趣味无穷的梅森数和梅森因子

yangchuanju

先来两个引子。
2^1789-1<530>=
39359×254039×18926517977<11>×3278051851070015836353451777<28>×5623817932...59<491>
第5个491位的因子尚未分解到底，是一个复合因子；
M=39359,  T=254039,  (T-1)/P=22；
Y=3489135155…11<529>
TY=8863764057…29<534>
(T-1)/(M-1)= 6.45454545454545…=6+5/11
(Y-1)/(M-1)= 8865123114…45<524>——整数
(TY-1)/(M-1)= 2252087010…61.454545…——530位整数+5/11
2^1789-1是一个“不整除+整除=不整除”的梅森数，P=29的大姐姐。

2^8929-1<2688>=
196439×2555359872029449<16>×1115430961341245177793296572392840751<37>×1408344179...51<2632>
第4个2632位的因子尚未分解到底，是一个复合因子；
M=194639,  T=2555359872029449<16>,  (T-1)/P=22；
Y=1570910702…01<2668>
TY=4014242171…49<2663>
(T-1)/(M-1)= 13008480396——整数
(Y-1)/(M-1)= 7996979720…27.272727…——2662位整数+3/11
(TY-1)/(M-1)= 2043516107…23.272727——2678位整数+3/11
2^8929-1是一个“整除+不整除=不整除”的梅森数，P=4127的大姐姐——太阳先生的“大妮子”吆。

yangchuanju

然而8761不同了，与1789，8929虽然都是一母生，但长相大不一样——
妹妹1789左腿长右腿短，并且拖着一条大尾巴；
姐姐8929右腿长左腿短，也拖着一条大尾巴。
二妮子的长相也“不咋的”——两脚后根上都有一条“鞋带子”，长度还不一样，但屁股后面没有长尾巴。

二妮子(2^8761-1)虽然身材不太好，但猛一看还是挺美的——不整除+不整除=整除；
须知梅森家族中的T、Y、TY姊妹们中，尽管“3整除”的有一些，但绝大多数是“3不整除”的；像二妮子这样的则是——千里挑一！
（前10000个2^n-1之中仅有499、1193、8761这3个）
唯一不足的是：499、1193的三孩子都是素数，8761的三孩子是合数。

yangchuanju

2^8761-1<2638>=
192743×21086064775471<14>×27521653946472839<17>×252738375533197927<18>×978770943064293241<18>×741360813207419388145717037710039122529073<42>×1027451776...23<2526>
第7个2526位的因子尚未分解到底，是一个复合因子；
M=192743,  T=21086064775471<14>,  (T-1)/P=22；
Y=5185825052…67<2619>
TY=1093486429…57<2633>
(T-1)/(M-1)=109400466.8181…——9位整数+9/11
(Y-1)/(M-1)= 2690552683…45.7272…——2614位整数+8/11
(TY-1)/(M-1)= 5673316815…68——2627位整数
2^8929-1是一个“不整除+不整除=整除”的梅森数，两分数的分母都是素数11，分子不相等，符合“太阳素数公式”的所有条件，但y因子不是太阳先生希望的那样——想要个儿子老婆确生了个闺女！
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yangchuanju

8761的另一个同类4153是一个3不整除的梅森数。

yangchuanju

2^6373-1是22家族的一位媳妇，本姓6；在娘家是一位大美女——尽管父母的基因都是“不”，但闺女确极为纯贞——“整除”。
嫁到婆家后改姓22，（以第2素因子为m，第1素因子合并到第3素因子中为t）变成一个三不整除的“丑老婆”。
在娘家，两个分数都是2/3，但太阳公公不承认她是499的好姊妹，理由是它们的分子相等；嫁到太阳家族后公公更不会看中这位丑媳妇了。

yangchuanju

当梅森数的第2素因子减1除以第1素因子减1等于2时，都是3整除类型的梅森数，不再论述；
当梅森数的第2素因子减1除以第1素因子减1等于6时，有两种类型：
3整除类型的有：1321,1361,1381,1693,1993,2417,2593,2621,3037,4441,
及5393,5801,6173,6977,7573,9613等等；
2不整除+1整除类型的有：1777,3181,3593,4001,4273,4597,
4813,4933,5197,5717,6373,6841,7901,8353,8377等等，
它们的前两个比值的分数部分，要么都等于1/3，要么都等于2/3；
太阳先生不承认它们是499的同类，理由是它们的分子都相等。

须知，上述所涉及的梅森数都是4或4个素因子的梅森数，第3复合因子都是合数；
如果太阳先生不一再强调，分子不能相等，则它们都是“太阳素数公式”的反例！
为何如此，不易找出具体原因。

yangchuanju

在第1素因子减1除以指数等于8的梅森数中，3个比值共有2种类型：
1整除+2不整除的有：1367,1667,3329,
它们的第2、第3个比值的分数（小数）都是0.25或0.75；
不整除+整除+不整除的有：1871,2411,2837,3119,3347,3767,5021,5087,6449,6959,8429,8741,9461,9851,
它们的第1、第3个比值的分数（小数）都是0.25或0.75。

yangchuanju

在第1素因子减1除以指数等于10的梅森数中，3个比值共有3种类型：
3不整除的有：1663,1723,5107,5431,
3个分数（小数）分别是0.6,  0.4,  0.2；
不整除+整除+不整除的有：3511,9511，
2个分数（小数）都是0.6；
整除+不整除+不整除的有：4903,6199，
2个分数（小数）都是0.2或都是0.4。

