真正的大题在这里啊

费尔马1

。。。。

王守恩

\(\displaystyle\frac{\big(2^{(3*2^{2n}+2^{n+2}+1)k+3*2^{2n-1}+2^{n-1}}\big)^{2^{n+1}+1}+\big(2^{(2^{2n+1}+3*2^{n}+1)k+2^{2n}+2^{n-1}}\big)^{3*2^{n}+1}}{\big(2^{(3*2^{2n+1}+5*2^{n}+1)k+3*2^{2n}-2^{n-1}+1}\big)^{2^{n}+1}}=1\)

时空伴随者

n=0时
2023-02-17 10:16:58
\(2^3 + 1^4 = 3^2\)
\(6^3 + 5^4 = 29^2\)
\(15^3 + 7^4 = 76^2\)
\(42^3 + 17^4 = 397^2\)
\(954^3 + 545^4 = 298483^2\)
\(1417^3 + 804^4 = 648613^2\)
\(2262^3 + 307^4 = 143027^2\)
\(3135^3 + 97^4 = 175784^2\)
\(4959^3 + 2981^4 = 8893220^2\)
用时 9.98202 秒

费尔马1

时空伴随者 发表于 2023-2-17 10:16
n=0时
2023-02-17 10:16:58
\(2^3 + 1^4 = 3^2\)

老师的解非常棒！是互质解，这样的解，学生不会啊。
由此得出结论：二项和方程的三个指数，其中一个指数是2，就存在互质解，与比尔猜想不矛盾。

王守恩

费尔马1 发表于 2023-2-17 17:41
老师的解非常棒！是互质解，这样的解，学生不会啊。
由此得出结论：二项和方程的三个指数，其中一个指数 ...

二项和方程:\(x^a+y^b=z^c\)

三个指数:a, b, c

其中一个指数是2，就存在互质解，与比尔猜想不矛盾。

4+4=2, 2+4=4
6+6=2, 2+6=6
8+8=2, 2+8=8
10+10=2, 2+10=10
12+12=2, 2+12=12
......

2+3=6, 2+6=3,
2+4=8, 2+8=4, 4+8=2,
2+6=9, 2+9=6,  
2+4=10, 2+10=4, 4+10=2,
2+5=10, 2+10=5, 5+10=2,
2+6=10, 2+10=6, 6+10=2,
2+8=10, 2+10=8, 8+10=2,
2+03=12, 2+12=03, 03+12=2,
2+04=12, 2+12=04, 04+12=2,
2+06=12, 2+12=06, 06+12=2,
2+08=12, 2+12=08, 08+12=2,
2+09=12, 2+12=09, 09+12=2,
2+10=12, 2+12=10, 10+12=2,
......
能在这些数组里，找一个有解的吗？

谢谢费尔马！

费尔马1

王守恩 发表于 2023-2-18 17:09
二项和方程:\(x^a+y^b=z^c\)

三个指数:a, b, c

4+4=2, 2+4=4
6+6=2, 2+6=6
8+8=2, 2+8=8
10+10=2, 2+10=10
12+12=2, 2+12=12
......
以上都无解。
2+3=6, 2+6=3, 无
2+4=8, 2+8=4, 4+8=2, 无
2+6=9, 2+9=6,  无
2+4=10, 2+10=4, 4+10=2, 有
2+5=10, 2+10=5, 5+10=2, 无
2+6=10, 2+10=6, 6+10=2,有
2+8=10, 2+10=8, 8+10=2, 有
2+03=12, 2+12=03, 03+12=2, 无
2+04=12, 2+12=04, 04+12=2, 无
2+06=12, 2+12=06, 06+12=2,无
2+08=12, 2+12=08, 08+12=2, 无
2+09=12, 2+12=09, 09+12=2, 无
2+10=12, 2+12=10, 10+12=2,有
......
以上答案仅是学生的观点，还望老师指点。谢谢老师！

