函数型丢番图不定方程解结构探讨

费尔马1

解函数不定方程U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)
解：(4n+3)(2n+1)(2n+3)x+1=(2n+2)y
即（16n^3+44n^2+36n+9）x+1=(2n+2)y……………………………………（一）
解得：x=(2n+2)k+2n+1
注：2n+1是最小解，2n+2是方程（一）中y的系数，k是周期数；
y=（16n^3+44n^2+36n+9）k+16n^3+36n^2+22n+5
注：16n^3+36n^2+22n+5是最小解，（16n^3+44n^2+36n+9）是方程（一）中x的系数，k是周期数。
这个知识数学界有，我是跟某本书上学的，辗转相除法也是跟一位幻方大师学习的。取底数法即鲁氏解法是跟鲁思顺老师学习的。

朱明君

，，，，，

费尔马1

A^(4n+3)+B^(2n+1)+C^(2n+3)+D^(4n+5)+E^(6n+7)=F^(2n+2)
解：(4n+3)(2n+1)(2n+3)(4n+5)(6n+7)x+1=(2n+2)y
即（384n^5+1984n^4+3976n^3+3844n^2+1782n+315)x+1=(2n+2)y
解得，x=(2n+2)k+2n+1
y=（384n^5+1984n^4+3976n^3+3844n^2+1782n+315)k+384n^5+1792n^4+3176n^3+2656n^2+1048n+158

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-30 19:22
A^(4n+3)+B^(2n+1)+C^(2n+3)+D^(4n+5)+E^(6n+7)=F^(2n+2)
解：(4n+3)(2n+1)(2n+3)(4n+5)(6n+7)x+1=(2n+2)y ...

对于三元函数型丢番图不定方程
aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)
（方程的3个指数是彼此互素的）程中战老师曾给出一套通解：
X=2^(8n^2+6n-4)
*a^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+11]
*b^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+9]
*c^[(16n^2+28n+12)k+16n^2+20n+4]
*uv
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+8n^2+6n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+16n+16]

Y=2^(8n^2+2n-3)
*a^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+6]
*b^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+4]
*c^[(16n^2+20n+6)k+16n^2+12n+2]
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+8n^2+2n+1]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+16n+8]

Z=2^(4n^2+2n-2)
*a^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+4]
*b^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+3]
*c^[(8n^2+12n+4)k+8n^2+8n+1]
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+4n^2+2n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+8n+6]
其中，n、u、v为正整数，k为0或正整数，u＞v

方程通解中的第1,5,6个底数是一组勾股数，XYZ项中各有一项指数比另两项高2次；
第2,3,4个底数分别是3个系数abc，各有一项指数比另两项低1次，
对这组通解进行检验后知通解正确。
出于好奇，根据通解中的非周期部分反求了通解中的6个乘数（一次二项式sn+t)分别为：
底数        二项式
2uv        2n-2
u^α-v^α        2n
u^α+v^α        0n+8
a        2n+2
b        2n+3
c        8n+2
底数中的α=2n+1       

yangchuanju

前三个底数并非一定要局限于2uv,  u^α-v^α,  u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数，如3,4,5；5,12,13都行。

yangchuanju

看到程老师可将三元函数型丢番图不定方程表示成6个幂数的连乘积形式，
抱着试试看的想法，试图把四元函数型丢番图不定方程表示成8个幂数的连乘积形式，
将程老师方程中cZ^(4n+3)改为dU^(4n+3)，另增加了一项cZ^(2n+3),
试图解出8个乘数，不幸的是只解出6个乘数；
后咨询程老师方知改后的方程4个指数不全互素，部分指数无解。

再用我的程序重求程老师方程中的6个乘数，所求乘数和非周期表达式不尽相同，但都是对的：
底数        程二项式        非周期        杨二项式        非周期
2uv        2n-1        8n^2+6n-4        2n-1        8n^2+6n-4
u-v        2n+0        8n^2+2n+1        2n+0        8n^2+2n+1
u+v        0n+8        0n^2+8n+6        n+0        1n^2+0n+1
a        2n+2        8n^2+18n+11        n+0        4n^2+5n+0
b        2n+3        8n^2+14n+4        n+0        4n^2+1n=0
c        8n+2        8n^2+8n+1        n+2        n^2+2n+2
底数u-v,  u+v中的指数省略未写，都是2n+1.                               
表中系数1和数字0本不应写的，只是为了表格整齐写了，仅起占位符作用。                               

给定不同的s、t，会得到不同的乘数m（一次二项式）和非周期表达式（二次三项式），
但有一个非周期表达式系数最小的，我们一般应取那个系数最小的。
下面是第一个乘数m1（二项式）和非周期表达式（二次三项式）：
二项式        非周期
2n-1        8n^2+6n-4
4n        16n^2+20n+2
5n-1        20n^2=21n-3
6n+1        24n^2+34n+8
比较二人所求非周期表达式，程的4个表达式乘数系数并非最小，但它的表达式系数首项都是8。       

费尔马1

杨老师辛苦了，休息好，把数字当游戏玩玩而已！

朱明君

\(五元毕达哥拉斯数组的所有解:\)
\(4^n十4^n十4^n十4^n=4^{\left( n+1\right)}\)
\(n=2，4^2=2^4，\)
\(n=3，4^3=2^6=8^2，\)
\(n=4，4^4=2^8=16^2，\)
\(n=5，4^5=2^{10}，\)
\(......。\)

朱明君

\(四元毕达哥拉斯数组的所有解:\)
\(3^n十3^n十3^n=3^{\left( n+1\right)}\)
\(n=2，3^2，\)
\(n=3，3^3，\)
\(n=4，3^4=9^2，\)
\(n=5，3^5\)
\(n=6，3^6=27^2，\)
\(......。\)

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-30 20:11
前三个底数并非一定要局限于2uv,  u^α-v^α,  u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数，如3,4,5；5,12,13都 ...

老师您好：
25楼，前三个底数并非一定要局限于2uv,  u^α-v^α,  u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数，如3,4,5；5,12,13都行。
回复：只是uv， u^α-v^α,  u^α+v^α，这是一种解法，只适用于原方程三个指数两两互质，才可解。称为平方差公式法，这种方法只适用二项和方程，也就是您说的三元方程，所得出的解的形式如24楼。
采用无穷降幂法，把其中两个指数降为二次，然后使用平方差公式进行分解因式，再逐项配方，特别是含系数的方程，解题过程非常繁琐。
这种解法与勾股数无关。
学生想，是不是采用这种解法，再加上整体换元法（此法也适用于二项和方程，两个指数同次），来证明费马大定理！？