第1素因子减1除以指数的比等于6,8,10中都没有499类型的梅森数。
p449为2不整除+1整除，且分母是不等于2和5的素数，分子不相等的特殊梅森数，
p499的比值是42，两分数分别为2/7和3/7；p1193的比值是102两分数分别为1/17和8/17。

yangchuanju

按照太阳先生设定的在梅森数中寻找具有“不整除+不整除=整除”这种特定性质的梅森数的条件，
要找到几个符合条件的梅森数十分困难，主要是因为梅森数的数值都是异常大的。
须知，在众多的梅森数中，要寻找“3不整除”的梅森数，则比比皆是；
要寻找“3整除”的也不算困难；
但要找到“不整除+不整除=整除”的梅森数则难度是非常大的。

尽管寻找难度非常大，最终还是被攻破了！
如果太阳先生还想在这方面进行探讨，不妨再加大一些难度：
令含4素因子及4素因子以上的梅森数的：
第2素因子为m，第1和第3素因子积为t，第4素因子及以后的素因子合并为y，就像您的那个“丑媳妇”那样，
再将因子t、y合并成一个复合因子ty；
再令(t-1)/(m-1)=b2,  (y-1)/(m-1)=b3,  (tsy-1)/(m-1)=b4,  【留着b1=(m-1)/p待用】；
求满足b2、b3都不是整数，而b3是整数的梅森数，
注意：不要再限定两个分数的分子不得相等，分母不得含素因子2和5等附加条件啦；
不要再设定哪些因子必定是素数的，哪些因子必定是合数等不合理的猜想啦。

相信太阳先生一定能够找到一些满足“不整除+不整除=整除”的梅森数！
【您的那个儿媳妇在娘家（b1=6）是“不整除+不整除=整除”的大美女，嫁到b1=22家族后才变成“3不整除”丑媳妇的】
恭喜成功！

yangchuanju

估一估，2^100000007-1会有什么样的素因子？
100000007是一个最小的9位素数，梅森数2^100000007-1可能是梅森素数，但几率极低；
故这个梅森数很可能是合数。

如果这个梅森数是合数，则它的素因子一定是2*100000007*k+1中的某几个素数，
其中k为1,3,4,5,7,8,9，……；k中没有2,6,10，……4n+2型的正整数。
一般我们把2与k合并到一起，若仍有k表示，则：
梅森数2^100000007-1的素因子一定是100000007k+1中的某几个素数，
其中k为2,6,8,10,14,16,18，……；k中没有4,12,20，……8n+4型的正整数。

用试除法寻找梅森数的素因子，
试除所用到的最大试除数不超过梅森数的平方根，2^5000003.5约等于10的15051500次方，
相应的k不超过10的15051492次方，但后部的大k可能是无用的。
实际上试除中如果找到了一个素因子之后，继续试除时只需要试除到“梅森数除以第1素因子之商”的平方根即可。
同时试除工作不用从头开始，而是从上一个有用的k之后接着进行的；
同时梅森数的第2素因子不会小于第1素因子的2倍，故下一个试除用k加倍即可。
在找到第1个素因子后，反查一下该素因子对应的k，再看一看该k的2倍是不是2,6,8,10,14,16……中的数字；
若不是，则下一个试除用k再加倍即可（4倍数）。

先算出一些较小的100000007k+1的正整数，例如先算1万的，注意只要其中的2,6,8,10,14,16，……即可；
再找出其中的素数，接着从最小素数逐个试除即可。
如果选定的素数已用完，但没有找到给定梅森数的最大素因子，则需加大试除用k，直至找到梅森数的第1个最小的素因子为止；
此时试除工作只完成了第一步。

例：100000007k+1型素数表               
k        100000007k+1        分解式
18        1800000127        1800000127 is prime
50        5000000351        5000000351 is prime
86        8600000603        8600000603 is prime
146        14600001023        14600001023 is prime
168        16800001177        16800001177 is prime
               
3000多万位的梅森数除以第一个试除用素数1800000127，我是不会算，太阳先生会算吗？

再告诉你两个绝招：
一、所有的梅森因子都是模8余1或7的，如果上述素数之中有模8余3和余5的统统去掉，不必试除；
上面的5个素数中第3个素数模8余3，不必用它试除了。
二、所有梅森因子都只能是某一个特定梅森数的因子，如果你收集或下载了全部已知的梅森因子，那怕是部分梅森因子也行，
将你所筛选的待试除用的素数与梅森因子表中的素因子比对一下，如果梅森因子表中有那个素数，也不必再试除。