数论新篇，一字排成“继往开来”

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-25 20:13
解费尔马函数不定方程：
A^2020+B^2021+C^2022=4D^2023
将方程改为4D^2023-A^2020-C^2022=B^2021

二人周期部分相同，非周期部分不一样，程老师的小2022倍！
用最小公倍数求乘数m，m=1，可得到这个小解。


方程（2）另用除以2后的数据重求m=1349，得数如下：
A=3^(4133456313k+2756318619)
B=3^(4131411060k+2754954780)
C=3^(4129367830k+2753592290)
D=3^(4127326620k+2752231147)
A^2020=3^(8349581752260k+5567763610380)
B^2021=3^(8349581752260k+5567763610380)
C^2022=3^(8349581752260k+5567763610380)
D^2023=3^(8349581752260k+5567763610381)
A^2020+B^2021+C^2022=D^2023正确！

老是丢三落四，丢掉的底数3已补上，多谢老师给予指正！

yangchuanju

解费尔马函数不定方程（2）的方法宜改为：
（2）A^2020+B^2021+C^2022=D^2023
底数是3
循环周期（求法不变）：
A：lcm(2020,2021,2022,2023)/2020*k
B：lcm(2020,2021,2022,2023)/2021*k
C：lcm(2020,2021,2022,2023)/2022*k
D：lcm(2020,2021,2022,2023)/2023*k
式中lcm是最小公倍数，k——0或正整数
非循环部分（恢复最小公倍数法）：
求乘数m：[lcm(2020,2021,2022)*m+1]/2023是整数，m=1349
A：2021*2022*m/gcd(2020,2021,2022)
B：2020*2022*m/gcd(2020,2021,2022)
C：2020*2021*m/gcd(2020,2021,2022)
D：[lcm(2020,2021,2022)*m+1]/2023
对于ABC必须除以三个指数的最大公约数，本例为2。

方程（2）改用除以2后的数据重求m=1349，得数如下：
A=3^(4133456313k+2756318619)
B=3^(4131411060k+2754954780)
C=3^(4129367830k+2753592290)
D=3^(4127326620k+2752231147)
A^2020=3^(8349581752260k+5567763610380)
B^2021=3^(8349581752260k+5567763610380)
C^2022=3^(8349581752260k+5567763610380)
D^2023=3^(8349581752260k+5567763610381)
A^2020+B^2021+C^2022=D^2023正确！

原用连乘积求得的偏大的解为：
乘数m：[2020*2021*2022*m+1]/2023是整数，m=1686
A=3^(4133456313k+6889774932)
B=3^(4131411060k+6886365840)
C=3^(4129367830k+6882960120)
D=3^(4127326620k+6879557767)
A^2020=3^(8349581752260k+13917345362640)
B^2021=3^(8349581752260k+13917345362640)
C^2022=3^(8349581752260k+13917345362640)
D^2023=3^(8349581752260k+13917345362641)
A^2020+B^2021+C^2022=D^2023

老是丢三落四，丢掉的底数3已补上，多谢老师指正！

yangchuanju

费尔马带系数函数型丢番图不定方程解结构分析       
解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)       
其中一组通解公式为：       
X=2^(8n^2+6n-4)       
X项底数2的指数未计周期和参数uv，非周期解为[Y指*Z指*(2n-1)+2]/X指，式中(2n-1)为整除乘数m1；
*a^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+11]       
X项底数a的指数周期解为Y指*Z指*2，非周期解为[Y指*Z指*(2n+2)-1]/X指，式中(2n+2)为整除乘数t1;
*b^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+9]       
X项底数b的指数周期解为Y指*Z指*2，非周期解为Z指*(2n+3)，式中(2n+3)为整除乘数t2;
*c^[(16n^2+28n+12)k+16n^2+20n+4]       
X项底数c的指数周期解为Y指*Z指*2，非周期解为Y指*(8n+2)，式中(8n+2)为整除乘数t3;
*uv       
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+8n^2+6n]       
X项底数(u^a-v^a)的指数周期解为Y指*Z指的最小公倍数，非周期解为Z指*2n，式中2n为整除乘数m2；
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+16n+16]       
X项底数(u^a+v^a)的指数周期解为Y指*Z指的最小公倍数，非周期解为Y指*8，式中8为整除乘数m3。

