有解就亮出来

yangchuanju

费尔马1的大勾股数方程通解分析：
（A^2）^2+（B^3）^2=（C^5）^2
即A^4+B^6=C^10
A=256*uv*(u^4-v^4)^(15k+10)*(u^4+v^4)^(15k+12)
B=32*(u^4-v^4)^(10k+7)*(u^4+v^4)^(10k+8)
C=8*(u^4-v^4)^(6k+4)*(u^4+v^4)^(6k+5)
其中，u、v为正整数，u＞v，k为0或正整数。

令弦等于u^4+v^4，股等于u^4-v^4，
则勾等于[(u^4+v^4)^2-(u^4-v^4)^2]^0.5=[4*u^4*v^4]^0.5=2*u^2*v^2。
u\v        1        2        3        4        5
u^4-v^4                                       
2        15                              
3        80        65                       
4        255        240        175               
5        624        609        544        369      
6        1295        1280        1215        1040        671
u^4+v^4                                       
2        17                              
3        82        97                       
4        257        272        337               
5        626        641        706        881      
6        1297        1312        1377        1552        1921
2u^2*v^2                                       
2        8                              
3        18        72                       
4        32        128        288               
5        50        200        450        800      
6        72        288        648        1152        1800
2u^2*v^2,  u^4-v^4,  u^4+v^4是一组勾股数；但都不是平方数。
2u^2*v^2不是完全平方数，乘以2方是完全平方数。

费尔马令A=256*uv……，A^4=2^32*uv*……=2^30*……*4*u^4*v^4
B=32*……，B^6=2^30*……
C=8*……，C^10=2^30*……
将A^4,  B^6,  C^10写完整，再将三项中底数和指数都相同的部分去掉，
三项中分别剩余(2u^2*v^2)^2,  (u^4-v^4)^2,  (u^4+v^4)^2因子各一个；
它们的三个底数是一组勾股数。

另外如果将BC中的32和8去掉，A中的256uv改为√2*uv，则A^4=4u^4*v^4*……是一个完全平方数了，
为圆整非整数的√2，费尔马在ABC中分别添加了因数256,32,8；4,6,10次方后变成2^32,2^30,2^30；
其中A^4项多出一个4，再乘以u^4*v^4并开平方，最终2u^2*v^2与u^4-v^4和u^4+v^4形成一组勾股数！
注意：A^4+B^6=C^10的通解的3个底数是一组勾股数，非通解是勾股数耶！

yangchuanju

费尔马1的大勾股数方程通解分析：
（3）746496A^4+262144B^6=186624C^10
A=4096*(u^6-v^6)^(15k+8)*(u^6+v^6)^(15k+12)
B=384*uv*(u^6-v^6)^(10k+5)*(u^6+v^6)^(10k+8)
C=32*(u^6-v^6)^(6k+3)*(u^6+v^6)^(6k+5)
其中，u、v为正整数，u＞v，k为0或正整数。
提示：2^10=1024
3^6=729
4^4=256
例，2^10*3^6=746496

746496=2^10*3^6
262144=2^18
186624=2^8*3^6

通解周期部分系数：15,10,6=lcm(4,6,10)/4,/6,/10
底数u^6-v^6的非周期数：8=[lcm(6,10)*1+2]/4
5=lcm(6,10)*1/6
3=lcm(6,10)*1/10
底数u^6+v^6的非周期数：12=lcm(4,6)*4/4
8=lcm(4,6)*4/6
5=[lcm(4,6)*4+2]/10

[(u^6+v^6)^2-(u^6-v^6)^2]^0.5=[4u^6*v^6}^0.5=2u^3*v^3
分别以(u^6-v^6)和(u^6+v^6)为底数的话，另一个底数应是2u^3*v^3；
B=384uv=128*3*uv*……=2^7*3*uv*……
B^3=2^21*3^3*u^3*v^3*……，B^6=2^42*3^6*u^6*v^6*……
262144B^6=2^60*3^6*u^6*v^6*……
A=4096*……=2^12*……
A^4=2^48*……
746496A^4=2^58*3^6*……
C=32*……=2^5*……
C^10=2^50*……
186624C^10=2^58*3^6*……
第二项与第一、第三项相比，去掉同次部分，剩余2^2*u^6*v^6=(2u^3*v^3)^2

A的另两个底数的指数分别为8和12；4次方后指数分别为32和48；
B的另两个底数的指数分别为5和8；6次方后指数分别为30和48；
C的另两个底数的指数分别为3和5；10次方后指数分别为30和50；
前面乘上常数或uv不影响后二底数的指数，故
去掉各个底数的同次指数后，第一项仅剩余(u^6-v^6)^2；第三项仅剩余(u^6+v^6)^2；
三个底数u^6-v^6,  2u^3*v^3,  u^6+v^6为一组勾股数。

