用素数个数求偶数N以内素数对个数的方法

yangchuanju · 发表于 2022-10-26 15:17

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-26 15:19 编辑

独舟星海发表于 2022-10-26 07:25
10^n 积分值实际统计统计/积分值
1 6.00000000000000E+00 3.000000 ...

18楼yangchuanju点评：烦请白新岭老师再发一下素数个数的积分展开式好吗？前些日子老师的帖子中好像有素数个数积分展开式，现难以找到它们了。谢谢！发表于 2022-10-26 08:06

素数个数积分展开式已经找到了，在重生888@的帖子《偶数19922……》的64楼中，原贴是：
计算素数个数的方法可以用那种形式x∑m！/（ln（x）)^m，也取到ln（x）取整以前即可。（2022-9-15）

另我在《用Σ累加和的前三项和表偶数素数对之探讨》1楼是这样写的：
用Σ累加和的前三项和表偶数素数对之探讨
Σ累加和的前三项和已经稍大于偶数素数对之真值
白新岭曾经给出，计算某偶数的素数对可用积分式（略），
对于该积分式采用分部积分法可表示成：
x*2c*∑(m-1)!/(ln(x))^m*波动因子，式中累加下界m=2，上界∞，c为哈李常数
上式求得数值是双计素数对数，若要单计素数对数将2c改为c即可。

经对不同类型的偶数分别计算，可用看出累加式仅取前三项的和已经稍大于它们的真实素数对数值，没有必要继续取更多项了。
经对累加和的前三项和展开并整理有：2c*波动因子*x/ln(x)^2*[1+2/ln(x)+6/ln(x)^2]，
在不计第二、第三项时，第一项（或方括号前的部分）实际上就是哈李对数式计算式，其值小于该偶数的真实素数对数，
第二、第三项相当于把调整系数1改为1+2/ln(x)+6/ln(x)^2，
当x相当大时，2/ln(x)和6/ln(x)^2都小于1或远小于1，相加之后使得最后得数稍大于该偶数的真实素数对数了。

请问老师：计算素数个数时只要把（m-1）!改为m！并去掉2c和波动系数就行了吗？
再问老师：素数个数积分展开式叙述句中的后半句“也取到ln（x）取整以前即可”是什么意思？

yangchuanju · 发表于 2022-10-26 16:25

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-27 05:39 编辑

积分计算x内素数个数，公式x∑m！/（ln（x）)^m的计算值不靠谱！
x∑m！/（ln（x）)^m应改为x∑m！/（ln(x))^(m+1)，m从0开始计算；或改为x∑(m-1)！/（ln(x))^m，m从1开始计算。

yangchuanju · 发表于 2022-10-26 20:37

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-27 02:45 编辑

按积分式x∑m！/（ln(x))^(m+1)，m从0开始的积分值与Pi（x）的对比表：
n A006880 Pi(10^n) 积分值积分值/Pi(10^n)
1 1 4 4 7.867322174 1.96683054345992
2 2 25 25 30.97061248 1.23882449912259
3 3 168 168 178.0141812 1.05960822147824
4 4 1229 1229 1247.066083 1.01469982381787
5 5 9592 9592 9630.413611 1.00400475515190
6 6 78498 78498 78627.89757 1.00165478833302
7 7 664579 664579 664919.1653 1.00051185082158
8 8 5761455 5761455 5762209.908 1.00013102730362
9 9 50847534 50847534 50849235.29 1.00003345869941
10 10 455052511 455052511 455055615.3 1.00000682178684
11 11 4118054813 4118054813 4118066401 1.00000281397954
12 12 37607912018 37607912018 37607950281 1.00000101742259
13 13 346065536839 3.46066E+11 3.46066E+11 1.00000031488612
14 14 3204941750802 3.20494E+12 3.20494E+12 1.00000009825153
15 15 29844570422669 2.98446E+13 2.98446E+13 1.00000003527003
16 16 279238341033925 2.79238E+14 2.79238E+14 1.00000001151214
17 17 2623557157654233 2.62356E+15 2.62356E+15 1.00000000303275
18 18 24739954287740860 2.474E+16 2.474E+16 1.00000000088721
19 19 234057667276344607 2.34058E+17 2.34058E+17 1.00000000042673
20 20 2220819602560918840 2.22082E+18 2.22082E+18 1.00000000010030
21 21 21127269486018731928 2.11273E+19 2.11273E+19 1.00000000002828
22 22 201467286689315906290 2.01467E+20 2.01467E+20 1.00000000000960
23 23 1925320391606803968923 1.92532E+21 1.92532E+21 1.00000000000377
24 24 18435599767349200867866 1.84356E+22 1.84356E+22 1.00000000000093
25 25 176846309399143769411680 1.76846E+23 1.76846E+23 1.00000000000032
26 26 1699246750872437141327603 1.69925E+24 1.69925E+24 1.00000000000010
27 27 16352460426841680446427399 1.63525E+25 1.63525E+25 1.00000000000004
28 28 157589269275973410412739598 1.57589E+26 1.57589E+26 1.00000000000001
29 29 1520698109714272166094258063 1.5207E+27 1.5207E+27 1.00000000000000

