 172 31 0.1529 156.520603 0.9100
2048 309 43 0.1417 290.2413291 0.9393
4096 564 61 0.1316 538.9817932 0.9556
8192 1028 89 0.1216 995.906319 0.9688
16384 1900 127 0.1139 1865.58613 0.9819
32768 3512 181 0.1061 3475.177253 0.9895
65536 6542 251 0.1004 6576.753624 1.0053
131072 12251 359 0.0946 12393.80336 1.0117
262144 23000 509 0.0893 23397.89489 1.0173
524288 43390 719 0.0849 44490.80867 1.0254
1048576 82025 1021 0.0806 84564.30883 1.0310
2097152 155611 1447 0.0770 161386.8171 1.0371
4194304 295947 2039 0.0735 308084.8539 1.0410
8388608 564163 2887 0.0703 589314.8384 1.0446
16777216 1077871 4093 0.0674 1130058.404 1.0484
33554432 2063689 5791 0.0647 2171436.994 1.0522
67108864 3957809 8191 0.0622 4177525.095 1.0555
134217728 7603553 11579 0.0600 8048126.738 1.0585
268435456 14630843 16381 0.0578 15516784.89 1.0606
536870912 28192750 23167 0.0558 29967750.1 1.0630
1073741824 54400028 32749 0.0540 57961044.34 1.0655
2147483648 105097565 46337 0.0522 112186529.2 1.0675
4294967296 203280221 65521 0.0506 217382272.6 1.0694
8589934592 393615806 92681 0.0491 421577982.4 1.0710
17179869184 762939111 131071 0.0476 818396958.6 1.0727
34359738368 1480206279 185363 0.0463 1590139709 1.0743
68719476736 2874398515 262139 0.0450 3092083168 1.0757
1.37439E+11 5586502348 370723 0.0438 6016958336 1.0771
2.74878E+11 10866266172 524287 0.0426 11717231062 1.0783
5.49756E+11 21151907950 741431 0.0415 22834537096 1.0795
1.09951E+12 41203088796 1048573 0.0405 44528528697 1.0807
2.19902E+12 80316571436 1482907 0.0395 86884386110 1.0818
4.39805E+12 1.56661E+11 2097143 0.0386 1.69634E+11 1.0828
8.79609E+12 3.05762E+11 2965819 0.0377 3.31383E+11 1.0838
1.75922E+13 5.97116E+11 4194301 0.0368 6.47703E+11 1.0847
3.51844E+13 1.16675E+12 5931641 0.0360 1.26663E+12 1.0856
7.03687E+13 2.281E+12 8388593 0.0352 2.4782E+12 1.0865

yangchuanju · 发表于 2023-8-31 04:48

数字素数个数积分个数积分/真值素数定理素数定理
x pi(x) li(x) li/pi x/ln(x) /真值
10 4 6.165 1.54125000 4.342944819 1.0857
100 25 30.126 1.20504000 21.7147241 0.8686
1000 168 177.609 1.05719643 144.7648273 0.8617
10000 1229 1246.137 1.01394386 1085.736205 0.8834
100000 9592 9629.809 1.00394172 8685.889638 0.9055
1000000 78498 78627.549 1.00165035 72382.41365 0.9221
10000000 664579 664918.405 1.00051071 620420.6884 0.9336
100000000 5761455 5762209.375 1.00013093 5428681.024 0.9422
1000000000 50847534 50849234.96 1.00003345 48254942.43 0.9490
10000000000 455052511 455055614.6 1.00000682 434294481.9 0.9544
1E+11 4118054813 4118066401 1.00000281 3948131654 0.9587
1E+12 37607912018 37607950281 1.00000102 36191206825 0.9623
1E+13 3.46066E+11 3.46066E+11 1.00000031 3.34073E+11 0.9653
1E+14 3.20494E+12 3.20494E+12 1.00000010 3.1021E+12 0.9679
1E+15 2.98446E+13 2.98446E+13 1.00000004 2.8953E+13 0.9701
1E+16 2.79238E+14 2.79238E+14 1.00000001 2.71434E+14 0.9721
1E+17 2.62356E+15 2.62356E+15 1.00000000 2.55467E+15 0.9737
1E+18 2.474E+16 2.474E+16 1.00000000 2.41275E+16 0.9752
1E+19 2.34058E+17 2.34058E+17 1.00000000 2.28576E+17 0.9766
1E+20 2.22082E+18 2.22082E+18 1.00000000 2.17147E+18 0.9778
1E+21 2.11273E+19 2.11273E+19 1.00000000 2.06807E+19 0.9789
1E+22 2.01467E+20 2.01467E+20 1.00000000 1.97407E+20 0.9798
1E+23 1.92532E+21 1.92532E+21 1.00000000 1.88824E+21 0.9807