这是又一种凑指数方法，因B项指数是6=2*3，需用uv的6次方和差凑指数；
而方程A^4+B^6=C^10凑的是指数等于4的，故用了uv的4次方和差来凑的。

yangchuanju

解丢番图方程：
（1）108A^2+300B^2=675C^2
108=2^2*3^3=4^1*3^3
300=2^2*3*5^2=4^1*3*5^2
675=3^3*5^2
采用鲁思顺凑指数法，取3个底数分别为3,4,5：
令A中的3的指数是m，则A^2中的3的指数是2m，108A^2中的3的指数是2m+3；
B中的3的指数是n，则B^2中的3的指数是2n，300B ^2中的3的指数是2n+1；
C中的3的指数是k，则C^2中的3的指数是2k，675C^2中的3的指数是2k+3；
令m=2，n=2，k=1，三项中的3的指数分别为7,5,5。

令A中的4的指数是m，则A^2中的4的指数是2m，108A^2中的4的指数是2m+1；
B中的4的指数是n，则B^2中的4的指数是2n，300B ^2中的4的指数是2n+1；
C中的4的指数是k，则C^2中的4的指数是2k，675C^2中的4的指数是2k；
令m=1，n=2，k=1.5，三项中的4的指数分别为3,5,3；4^1.5=2^3。

令A中的5的指数是m，则A^2中的5的指数是2m，108A^2中的5的指数是2m；
B中的5的指数是n，则B^2中的5的指数是2n，300B ^2中的5的指数是2n+2；
C中的5的指数是k，则C^2中的5的指数是2k，675C^2中的5的指数是2k+2；
令m=2，n=1，k=2，三项中的5的指数分别为4,4,6。

综合到一起，A=3^2*4^1*5^2,  B=3^2*4^2*5^1,  C=3^1*4^1.5*5^2；
A^2=3^4*4^2*5^4,  B^2=3^4*4^4*5^2,  C^2=3^2*4^3*5^4；
108A^2=3^7*4^3*5^4,  300B^2=3^5*4^5*5^4,  675C^2=3^5*4^3*5^6；
108A^2=(3^5*4^3*5^4)*3^2,  300B^2=(3^5*4^3*5^4)*4^2,  675C^2=(3^5*4^3*5^4)*5^2；
108A^2+300B^2=675C^2
方程的一组特解是：A=900，B=720，C=600。
验：
108A^2=87480000
300B^2=155520000
675C^2=243000000
108A^2+300B^2=675C^2
将3个底数换成另一组勾股数，可得另一组特解。

yangchuanju

解丢番图方程：
（2）3136A^2+1089B^2=4225C^2
3136=2^6*7^2=56^2
1089=3^2*11^2=33^2
4225=5^2*13^2=65^2
56,33,65是一组勾股数。
采用鲁思顺凑指数法，取3个底数分别为33,56,65：
令A中的33的指数是m，则A^2中的33的指数是2m，3136A^2中的33的指数是2m；
B中的33的指数是n，则B^2中的33的指数是2n，1089B ^2中的33的指数是2n+2；
C中的33的指数是k，则C^2中的33的指数是2k，4225C^2中的33的指数是2k；
令m=1，n=1，k=1，三项中的33的指数分别为2,4,2。

令A中的56的指数是m，则A^2中的56的指数是2m，3136A^2中的56的指数是2m+2；
B中的56的指数是n，则B^2中的56的指数是2n，1089B ^2中的56的指数是2n；
C中的56的指数是k，则C^2中的56的指数是2k，4225C^2中的56的指数是2k；
令m=1，n=1，k=1，三项中的56的指数分别为4,2,2。

令A中的65的指数是m，则A^2中的65的指数是2m，3136A^2中的65的指数是2m；
B中的65的指数是n，则B^2中的65的指数是2n，1089B ^2中的65的指数是2n；
C中的65的指数是k，则C^2中的65的指数是2k，4225C^2中的65的指数是2k+2；
令m=1，n=1，k=1，三项中的65的指数分别为2,2,4。

综合到一起，A=33*56*65,  B=33*56*65,  C=33*56*65；
A^2=33^2*56^2*65^2,  B^2=33^2*56^2*65^2,  C^2=33^2*56^2*65^2；
3136A^2=(33^2*56^2*65^2)*56^2,  
1089B^2=(33^2*56^2*65^2)*33^2,  
4225C^2=(33^2*56^2*65^2)*65^2；
3136A^2+1089B^2=4225C^2
方程的一组特解是：A=B=C=120120。

错了，错了！
本题的3个系数是一组勾股数，不论ABC取什么值，只要ABC相等，方程就成立！
类似的，9A^2+16B^2=25C^2、25A^2+144B^2=169C^2也是这样！

