指数幂计算问题，到底指数幂与根式之间是怎么转化的

风卷浪起

难道这个算式有两个答案？按照这两种办法计算的话，一个正整数的相反数的奇数次方，都有可能有两种答案。

风卷浪起

春风晚霞 发表于 2022-12-27 13:43
为什么结果是-8？逻辑依据是什么？

将二分之六化成整数，也就是三，那么-2的3次方就是-8呀。

风卷浪起

春风晚霞 发表于 2022-12-27 19:54
①、根据根式的意义:\(\sqrt{(-2)^6}=\)\(\sqrt{[(-2)^3]^2}=\)\(\sqrt{(-8)^2}=\)| -8 |=8（一个数平方的 ...

不需要这么麻烦吧......

cgl_74

cgl_74 发表于 2022-12-27 18:06
没忍住评价下：首先按照运算次序进行运算。其次运算要等价变换。所以先算指数为-3，再算结果为-8。先平方再 ...

2位好像是新加入论坛的哈。我们可以花点时间讨论下。
1、首先要明白先平方，后开方的操作不是等价运算。举例：(-1)^2 =1; 1^(1/2) =1; 但这个值并不等于-1. 只有在底数是非负数的情况下，平方与开方的次序才是可以交换等价的。我们在解方程时，等号两边同时平方，很多时候是不等价变换，可能带来增根，所以要额外检查。

2、我们看看指数是如何从正整数拓展到有理数和无理数的。指数为正整数n时，概念很好理解，也是最本质的含义。当指数为1/n时，含义也明确，但是这里有注意n为偶数时底数要非负（实数系统）。当指数拓展为普通有理数m/n时，其含义为n次方再开m次方，或者开m次方再n次方；但是底数为负数时，涉及到前述的运算次序的不等价处理，含义是有歧义的。这可以通过人为指定运算次序来规避，但是这没有啥用！因为当指数为无理数时，底数为负数，无法定义其值！比如(-1)^pai的值是啥？无法定义！不能通过指数有理数化逼近的方式收敛。(-1)^pai值在1和-1之间抖动，无法收敛到固定值！只有底数为正数时，才能通过有理数的无限逼近，让值收敛！

3、结论：当指数拓展到普通有理数/实数时，要求底数为非负数，这样才有意义，才是一个自洽的运算系统。负数为底的算式，要严格按运算次序进行。通过括号或自身的运算次序判断其是否有意义。
具体到本例，先算指数值为3，在次方计算，结果为-8

波斯猫猫

是不是数学不好玩嘛。再再再说一下：
（一2）＾（6／2）＝（一2）＾3＝一8。（它不是分数指数幂，是正整数指数幂）
√｛（一2）＾6｝＝√64＝8。（它是根式）
上面两个式子的左边不相等。
如再不信，去查一下人教版的教课书，分数指数幂的底数和指数都有严格的限制。
a＾（m／n），（1）a＞o，且a≠1，
（2）m、n∈N＋，n≥2，且m与n互素。
惊恐万状，似又出现了悖论，发现了新大陆。

波斯猫猫

较恰当的估计，一般能考上专科的都会（一2）＾（6／2）＝（一2）＾3＝一8。

春风晚霞

1、关于运算的等价问题，我认为应该考虑同一运算，根据运算顺序不同(如同级运算从左至右依次计算，或先算乘、除、再算乘方、开方)得到结果相同，那么这两种计算是等价的，否则是不等价的。先生对等价的解读，是牵强的。对于算式\((-2)^\frac{6}{2}\)，因楼主指明这是“指数幂计算问题，到底指数幂与根式之间是怎么转化的”，所以计算中可不考虑\((-2)^\frac{6}{2}\)是函数y=\(x^α\),当x=-2，α=\(\frac{6}{2}\)的情形，更不应考虑先化简\(\frac{6}{2}\)=3的问题。因为\((-2)^3\)与根式无涉，也与“指数幂计算问题，到底指数幂与根式之间是怎么转化的”这个主题无关。所以先生认为的等价操作，其实根本就不等价！
2、现行教科书中指数是在根式的基础上引入的。而根式和指数的概念均是中学学段的内容，大学中除师范专业的《初等代数研究》(有的学校也称《初等代数原理》或《初等代数复习与研究》)有详尽讨论外，一般涉及较少。现以余元希等著《初等代数研究》为蓝本，简单讨论于后:
【定义3】\(a^\frac{p}{q}=\sqrt[q]{a^p}\)，这里的a≥0，p∈N，q∈N，q>1(参见《初等代数研究》上册P216页定义3).
算式\((-2)^\frac{6}{2}\)不满足定义3，但如果我们根据代数运算顺序(括号优先；先乘方、开方；再乘、除；最后才加、减)及同级运算依次运算的原则，\((-2)^\frac{6}{2}=\sqrt[2]{(-2)^6}\)又是有意义的(\((-2)^6\)>0)；这样的算式在根式计算中也是常见的。
3、我认同负数为底的算式，要严格按运算次序进行，根据自身的运算次序判断其是否有意义。对于\((-2)^\frac{6}{2}\)，“先算指数值为3，在次方计算，结果为-8”是违反“严格按运算次序进行，根据自身的运算次序判断其是否有意义”的，故此法不可取！

永远

春风晚霞 发表于 2022-12-28 20:41
1、关于运算的等价问题，我认为应该考虑同一运算，根据运算顺序不同(如本例同级运算从左至右依次计算，或按 ...

我依稀记得，以前在陆老师的论坛关于相关问题分析的很多，可惜陆老师网站关了我查不到陆教授的观点了

波斯猫猫

1，分数指数幂与根式在一定条件下可互相转化，是一种互化关系。与等价不等价无关，等价与不等价常用于判定两个命题是否等价。
2，在初等数学，即中学数学中，分数指数幂的意义不是定义，而是一种合理的规定。为了避免讨论，给学生降低难度，底数和指数都有明确的限制条件。
3，有的个人著述，如《初等数学研究》，既然是研究，则允许突破有些限制，深入到高等数学。即使这样，（一2）＾（6／2）＝（一2）＾3＝一8是永恒的。
数学这东西，不能想当然，似是而非。切记。

波斯猫猫

3是正整数，而不是分数。但3可看成分母是1的分数，即3／1，也即6／2。
故，3／1或6／2是被看成分数的。故6／2＝3／1＝3。
而√〈（一2）＾6〉本身就是一个二次根式，不能看成由分数指数幂转化而来。
这就底层逻辑，退倒已无可再退的地步。如果还未到位，那神仙也是没有办法了。