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楼主: lusishun

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发表于 2022-12-30 15:59 | 显示全部楼层
费尔马1 发表于 2022-12-30 14:10
经检验,XYZW的值不满足方程(XYZ)^3 +(YZW)^3 +(ZWX)^3=(WXY)^3
但是满足方程X^3 +Y^3 +Z^3=W^3 ...

鲁、程解的区别与统一:杨对鲁给出的第2解进行检验:
由X=570,
Y=3420,
Z=540,
W=1026

约化得X=95=5*19
Y=570=2*3*5*19
Z=90=2*3*3*5
W=171=3*3*19

XYZ=2^2*3^3*5^3*19^2=(2^1*3^3*5^2*19^2)*10
YZW=2^2*3^5*5^2*19^2=(2^1*3^3*5^2*19^2)*18
ZWX=2^1*3^4*5^2*19^2=(2^1*3^3*5^2*19^2)*3
WXY=2^1*3^3*5^2*19^3=(2^1*3^3*5^2*19^2)*19

XYZ=K*10
YZW=K*18
ZWX=K*3
WXY=K*19

XYZ^3=K^3*10^3
YZW^3=K^3*18^3
ZWX^3=K^3*3^3
WXY^3=K^3*19^3

(XYZ)^3 +(YZW)^3 +(ZWX)^3=K^3*(1000+5832+27)=K^3*6859=K^*19^3=(WXY)^3
检验正确。

程的解是:
X=1052676000=M*10
Y=1894816800=M*18
Z=315802800=M*3
W=2000084400=M*19
它是X^3+Y^3+Z^3=W^3的解。

鲁的解是:
X=570=57*10
Y=3420=190*18
Z=540=180*3
W=1026=54*19
它不是X^3+Y^3+Z^3=W^3的解。

点评

杨老师是累了,我睡了两天。  发表于 2023-1-1 17:55
赞  发表于 2022-12-30 16:11
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 楼主| 发表于 2022-12-30 16:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 lusishun 于 2022-12-30 10:07 编辑
lusishun 发表于 2022-12-30 04:44
可以猜想:n=4时
(XYZ)^4 +(YXW)^ 4 +(ZWX)^4 =(WXZ)^4
有正整数解,


假设a,b,c,d是X^4+Y^4 +Z^4=W^4的一组解,
则方程:(XYZ)^4 +(YZW )^4 +(ZXY)^4=(WXY)^4的一组解是:
(待续)

点评

我就是说这个意思  发表于 2022-12-30 17:55
不是破题,(XYZ)^4 +(YZW )^4 +(ZXY)^4=(WXY)^4 就是2*(XYZ)^4 +(YZW )^4=(WXY)^4耶!  发表于 2022-12-30 17:10
这是什么破题?你自己不先看看?  发表于 2022-12-30 16:39
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 楼主| 发表于 2022-12-30 16:40 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2022-12-30 08:28
假设a,b,c,d是X^4+Y^4 +Z^4=W^4的一组解,
则方程:(XYZ)^4 +(YZW )^4 +(ZXY)^4=(WXY^4的一组 ...

续上:
X=bcd,
Y=acd,
Z=abd,
W=abc.
网友可验算。
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发表于 2022-12-30 16:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-30 17:13 编辑

A003828
Numbers n such that n^4 is a primitive sum of 3 positive fourth powers.
数字 n 使得 n^4 是 3 个正四次方的原始和。n^4=a^4+b^4+c^4
422481, 2813001, 8707481, 12197457, 16003017, 16430513, 20615673, 44310257, 68711097, 117112081, 145087793, 156646737, 589845921, 638523249, 873822121, 1259768473, 1679142729, 1787882337, 1871713857

The smallest solutions to a^4 + b^4 + c^4 = n^4 are (a,b,c,n) =
95800 217519 414560 422481 (Roger Frye)
673865 1390400 2767624 2813001 (Allan MacLeod)
1705575 5507880 8332208 8707481 (D. J. Bernstein)
5870000 8282543 11289040 12197457 (D. J. Bernstein)
4479031 12552200 14173720 16003017 (D. J. Bernstein)
3642840 7028600 16281009 16430513 (D. J. Bernstein)
2682440 15365639 18796760 20615673 (Noam Elkies)
2164632 31669120 41084175 44310257 (Robert Gerbicz)
10409096 42878560 65932985 68711097 (Robert Gerbicz)
34918520 87865617 106161120 117112081 (Robert Gerbicz)
1841160 121952168 122055375 145087793 (Juergen Rathmann)
27450160 108644015 146627384 156646737 (Juergen Rathmann)
186668000 260052385 582665296 589845921 (Seiji Tomita)
219076465 275156240 630662624 638523249 (Allan MacLeod)
558424440 606710871 769321280 873822121 (Robert Gerbicz, Leonid Durman, Yuri Radaev, Alexey Zubkov)
588903336 859396455 1166705840 1259768473 (Robert Gerbicz, Leonid Durman, Yuri Radaev, Alexey Zubkov)
50237800 632671960 1670617271 1679142729 (Seiji Tomita)
686398000 1237796960 1662997663 1787882337 (Robert Gerbicz, Leonid Durman, Yuri Radaev, Alexey Zubkov)
92622401 1553556440 1593513080 1871713857 (Robert Gerbicz, Leonid Durman, Yuri Radaev, Alexey Zubkov)
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发表于 2022-12-30 17:31 | 显示全部楼层
由1^2+2^2+2^2=3^2导出了(xyz)^2+(yzw)^2+(zwx)^2=(wxy)^2的一个特解xyzw=3,3,2,6;

由3^3+10^3+18^3=19^3导出了(xyz)^3+(yzw)^3+(zwx)^3=(wxy)^3的一个特解xyzw=570,3420,540,1260;

请由95800^4+217519^4+414560^4=422481^4导出(xyz)^4+(yzw)^4+(zwx)^4=(wxy)^4的一个特解!