时空伴随者

2023-02-23 15:24:11
equation: \(x^{3}+y^{4}=z^{2}\)
\(((v^{2}-u^{4})^{3}k^{4})^{3}+(u(v^{2}-u^{4})^{2}k^{3})^{4}=(v(v^{2}-u^{4})^{4}k^{6})^{2}\)
\(v^{2}>u^{4},u,v,k∈Z^+\)
equation: \(x^{5}+y^{7}=z^{3}\)
\(((v^{3}-u^{7})^{17}k^{21})^{5}+(u(v^{3}-u^{7})^{12}k^{15})^{7}=(v(v^{3}-u^{7})^{28}k^{35})^{3}\)
\(v^{3}>u^{7},u,v,k∈Z^+\)
\((u(v^{3}-u^{5})^{18}k^{21})^{5}+((v^{3}-u^{5})^{13}k^{15})^{7}=(v(v^{3}-u^{5})^{30}k^{35})^{3}\)
\(v^{3}>u^{5},u,v,k∈Z^+\)
\((u(u^{5}+v^{7})^{7}k^{21})^{5}+(v(u^{5}+v^{7})^{5}k^{15})^{7}=((u^{5}+v^{7})^{12}k^{35})^{3}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
equation: \(x^{9}+y^{13}=z^{5}\)
\(((v^{5}-u^{13})^{29}k^{65})^{9}+(u(v^{5}-u^{13})^{20}k^{45})^{13}=(v(v^{5}-u^{13})^{52}k^{117})^{5}\)
\(v^{5}>u^{13},u,v,k∈Z^+\)
\((u(v^{5}-u^{9})^{10}k^{65})^{9}+((v^{5}-u^{9})^{7}k^{45})^{13}=(v(v^{5}-u^{9})^{18}k^{117})^{5}\)
\(v^{5}>u^{9},u,v,k∈Z^+\)
\((u(u^{9}+v^{13})^{26}k^{65})^{9}+(v(u^{9}+v^{13})^{18}k^{45})^{13}=((u^{9}+v^{13})^{47}k^{117})^{5}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
equation: \(x^{17}+y^{25}=z^{9}\)
\(((v^{9}-u^{25})^{53}k^{225})^{17}+(u(v^{9}-u^{25})^{36}k^{153})^{25}=(v(v^{9}-u^{25})^{100}k^{425})^{9}\)
\(v^{9}>u^{25},u,v,k∈Z^+\)
\((u(v^{9}-u^{17})^{72}k^{225})^{17}+((v^{9}-u^{17})^{49}k^{153})^{25}=(v(v^{9}-u^{17})^{136}k^{425})^{9}\)
\(v^{9}>u^{17},u,v,k∈Z^+\)
\((u(u^{17}+v^{25})^{100}k^{225})^{17}+(v(u^{17}+v^{25})^{68}k^{153})^{25}=((u^{17}+v^{25})^{189}k^{425})^{9}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
equation: \(x^{33}+y^{49}=z^{17}\)
\(((v^{17}-u^{49})^{101}k^{833})^{33}+(u(v^{17}-u^{49})^{68}k^{561})^{49}=(v(v^{17}-u^{49})^{196}k^{1617})^{17}\)
\(v^{17}>u^{49},u,v,k∈Z^+\)
\((u(v^{17}-u^{33})^{340}k^{833})^{33}+((v^{17}-u^{33})^{229}k^{561})^{49}=(v(v^{17}-u^{33})^{660}k^{1617})^{17}\)
\(v^{17}>u^{33},u,v,k∈Z^+\)
\((u(u^{33}+v^{49})^{392}k^{833})^{33}+(v(u^{33}+v^{49})^{264}k^{561})^{49}=((u^{33}+v^{49})^{761}k^{1617})^{17}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
equation: \(x^{65}+y^{97}=z^{33}\)
\(((v^{33}-u^{97})^{197}k^{3201})^{65}+(u(v^{33}-u^{97})^{132}k^{2145})^{97}=(v(v^{33}-u^{97})^{388}k^{6305})^{33}\)
\(v^{33}>u^{97},u,v,k∈Z^+\)
\((u(v^{33}-u^{65})^{1452}k^{3201})^{65}+((v^{33}-u^{65})^{973}k^{2145})^{97}=(v(v^{33}-u^{65})^{2860}k^{6305})^{33}\)
\(v^{33}>u^{65},u,v,k∈Z^+\)
\((u(u^{65}+v^{97})^{1552}k^{3201})^{65}+(v(u^{65}+v^{97})^{1040}k^{2145})^{97}=((u^{65}+v^{97})^{3057}k^{6305})^{33}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
equation: \(x^{129}+y^{193}=z^{65}\)
\(((v^{65}-u^{193})^{389}k^{12545})^{129}+(u(v^{65}-u^{193})^{260}k^{8385})^{193}=(v(v^{65}-u^{193})^{772}k^{24897})^{65}\)
\(v^{65}>u^{193},u,v,k∈Z^+\)
\((u(v^{65}-u^{129})^{5980}k^{12545})^{129}+((v^{65}-u^{129})^{3997}k^{8385})^{193}=(v(v^{65}-u^{129})^{11868}k^{24897})^{65}\)
\(v^{65}>u^{129},u,v,k∈Z^+\)
\((u(u^{129}+v^{193})^{6176}k^{12545})^{129}+(v(u^{129}+v^{193})^{4128}k^{8385})^{193}=((u^{129}+v^{193})^{12257}k^{24897})^{65}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
equation: \(x^{257}+y^{385}=z^{129}\)
\(((v^{129}-u^{385})^{773}k^{49665})^{257}+(u(v^{129}-u^{385})^{516}k^{33153})^{385}=(v(v^{129}-u^{385})^{1540}k^{98945})^{129}\)
\(v^{129}>u^{385},u,v,k∈Z^+\)
\((u(v^{129}-u^{257})^{24252}k^{49665})^{257}+((v^{129}-u^{257})^{16189}k^{33153})^{385}=(v(v^{129}-u^{257})^{48316}k^{98945})^{129}\)
\(v^{129}>u^{257},u,v,k∈Z^+\)
\((u(u^{257}+v^{385})^{24640}k^{49665})^{257}+(v(u^{257}+v^{385})^{16448}k^{33153})^{385}=((u^{257}+v^{385})^{49089}k^{98945})^{129}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
equation: \(x^{513}+y^{769}=z^{257}\)
\(((v^{257}-u^{769})^{1541}k^{197633})^{513}+(u(v^{257}-u^{769})^{1028}k^{131841})^{769}=(v(v^{257}-u^{769})^{3076}k^{394497})^{257}\)
\(v^{257}>u^{769},u,v,k∈Z^+\)
\((u(v^{257}-u^{513})^{97660}k^{197633})^{513}+((v^{257}-u^{513})^{65149}k^{131841})^{769}=(v(v^{257}-u^{513})^{194940}k^{394497})^{257}\)
\(v^{257}>u^{513},u,v,k∈Z^+\)
\((u(u^{513}+v^{769})^{98432}k^{197633})^{513}+(v(u^{513}+v^{769})^{65664}k^{131841})^{769}=((u^{513}+v^{769})^{196481}k^{394497})^{257}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
equation: \(x^{1025}+y^{1537}=z^{513}\)
\(((v^{513}-u^{1537})^{3077}k^{788481})^{1025}+(u(v^{513}-u^{1537})^{2052}k^{525825})^{1537}=(v(v^{513}-u^{1537})^{6148}k^{1575425})^{513}\)
\(v^{513}>u^{1537},u,v,k∈Z^+\)
\((u(v^{513}-u^{1025})^{391932}k^{788481})^{1025}+((v^{513}-u^{1025})^{261373}k^{525825})^{1537}=(v(v^{513}-u^{1025})^{783100}k^{1575425})^{513}\)
\(v^{513}>u^{1025},u,v,k∈Z^+\)
\((u(u^{1025}+v^{1537})^{393472}k^{788481})^{1025}+(v(u^{1025}+v^{1537})^{262400}k^{525825})^{1537}=((u^{1025}+v^{1537})^{786177}k^{1575425})^{513}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
用时 0.01562 秒

