素数公式，寻找1亿位素数

太阳

1楼主帖，有谁能找到反例？

太阳

2^397-1＝2383×6353×50023×53993×202471×5877983×814132872808522587940886856743×1234904213576000272542841146073×6597485910270326519900042655193
这个不是反例，不符合题题意，注意d≠f

yangchuanju

太阳 发表于 2022-11-16 10:11
2^397-1＝2383×6353×50023×53993×202471×5877983×814132872808522587940886856743×1234904213576000 ...

太阳的梅森素数公式实用性何在？
太阳先生为寻找梅森数的素因子，设定了一系列条件，
意图寻找大素数，进一步寻找亿位大素数。

太阳先生搜寻范围限定在3素因子及3素因子以上的梅森数和清一色数（广义梅森数）；
对于3素因子梅森数的第3因子，用太阳的惯用词语表述就是它“必定是素数”；
对于4素因子或4素因子以上的梅森数，因为按照太阳的条件，去掉最小素因子m和第二素因子t后余因子y“必定是合数”。
即如此，太阳为何还要花费那么大精力去搜寻哪？

太阳先生按照他的设定条件，在为数众多的梅森数中仅搜寻到一个113位的素因子（3素因子积的梅森数2^499-1的第3素因子），
其余的素因子均被太阳先生以“不合题意”被开除掉了！

试问太阳先生，你的那个大数，还用你再鉴定吗？它早被数学界定为素数了！
再问太阳先生，梅森数中还有哪几个素数符合“太阳素数”条件？

yangchuanju

太阳先生最近连发多贴，宣称找到亿位大素数并不太难。
存在性：存在有亿位大素数，这是不言而喻的。
论据是素数无穷多，无穷大。
最小1位正整数是1，等于10^0；
最小2位正整数是10，等于10^1；……
最小亿位正整数是10^100000000。

最小1位素数是2，是最小1位正整数后的下1个正整数（即1+1）；
最小2位素数是11，是最小2位正整数后的下1个正整数（即10+1）；
最小3位素数是101，是最小3位数正整后的下1个正整数（即100+1）；
最小4位素数是1009，是最小4位正整数后的第9个正整数（即1000+9）；……
最小大于亿的素数（9位素数）是100000007，是最小9位数后的第7个正整数；
最小亿位素数肯定存在，应位于最小亿位正整数10^100000000之后。

梅森数中肯定存在有亿位大素数。
2^10-1=1023，4位数（10*lg2+1=4）；式中lg2=0.301029995663981
2^100-1=1.26765060022823E+30，31位数（100*lg2+1=31）；……
2^100000000-1是30102999+1=30103000位数。
梅森数2^100000007-1的位数也是30103000位数。
除以lg2，可得1亿位梅森数的指数应是大于332192810的素数。

经查找大于332192810的最小素数是332192831，
如果梅森数2^332192831-1是素数，它的位数就是1亿位；
如果梅森数2^332192831-1不是素数，它的最大素因子的位数就要小于1亿位了。

相应的如果清一色数(10^100000007-1)/9是素数，则它的位数也是1亿位。

yangchuanju

寻找梅森数2^p-1因子的方法：
（1）首先计算p模4的余数是1还是3；
（2）若p模4余3，再查看2p+1是素数否，若2p+1是素数，则2p+1可整除该梅森数；
（3）若2p+1不是素数，再查看8p+1、10p+1是素数否，若是则用它们试除之；
（4）若p模4余1，再查看6p+1、8p+1是素数否，若是则用它们试除之；
（5）继续寻找2mp+1型数字中的素数并试除之；
（6）在找到了梅森数的一个素因子后，即将该因子除去；
（7）对消除了梅森数的一个素因子后的数，可再用下一个2mp+1型素数试除之；
（8）一直试除到2mp+1小于消除了梅森数2^p-1的若干个素因子后的数<（2^p-1)/[(2*m1*p+1)*(2*m2*p+1)*…*(2*mi*p+1)]>的平方根为止；
（9）剩余的数便是梅森数的一个重大的素因子。
（10）试除过程中，由于4p+1、12p+1、20p+1、……、（4+8k）p+1型素数不会是2^p-1的因子，在试除时可略去；这里2m=4+8k。
（11）对于模4余1的素数p，由于2p+1、10p+1、……、（2+8k）p+1型素数不会是2^p-1的因子，在试除时亦可略去；这里2m=2+8k。
（12）对于模4余3的素数p，由于6p+1、14p+1、……、（6+8k）p+1型素数不会是2^p-1的因子，在试除时同样可略去；这里2m=6+8k。
合到一起，对于模4余1的素数p，在试除时可略去（2+8k）p+1和（4+8k）p+1型素数；对于模4余3型素数p，在试除时可略去（4+8k）p+1、（6+8k）p+1型素数。