Y=2^(8n^2+2n-3)       
Y项底数2的指数未计周期，非周期解等于Z指*(2n-1)，式中(2n-1)为整除乘数m1；
*a^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+6]       
Y项底数a的指数周期解为X指*Z指*2，非周期解为Z指*(2n+2)，式中(2n+2)为整除乘数t1;
*b^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+4]       
Y项底数b的指数周期解为X指*Z指*2，非周期解为[X指*Z指*(2n+3)-1]/Y指，式中(2n+3)为整除乘数t2;
*c^[(16n^2+20n+6)k+16n^2+12n+2]       
Y项底数c的指数周期解为X指*Z指*2，非周期解为X指*(8n+2)，式中(8n+2)为整除乘数t3;
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+8n^2+2n+1]       
Y项底数(u^a-v^a)的指数周期解为X指*Z指的最小公倍数，非周期解为(X指*Z指*2n+2)/Y指，式中2n为整除乘数m2；
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+16n+8]       
Y项底数(u^a+v^a)的指数周期解为X指*Z指的最小公倍数，非周期解为X指*8，式中8为整除乘数m3。
       
Z=2^(4n^2+2n-2)       
Z项底数2的指数未计周期，非周期解等于Y指*(2n-1)，式中(2n-1)为整除乘数m1；
*a^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+4]       
Z项底数a的指数周期解为X指*Y指*2，非周期解为Y指*(2n+2)，式中(2n+2)为整除乘数t1;
*b^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+3]       
Z项底数b的指数周期解为X指*Y指*2，非周期解为X指*(2n+3)，式中(2n+3)为整除乘数t2;
*c^[(8n^2+12n+4)k+8n^2+8n+1]       
Z项底数c的指数周期解为X指*Y指*2，非周期解为[X指*Y指*(8n+2)-1]/Z指，式中(8n+2)为整除乘数t3;
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+4n^2+2n]       
Z项底数(u^a-v^a)的指数周期解为X指*Y指的最小公倍数，非周期解为X指*2n，式中2n为整除乘数m2；
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+8n+6]       
Z项底数(u^a+v^a)的指数周期解为Y指*Z指的最小公倍数，非周期解为(X指*Y指*8+2)/Z指，式中8为整除乘数m3。
其中，n、u、v为正整数，k为0或正整数，u＞v       

分析中可能有不少错误，望老师给予指正！
先行谢谢老师了！
业已发现的错误已修正。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-12-24 11:37
解不定方程
aA^2020+bB^2021+cC^2022=dD^2023

先丢掉系数d，解个简单的不定方程
aA^2020+bB^2021+cC^2022=D^2023

底数等于(a+b+c)，指数的周期部分和非周期部分同方程A^2020+B^2021+C^2022=D^2023

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-26 08:58
费尔马带系数函数型丢返图不定方程解结构分析       
解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)       
其中一 ...

老师您好，一定要注意劳逸结合，别太累了！
这个题有三个字母系数，如果采用取底数法也不能以2为底数，先以a+b为底数，这时把右边的系数c先抛去，解完初步的方程后，再在此基础上加上系数c，再解一次方程。
如果没有这三个字母系数，解法就较简单了，有几种解法，可以选用取底数法，以2为底数即可。
您的以上分析较复杂，学生我一时半会也看不明白，待我慢慢的学习，谢谢老师。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-1-26 08:58
费尔马带系数函数型丢番图不定方程解结构分析       
解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)       
其中一 ...

（重求）带系数函数型丢番图不定方程解结构探讨和比对       
解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)       
其中一组通解公式为：第2行数字是费尔马的通解表达式。       

X=(2pm)^[lcm(XYZ指)/X指*k+[lcm(YZ指)*m1+2]/X指]       
X=2^(8n^2+6n-4)——原方程通解中未计及周期部分，m1=2n-1

*[p^(2n+1)-m^(2n+1)]^[lcm(XYZ指)/X指*k+Z指/gcd(XZ指)*m2]       
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+8n^2+6n]

*[p^(2n+1)+m^(2n+1)]^[lcm(XYZ指)/X指*k+Y指/gcd(XY指)*m3]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+16n+16]

*a^[lcm(XYZ指)/X指*k+[lcm(YZ指)*m4-1]/X指]       
*a^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+11]——原方程解中的周期部分大了4倍，m4=2n+2

*b^[lcm(XYZ指)/X指*k+Z指/gcd(XZ指)*m5]       
*b^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+9]——原方程解中的周期部分大了4倍

*c^[lcm(XYZ指)/X指*k+Y指/gcd(XY指)*m6]       
*c^[(16n^2+28n+12)k+16n^2+20n+4]——原方程解中的周期部分大了4倍

*uv——原方程解中的uv单独列出，现并入底数2中


Y=(2pm)^[lcm(XYZ指)/Y指*k+Z指/gcd(YZ指)*m1]       
Y=2^(8n^2+2n-3)——原方程通解中未计及周期部分

*[p^(2n+1)-m^(2n+1)]^[lcm(XYZ指)/Y指*k+[lcm(XZ指)*m2+2]/Y指]       
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+8n^2+2n+1]——m2=2n

*[p^(2n+1)+m^(2n+1)]^[lcm(XYZ指)/Y指*k+X指/gcd(XY指)*m3]       
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+16n+8]

*a^[lcm(XYZ指)/Y指*k+Z指/gcd(YZ指)*m4]       
*a^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+6]——原方程解中的周期部分大了4倍