lusishun

时空伴随者 发表于 2023-2-23 07:27
2023-02-23 15:24:11
equation: \(x^{3}+y^{4}=z^{2}\)
\(((v^{2}-u^{4})^{3}k^{4})^{3}+(u(v^{2}-u^{4}) ...

赞，赞，太牛了

时空伴随者

时空伴随者 发表于 2023-2-23 15:27
2023-02-23 15:24:11
equation: \(x^{3}+y^{4}=z^{2}\)
\(((v^{2}-u^{4})^{3}k^{4})^{3}+(u(v^{2}-u^{4}) ...

根据以上的解析，至少存在三类通解。一楼只是u=v=1时的冰山一角，真正的挑战才刚刚开始：
那位民间数学家能够把这三类通解归纳出来？

王守恩

时空伴随者 发表于 2023-2-25 13:09
根据以上的解析，至少存在三类通解。一楼只是u=v=1时的冰山一角，真正的挑战才刚刚开始：
那位民间数学 ...

\(题目：x^a+y^b=z^c\)

在这里：a,b,c 3个指数各不相同，且任意一个与另外2个的积没有>1的公约数。则：

第1条，有无数个基本解(说法不一致)，

第2条，有无数个比例解(说法不一致)，

第3条，在这些解里面，肯定有一个解是最小的(只能约定 z 是最小的)。

讨论第1, 2条意义不大，建议集中讨论第3条。