太阳

\(已知:质数a＞0，c是2^a-1的最小质因数，m是\frac{2^a-1}{c}的最小质因数，t是2^a-1的最大质因数，m＝4c-3\)
\(求证:t＞\sqrt{2^a-1}\)
\(例1:a＝179，239，431，2593，2657，检验和验证179，239，431，t＞\sqrt{2^a-1}\)
\(试除法:寻找1亿位素数\)

yangchuanju

太阳 发表于 2022-11-16 16:30
\(已知:质数a＞0，c是2^a-1的最小质因数，m是\frac{2^a-1}{c}的最小质因数，t是2^a-1的最大质因数，m＝4c-3 ...

亿位素数的试除
最小的亿位数字是10^100000000=10^(10^8)，10^8是最小的9位数；
最小的亿位数字的平方根是10^50000000=10^(5*10^7)，1亿的平方根是10000；
1亿以内约有100000000/ln(100000000)=543万个素数；1亿平方根（1万）以内有1229个素数；
10^50000000以内约有10^50000000/ln(10^50000000)=10^50000000/50000000/ln(10)=10^49999992/4.6
约等于2.17*10^49999991个素数。

若用试除法判定一个亿位整数是素数，用域内全部素数试除一遍，需2*10^49999991次；
由于数字较大，假定用现代比较先进的计算机试除，每秒钟试除一百万次，
一天24*3600=86400秒，
每年365*86400=31536000秒约等于3.15*10^7秒，
每年可试除3.15*10^7*10^6=3.15*10^13次，
试完一个亿位数字需7*10^49999977年。

请太阳先生趁您健在，抓紧时间立个遗嘱，让您的子子孙孙接着试除下去，找到了亿位大素数之最终荣誉就属于太阳家族的啦！

费尔马1

！！！！！？？？？？？

太阳

已知:整数\(a\)＞0，\(c\)＞0，\(d\)＞0，\(f\)＞0，\(h\)＞0，\(k\)＞0
\(y\)＞0，\(k\)＞\(d\)，\(k\)＞\(f\)，\(d\)≠\(f\)，\(m\)是\(2^p-1\)的最小质因数
\({2^p-1\over m}\)＝\(ty\)，\({t-1\over m-1}\)＝\(a\)\(\dfrac dk\)，\({y-1\over m-1}\)＝\(c\)\(\dfrac fk\)，\({ty-1\over m-1}\)＝\(h\)
质数\(k\)＞0，\(p\)＞0，\(t\)＞0，\(v\)＞0
求证:\(y\)＝v
例1:\(p\)＝499，\(m\)是\(2^p-1\)的最小质因数，\(m\)＝20959
\(t\)＝1998447222711143545931606352264121
\(y\)＝\({2^{499}-1\over 41885455340802857579180537537103712039}\)
\({2^p-1\over m}\)＝\(ty\)，\(d\)≠\(f\)，\({t-1\over m-1}\)＝\(a\)\(\dfrac 27\)，\({y-1\over m-1}\)＝\(c\)\(\dfrac 37\)，\({ty-1\over m-1}\)＝\(h\)
判断:\({2^{499}-1\over 41885455340802857579180537537103712039}\)是质数
已知:整数\(a\)＞0，\(c\)＞0，\(d\)＞0，\(f\)＞0，\(h\)＞0，\(k\)＞0
\(y\)＞0，\(k\)＞\(d\)，\(k\)＞\(f\)，\(d\)≠\(f\)，\(m\)是\({10^p-1\over 9}\)的最小质因数
\({10^p-1\over 9m}\)＝\(ty\)，\({t-1\over m-1}\)＝\(a\)\(\dfrac dk\)，\({y-1\over m-1}\)＝\(c\)\(\dfrac fk\)，\({ty-1\over m-1}\)＝\(h\)
质数\(k\)＞0，\(p\)＞0，\(t\)＞0，\(v\)＞0
求证:\(y\)＝v
例1:\(p\)＝103，\(m\)是\({10^p-1\over 9}\)的最小质因数，\(m\)＝1031
\(t\)＝7034077，\(y\)＝\({10^{103}-1\over 65269200483}\)，\({10^p-1\over 9m}\)＝\(ty\)
\(d\)≠\(f\)，\({t-1\over m-1}\)＝\(a\)\(\dfrac 15\)，\({y-1\over m-1}\)＝\(c\)\(\dfrac 25\)，\({ty-1\over m-1}\)＝\(h\)
判断:\({10^{103}-1\over 65269200483}\)是质数

太阳

yangchuanju先生，26楼，29楼，命题能找到反例吗？如果26楼命题成立，试除法，容易找1亿位素数