*b^[lcm(XYZ指)/Y指*k+[lcm(XZ指)*m5-1]/Y指]       
*b^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+4]——原方程解中的周期部分大了4倍，m5=2n+3

*c^[lcm(XYZ指)/Y指*k+X指/gcd(XY指)*m6]       
*c^[(16n^2+20n+6)k+16n^2+12n+2]——原方程解中的周期部分大了4倍

       
Z=(2pm)^[lcm(XYZ指)/Z指*k+Y指/gcd(YZ指)*m1]       
Z=2^(4n^2+2n-2)——原方程通解中未计及周期部分

*[p^(2n+1)-m^(2n+1)]^[lcm(XYZ指)/Z指*k+X指/gcd(XZ指)*m2]       
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+4n^2+2n]

*[p^(2n+1)+m^(2n+1)]^[lcm(XYZ指)/Z指*k+[lcm(XY指)*m3+2]/Z指]       
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+8n+6]——m3=8

*a^[lcm(XYZ指)/Z指*k+Y指/gcd(YZ指)*m4]       
*a^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+4]——原方程解中的周期部分大了4倍

*b^[lcm(XYZ指)/Z指*k+X指/gcd(XZ指)*m5]       
*b^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+3]——原方程解中的周期部分大了4倍

*c^[lcm(XYZ指)/Z指*k+[lcm(XY指)*m6-1]/Z指]       
*c^[(8n^2+12n+4)k+8n^2+8n+1]——原方程解中的周期部分大了4倍，m6=8n+2
       
其中，n、m、p、q为正整数，k为0或正整数，m＞p       
原方程解中，n、u、v为正整数，k为0或正整数，u＞v

原方程解中的u、v，即新方程解中的m、p；
方程解中的lcm——最大公倍数；gcd——最小公约数。
本例之中，gcd(XYZ指)、gcd(YZ指)、gcd(XZ指)、gcd(XY指)都等于1。

yangchuanju

带系数函数型丢番图不定方程解结构探讨
解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(4n+3)
其中一组通解公式为：
X=(2pm)^[lcm(XYZU指)/X指*k+[lcm(YZU指)*m1+2]/X指]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/X指*k+Z指*U指/gcd(YZU指)*m2]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m3]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m4]
*a^[lcm(XYZU指)/X指*k+[lcm(YZU指)*m5-1]/X指]
*b^[lcm(XYZU指)/X指*k+Z指*U指/gcd(YZU指)*m6]
*c^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m7]
*d^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m8]

Y=(2pm)^[lcm(XYZU指)/Y指*k+Z指*U指/gcd(XZU指)*m1]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/Y指*k+[lcm(XZU指)*m2+2]/X指]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*U指/gcd(XZU指)*m3]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*Z指/gcd(XZU指)*m4]
*a^[lcm(XYZU指)/Y指*k+Z指*U指/gcd(XZU指)*m5]
*b^[lcm(XYZU指)/Y指*k+[lcm(XZU指)*m6-1]/X指]
*c^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*U指/gcd(XZU指)*m7]
*d^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*U指/gcd(XZU指)*m8]

Z=(2pm)^[lcm(XYZU指)/Z指*k+Y指*U指/gcd(XYU指)*m1]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*U指/gcd(XYU指)*m2]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Z指*k+[lcm(XYU指)*m3+2]/Z指]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*Y指/gcd(XYU指)*m4]
*a^[lcm(XYZU指)/Z指*k+Y指*U指/gcd(XYU指)*m5]
*b^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*U指/gcd(XYU指)*m6]
*c^[lcm(XYZU指)/Z指*k+[lcm(XYU指)*m7-1]/Z指]
*d^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*Y指/gcd(XYU指)*m8]

U=(2pm)^[lcm(XYZU指)/U指*k+Y指*Z指/gcd(XYZ指)*m1]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Z指/gcd(XYZ指)*m2]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Y指/gcd(XYZ指)*m3]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/U指*k+[lcm(XYZ指)*m4+2]/U指]
*a^[lcm(XYZU指)/U指*k+Y指*Z指/gcd(XYZ指)*m5]
*b^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Z指/gcd(XYZ指)*m6]
*c^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Y指/gcd(XYZ指)*m7]
*d^[lcm(XYZU指)/U指*k+[lcm(XYZ指)*m8-1]/U指]

其中，n、m、p、q为正整数，k为0或正整数，p＞m,  p>q
lcm——最大公倍数；gcd——最小公约数。
本例之中，gcd(XYZU指)、gcd(YZU指)、gcd(XZU指)、gcd(XYU指)、gcd(YZU指)都等于1。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-28 13:27
带系数函数型丢番图不定方程解结构探讨
解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(4n+3)
其中 ...

老师的理论太深奥了，学生我慢慢的学习。