白新岭

yangchuanju 发表于 2023-1-9 18:38
解丢番图方程：
（2）3136A^2+1089B^2=4225C^2
3136=2^6*7^2=56^2

您的领悟能力是超长的，我有一句经典评语：字里行间有真谛，先生摸把白师启！这里的先生就是志交数学中国网友，杨传菊先生，您的每次发表都是我的启发。之所以，不敢让你跟帖，就是担心书还没有出版，就被您消化成已有的数学工具，我心里矛盾，我即想把我的合成方法论早日公布出去，有怕自己的劳动成果被他人窃取。这种心里矛盾，与斗争，始终解不开。
       在某一天，我查了著作权法，无论发表是否，都受著作权法保护，我这才敢发在数学中国网站，但是还有一点自己的小九九，发表归发表，核心内容仍就没有公布，只公布最终结果，可以有优美的数学公式，有最重要的过程，步骤，但是缺少导引与序言，就是一个无头案，我不公布，任何人就理解不了。
        在每个这样的帖子中，都有这句话：对本楼不宜解释，请见谅。

yangchuanju

解丢番图方程：
（4）11A^2+44B^2=99C^2
改一下
A^2+4B^2=9C^2
A^2+(2B)^2=(3C)^2
勾股数都是奇+偶=奇
弦是3倍数的勾股数都是本题之解。

解丢番图方程：
（5）2A^2+8B^2=18C^2
改一下
A^2+4B^2=9C^2
A^2+(2B)^2=(3C)^2
勾股数都是奇+偶=奇
弦是3倍数的勾股数都是本题之解。

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-8 23:24
凑指（数）法的意义，我估计比哥德巴赫猜想的证明还有更大的社会意义。

在杨先生的这里，不定方程的探索，比哥德巴赫猜想的探索，更有意义，对社会的意义，哥猜证明与不证明意义只是一个故事，而不定方程的解法，对于社会后来者的兴趣，爱好都具有一定的启迪作用。

lusishun

数学论坛，数学古刹，
数学爱好者，现代数学僧人也。

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-1-11 14:24
在杨先生的这里，不定方程的探索，比哥德巴赫猜想的探索，更有意义，对社会的意义，哥猜证明与不证明意义 ...

解丢番图方程：
（6）2916A^4+64B^6=46656C^10
2916=4*3^6
64=2^6
46656=2^6*3^6=6^6
仿费尔马的解法
[(u^4+v^4)^2-(u^4-v^4)^2]^0.5=[4u^4*v^4}^0.5=2u^2*v^2
分别以(u^4-v^4)和(u^4+v^4)为底数的话，另一个底数应是2u^2*v^2；
A=ka*2*uv*……，A^2=ka^2*2^2*u^2*v^2*……，
A^4=ka^4*2^4*u^4*v^4*……，2916A^4=ka^4*2^4*3^6*u^4*v^4*……；
B=kb*……，B^3=kb^3*……，
B^6=kb^6*……，64B^6=kb^6*2^6*……;
C=kc*……，C^5=kc^5*……，
C^10=kc^10*……，46656C^10=kc^10*2^6*3^6*……;
第二项中没有素因子3，令kb=3，则64B^6=2^6*3^6*……；
在第一项中令ka=2，则2916A^4=2^6*3^6*(2u^2*v^2)^2；
在第三项中令kc=1，则46656C^10=2^6*3^6*……；
三项中都有2^6*3^6，另外第一项中尚有一项(2u^2*v^2)^2。
在第二项中应多出一个因子u^4-v^4；
第三项中应多出一个因子u^4+v^4；以便形成一组勾股数。

通解周期部分系数：15,10,6=lcm(4,6,10)/4，/6，/10
底数u^4-v^4的非周期数：10=[lcm(4,10)*2]/4
7=(lcm(4,10)*2+2)/6
4=lcm(4,10)*2/10
底数u^4+v^4的非周期数：12=lcm(4,6)*4/4
8=lcm(4,6)*4/6
5=[lcm(4,6)*4+2]/10
令通解为：
A=2uv*(u^4-v^4)^(15k+10)*(u^4+v^4)^(15k+12)
B=3*(u^4-v^4)^(10k+7)*(u^4+v^4)^(10k+8)
C=(u^4-v^4)^(6k+4)*(u^4+v^4)^(6k+5)
通解中u和v为大于等于2的正整数，且u>v；k为0或正整数。
检验略。

至此，费尔马《较简》中的6个丢番图方程全部解出。

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-6 22:59
这个解法，我就毫不客气，自吹为鲁思顺凑指数法。
简称凑指法。

回顾三十七年来，从发表《2^k+2^k=2^（k+1）的应用与启示》，开始对高次丢番图方程的探索，
这种解法，称作：凑指凑底法，最为准确。