点评

啊,刚发现这里有我下边求的那组解啊,  发表于 2023-1-1 09:08
好,今天试一试  发表于 2023-1-1 09:06
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 楼主| 发表于 2022-12-30 18:06 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2022-12-30 09:31
由1^2+2^2+2^2=3^2导出了(xyz)^2+(yzw)^2+(zwx)^2=(wxy)^2的一个特解xyzw=3,3,2,6;

由3^3+10^3+18^3=19^ ...

X=217519·414560·422481.
Y =95800·414560·422481.
Z =95800·217519·422481.
W =95800·217519·414560.
是(XYZ)^4 +(YZW)^4 +(ZWX)^4 =(WXY)^4
的一组正整数解.
(还没有检验,没有验证)

点评

W=217519·414560·422481. X =95800·414560·422481. Y =95800·217519·422481. Z =95800·217519·414560.  发表于 2022-12-30 18:33
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 楼主| 发表于 2022-12-30 20:30 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2022-12-30 08:28
假设a,b,c,d是X^4+Y^4 +Z^4=W^4的一组解,
则方程:(XYZ)^4 +(YZW )^4 +(ZXY)^4=(WXY)^4的 ...

订正:(XYZ)^4 +(YZW)^4 +(ZWX)^4=(WXY)^4

点评

为什么更正回去?解一解错题怎么样?  发表于 2022-12-31 00:59
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发表于 2022-12-31 00:58 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2022-12-30 16:40
续上:
X=bcd,
Y=acd,

X=bcd,Y=acd,Z=abd,W=abc.
XYZ=aabbccddd,  ^4=(abcd)^8*d^4;YZW=aaabbccdd, ^4=(abcd)^8*a^4;
ZWX=aabbbccdd, ^4=(abcd)^8*b^4;WXY=aabbcccdd, ^4=(abcd)^8*c^4。
(XYZ)^4+(YZW)^4+(ZWX)^4=(abcd)^8*(d^4+a^4+b^4)  ≠  (abcd)^8*c^4=(WXY)^4;
不相等,串套了!改为W=bcd,X=acd,Y=abd,Z=abc还差不多。

点评

这样可得无数多组解  发表于 2023-1-1 21:11
把XYZW各个数前边可也同时乘以K,  发表于 2023-1-1 21:10
上边的答案,您订正的对:您辛苦了。由 X^4+Y^4+Z^4=w^4的一组解,就可以求出(XYZ)^4+(YZW)^4+(ZWX)^4=(wXY)^4的一组解  发表于 2023-1-1 21:08
是的,W=doc,,X=dac,Y=dab,Z=abc  发表于 2023-1-1 21:00
今晚要研究这里您的指点  发表于 2023-1-1 18:00
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发表于 2022-12-31 01:06 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2022-12-30 20:30
订正:(XYZ)^4 +(YZW)^4 +(ZWX)^4=(WXY)^4

假设a,b,c,d是X^n+Y^n +Z^n=W^n的一组解,
则方程:(XYZ)^n +(YZW )^n +(ZXY)^n=(WXY)^n的一组解是
W=bcd,X=acd,Y=abd,Z=abc,对不对?

点评

必须有具体数字进行检验 我手边没有这方面的资料  发表于 2022-12-31 06:03
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发表于 2022-12-31 07:23 | 显示全部楼层
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
----+----------------------------------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7 8
2 | 1 5 3 2 4 3 4 4
3 | 1 0 6 7 4 3 5 2
4 | 1 0 422481 353 5 3 9 13
5 | 1 0 ? 144 72 12 23 14
6 | 1 0 ? ? ? ? 1141 251
7 | 1 0 ? ? ? ? 568 102
8 | 1 0 ? ? ? ? ? 1409
2个整数的2次方和等于1个整数的2次方有整数解(勾股定理);
2个整数的3,4……次方和等于1个整数的3,4……次方无整数解(费马大定理);
3个整数的2,3,4次方和等于1个整数的2,3,4次方有整数解;
3个整数的5,6……次方和等于1个整数的5,6……次方可能有整数解,但非常大,至今无人找到;
4个整数的2,3,4,5次方和等于1个整数的2,3,4,5次方有整数解;
4个整数的6,7……次方和等于1个整数的6,7……次方可能有整数解,但非常大,至今无人找到;
表中的“?”大概就是这个意义。

点评

总结的好,  发表于 2022-12-31 07:34
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\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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