人生最美方程解

费尔马1

朱明君 发表于 2023-2-3 11:39
实例n=2，代入公式得64^2十16^3=2^13，

老师看看这个题有通解吗？
A^n+B^(n+1)=C^[n^2+(n+1)^2]

lusishun

费尔马1 发表于 2023-2-3 03:54
老师看看这个题有通解吗？
A^n+B^(n+1)=C^[n^2+(n+1)^2]

取n=2，
X^2+Y^3=Z^13.
应该有吧！

lusishun

lusishun 发表于 2023-2-3 04:38
取n=2，
X^2+Y^3=Z^13.
应该有吧！

设a^2+b^3=m，
两边同乘以m^12，
（am^6）^2+（bm^4）^3=m^13，
所以，X=am^6、Y=bm^4，Z=m，
其中m=a^2+b^3，

费尔马1

lusishun 发表于 2023-2-3 12:45
设a^2+b^3=m，
两边同乘以m^12，
（am^6）^2+（bm^4）^3=m^13，

赞！这是一个小通解。
学生的意思是来个大通解。
求其函数解：即答案中含n的解
A^n+B^(n+1)=C^[n^2+(n+1)^2]

朱明君

费尔马1 发表于 2023-2-3 05:12
赞！这是一个小通解。
学生的意思是来个大通解。
求其函数解：即答案中含n的解

通解公式
\(设nx均为任意正整数，\left( 2^n\right)^x=\left( 2^x\right)^n，\) \(2\times\left( 2^n\right)^x=2^{nx+1}，\)  
则\(\left( 2^n\right)^x十\left( 2^n\right)^x=2^{nx+1}\)

费尔马1

lusishun 发表于 2023-2-3 12:45
设a^2+b^3=m，
两边同乘以m^12，
（am^6）^2+（bm^4）^3=m^13，

采用整体换元法解丢番图方程
A^n+B^(n+1)=C^[n^2+(n+1)^2]
移项得C^[n^2+(n+1)^2]- B^(n+1)= A^n
令c^[n^2+(n+1)^2]- b^(n+1)=m………………（一）
（一）        式两边同×m^{[n^2+(n+1)^2](n+1)x}
需[n^2+(n+1)^2](n+1)x+1=ny
解得 x=nk+n-1
y=(2n^3+4n^2+3n+1)k+2n^3+2n^2-n-2
即（一）式两边同×m^{[n^2+(n+1)^2](n+1)( nk+n-1)}
得原不定方程的答案：
A= m^y=m^[(2n^3+4n^2+3n+1)k+2n^3+2n^2-n-2]
B=bm^[(2n^3+2n^2+n)k+2n^3-n-1]
C= c m^[(n^2+n)k+n^2-1]
其中，n、c、a为正整数，m=c^[n^2+(n+1)^2]- b^(n+1)
且m＞0
解于2023-2-3

lusishun

费尔马1 发表于 2023-2-3 03:54
老师看看这个题有通解吗？
A^n+B^(n+1)=C^[n^2+(n+1)^2]

设a^n+b^（n+1）=m，
两边同乘以m^（2n^2+2n），
得【am^（2n+2）】^n+【bm^（2n）】^（n+1）=m^（2n^2+2n+1），
所以：
X=am^（2n+2），
Y=bm^（2n），
Z=m。
其中m=a^n+b^（n+1）

程先生，审核，我现思考的。

费尔马1

鲁氏方法解不定方程：
A^n+B^(n+1)=C^[n^2+(n+1)^2]
n(n+1)x+1=[n^2+(n+1)^2]y
即（n^2+n）x+1=(2n^2+2n+1)y
解得，x=(2n^2+2n+1)k+2  y=（n^2+n）k+1
原不定方程的答案：
A=2 ^[(2n^3+4n^2+3n+1)k+2n+2]
B=2^[(2n^3+2n^2+n)k+2n]
C= 2^[(n^2+n)k+ 1]
其中，n为正整数，k为0或正整数。
解于2023-2-3

费尔马1

28楼，k=0   n=2即是朱老师的解。

费尔马1

27楼，还有周期解。