先看费马大定理的3次幂

费尔马1

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yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-15 17:34
，，，，

网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
----+----------------------------------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7 8
2 | 1 5 3 2 4 3 4 4
3 | 1 0 6 7 4 3 5 2
4 | 1 0 422481 353 5 3 9 13
5 | 1 0 ? 144 72 12 23 14
6 | 1 0 ? ? ? ? 1141 251
7 | 1 0 ? ? ? ? 568 102
8 | 1 0 ? ? ? ? ? 1409
横着看
当k=1时，b=a1+a2+…+an之b最小数是1,2,3,3,4,5,6,7,8，……；见表中第2行的各个数字；
当k=2时，b^2=a1^2+a2^2+…+an^2之b最小数是1,5,3,2,4,3,4,4……；见表中第3行的各个数字；
5——5^2=4^2+3^2；3——3^2=2^2+2^2+1^2；2——2^2=1^2+1^2+1^2+1^2；4——4^2=3^2+2^2+1^2+1^1+1^2；……
当k=3时，b^3=a1^3+a2^3+…+an^3之b最小数是1,0,6,7,4,3,5,2……；见表中第4行的各个数字；
其中的1表示b^3=a1^3，最小底数b=1；0表示不存在b^3=a1^3+a2^2之b；6表示6^3=3^3+4^3+5^3；……
竖着看
当n=1时，b^k=a1^k之最小底数b都是1，见表中第2列；
当n=2时，只有b^1和b^2有解，其中2表示2^1=1^1+1^1；5表示5^2=4^2+3^2；以下的各个0表示当指数k≥3时不存在b^k=a1^k+a2^k；见表中第3列；
当n=3时，见表中第4列数字3,3,6,422481，？，？，……
第1个3——3=1+1+1；第2个3——3^2=2^2+2^2+1^2；6——6^3=3^3+4^3+5^3；422481——422481^4=95800^4+217519^4+414560^4；……
各个问号“？”表示存在b^k=a1^k+a2^k+…+an^k这样的数字解，但没有找到这样的数值，连最小的也未曾找到。
第5列中的353表示最小的一组编号为4.1.4的丢番图方程是353^4=30^4+120^4+272^4+315^4；
第5列中的144表示最小的一组编号为5.1.4的丢番图方程是144^5=27^5+84^5+110^5+133^5；
第6列中的72表示最小的一组编号为5.1.5的丢番图方程是72^5=19^5+43^5+46^5+47^5+67^5。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-15 18:59
网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
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非常棒！
三项和及以上者高次不定方程个个有正整数解。
二项和不定方程有正整数解或无正整数解。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-1-15 18:59
网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
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22楼数据表的左上至右下之斜线
1,5,6,353,72，？，568,1409
1^1 = 1^1.
5^2 = 3^2 + 4^2.
6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3.
353^4 = 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4.
72^5 = 19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5.
a(6) 为 0（无解）或大于 730000
568^7 = 127^7 + 258^7 + 266^7 + 413^7 + 430^7 + 439^7 + 525^7.
1409^8 = 90^8 + 223^8 + 478^8 + 524^8 + 748^8 + 1088^8 + 1190^8 + 1324^8.