数字素数个数根内素数连乘积连乘积个数连乘积
x pi(x) p ∏(1-1/p) x∏(1-1/p) /真值
10 4 3 0.3333 3.333333333 0.8333
100 25 7 0.2286 22.85714286 0.9143
1000 168 31 0.1529 152.8521514 0.9098
10000 1229 97 0.1203 1203.172905 0.9790
100000 9592 313 0.0965 9651.938697 1.0062
1000000 78498 997 0.0810 80965.26351 1.0314
10000000 664579 3137 0.0696 696013.9559 1.0473
100000000 5761455 9973 0.0609 6088469.246 1.0568
1000000000 50847534 31607 0.0542 54166822.35 1.0653
10000000000 455052511 99991 0.0488 487529178.5 1.0714
1E+11 4118054813 316223 0.0443 4433046236 1.0765
1E+12 37607912018 999983 0.0406 40638210172 1.0806
1E+13 3.46066E+11 3162277 0.0375 3.75127E+11 1.0840
1E+14 3.20494E+12 9999991 0.0348 3.48338E+12 1.0869

yangchuanju · 发表于 2023-8-31 05:25

以上两张素数个数计算表分别按积分式、素数定理式及连乘积计算式计算所得素数个数近似值，及它们与素数个数真值的比值，
积分个数与素数个数的比值当整数x较小时均大于1，随着x的增大并趋近于无穷大时，比值逐渐趋近于1；
素数定理个数与素数个数的比值当整数x小于等于10时的大于1，很快变成零点八几，随着x的增大并趋近于无穷大时，比值逐渐趋近于1；
连乘积个数与素数个数的比值当整数x小于等于8时的大于等于1，接着变成零点八几—→1—→一点零几，随着x的增大并趋近于无穷大时，比值逐渐增大……
连乘积个数中没有计算修正系数1/2e^(-γ)，比值在x趋近于无穷大时应该是趋近于2e^(-γ)=2*0.56146…=1.12292…。

大傻8888888 · 发表于 2023-8-31 22:16

yangchuanju 发表于 2023-8-31 04:48
数字素数个数积分个数积分/真值素数定理素数定理
x pi(x) li(x) li/pi x/ln(x) /真值
10 4 6.165 1. ...

可以看出即使是1E+14，连乘积 /真值仍然为1.0869，可见用连乘积计算素数的个数的精确度还是比较好的。我刚开始是认可连乘积可以计算素数的个数的，进一步则认为用连乘积∏(1-2/p)也可以计算孪生素数的个数和素数对的个数，并且很容易得出哥猜数大于等于（p/4）-1，即11*11+1=122时，大于等于122哥猜成立。我当时就知道连乘积和实际值有误差，一直想找出误差的大小，都无功而返。直到在网上看到了梅滕斯定理，才知道连乘积在
p≤√x，x→∞时，∏(1-1/p)～1.1229....../lnx。并且紧接着在 2011-7-12 23:29 就发了“x/2*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数，请网友用数据检验是否正确。”（帖子里前面x/2两边应该加上括号）这个帖子。我在帖子里说“虽然结果还没有出来，但是我个人认为一定是正确的。不信我们可以拭目以待。”。结果不出我之所料，天山草先生计算到40亿亿，计算/实际达到0.94929，虽然计算/实际～1还有些误差，但是明显可以看出逐渐越来越接近1，可以预料x→∞时，计算/实际～1。同时（x/2）∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）这个公式经过变换很容易得出哈李关于孪生素数个数的猜测的渐进公式，也可以用同样的方法得出三生素数的，当x→∞时，（x/6）∏(1-3/p)/[2e^(-γ)]^3，（其中3﹤p≤√x）.......一直到k生素数的公式（x/2*3*5......p）∏(1-k/p)/[2e^(-γ)]^k，（其中前面那个p≤k 连乘积里k﹤p≤√x），根据我和天山草先生推广的梅滕斯定理可以变换成有系数的类似哈李的k生素数的解析公式。

yangchuanju · 发表于 2023-9-1 06:35

A007508-18 A065577-14
10^n内孪生素数 10^n内哥猜数
1 2 1 2
2 8 2 6
3 35 3 28
4 205 4 127
5 1224 5 810
6 8169 6 5402
7 58980 7 38807
8 440312 8 291400
9 3424506 9 2274205
10 27412679 10 18200488
11 224376048 11 149091160
12 1870585220 12 1243722370
13 15834664872 13 10533150855
14 135780321665 14 90350630388
15 1177209242304 10^15 = 783538341852
16 10304195697298
17 90948839353159
18 808675888577436

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