yangchuanju · 发表于 2022-10-27 02:57

按积分式x∑m！/（ln(x))^(m+1)，m从0开始的积分值与A057754所给Li（x）值不完全相同，但随着整数x=10^n的不断增大，两个积分值趋近于相等；
下面是按积分式x∑m！/（ln(x))^(m+1)，m从0开始的自积分值与Li（x）的对比表：
n 自积分值 Li(10^n) 积分值/Li(10^n) 积分值-Li(10^n)
1 7.867322174 6 1.31122036230662 1.87
2 30.97061248 30 1.03235374926883 0.97
3 178.0141812 178 1.00007966970980 0.01
4 1247.066083 1246 1.00085560471281 1.07
5 9630.413611 9630 1.00004295030291 0.41
6 78627.89757 78628 0.99999869734148 -0.10
7 664919.1653 664918 1.00000175255769 1.17
8 5762209.908 5762209 1.00000015756346 0.91
9 50849235.29 50849235 1.00000000574947 0.29
10 455055615.3 455055615 1.00000000059604 0.27
11 4118066401 4118066401 1.00000000002962 0.12
12 37607950281 37607950281 1.00000000000371 0.14
13 3.46066E+11 3.46066E+11 1.00000000000067 0.23
14 3.20494E+12 3.20494E+12 1.00000000000014 0.44
15 2.98446E+13 2.98446E+13 1.00000000000000 -0.07
16 2.79238E+14 2.79238E+14 1.00000000000000 0
17 2.62356E+15 2.62356E+15 1.00000000000000 0
18 2.474E+16 2.474E+16 1.00000000000000 0
19 2.34058E+17 2.34058E+17 1.00000000000000 288
20 2.22082E+18 2.22082E+18 1.00000000000000 3072
21 2.11273E+19 2.11273E+19 1.00000000000000 0
22 2.01467E+20 2.01467E+20 1.00000000000000 0
23 1.92532E+21 1.92532E+21 1.00000000000000 3670016
24 1.84356E+22 1.84356E+22 1.00000000000000 46137344
25 1.76846E+23 1.76846E+23 1.00000000000000 872415232
26 1.69925E+24 1.69925E+24 1.00000000000000 2147483648
27 1.63525E+25 1.63525E+25 1.00000000000001 85899345920
28 1.57589E+26 1.57589E+26 1.00000000000000 7.55914E+11
29 1.5207E+27 1.5207E+27 1.00000000000000 7.4217E+12

yangchuanju · 发表于 2022-10-27 15:08

用累加法x∑m！/（ln(x))^(m+1)计算素数个数，关键是x∑m！/（ln(x))^(m+1)中的m起点是0，终点应是∞，
若取累加式的有限项还能计算，无限项怎么算？
虽然给定x后，对应于逐步增大的m，各个m！/（ln(x))^(m+1)单项数值先由小逐步增大，
然后又逐步减少，至m趋近于∞的单项数值趋近于0；
实际计算中可只累加到式中顶峰之前（对ln x四舍五入取整之前）的各项，但没有理论依据；
此时相邻项的数值最大，多取一项（向上取整）或少取一项（向下取整）对累加值影响甚大。

yangchuanju · 发表于 2022-11-10 12:22

顶起来，放到一起，供网友欣赏！

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