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yangchuanju

在A004431给出的10000个2平方和数中，有以下9个立方数：
125=5^3=5^2+10^2
1000=10^3=10^2+30^2
2197=13^3=9^2+46^2
4913=17^3=17^2+68^2
8000=20^3=16^2+88^2
15625=25^3=35^2+120^2
17576=26^3=26^2+130^2
24389=29^3=58^2+145^2
39304=34^2=10^2+198^2
请注意，9个立方根数就是网页的前9个平方和数。


在A000404给出的10000个2平方和数中，有以下13个立方数：
8=2^3=2^4+2^2
125=5^3=5^2+10^2
512=8^3=16^2+16^2
1000=10^3=10^2+30^2
2197=13^3=9^2+46^2
4913=17^3=17^2+68^2
5832=18^3=54^2+54^2
8000=20^3=16^2+88^2
15625=25^3=35^2+120^2
17576=26^3=26^2+130^2
24389=29^3=58^2+145^2
32768=32^3=128^2+128^2
39304=34^2=10^2+198^2
请注意，13个立方根数就是网页的前13个平方和数。

yangchuanju

(a^2+b^2)^3=a^6+3a^4*b^2+3a^2*b^4+b^6
=a^6+2a^4*b2+a^2*b^4+a^4*b^2+2a^2*b^4+b^6
=[(a^3)^2+2a^3*(a*b^2)+(a*b^2)^2]+[(a^2*b)^2+2*(a^2*b)*b^3+(b^3)^2]
=[a^3+a*b^2]^2+[a^2*b+b^3]^2
例a=1，b=2，a^2+b^2=5,  5^3=125;
[a^3+a*b^2]^2+[a^2*b+b^3]^2=[1+4]^2+[2+8]^2=5^2+10^2=125。
表面上两个网页给出的是2平方数的和，
深一层探讨以这些2平方和数的立方又可分成两个平方数的和。

时空伴随者

\(935^2+36720^2=1105^3\)  \(1209^2+36712^2=1105^3\)  \(2496^2+36647^2=1105^3\)  \(2865^2+36620^2=1105^3\)  \(4420^2+36465^2=1105^3\)  \(4692^2+36431^2=1105^3\)  \(5967^2+36244^2=1105^3\)  \(6540^2+36145^2=1105^3\)  \(7865^2+35880^2=1105^3\)  \(8432^2+35751^2=1105^3\)  \(9384^2+35513^2=1105^3\)  \(9945^2+35360^2=1105^3\)  \(11440^2+34905^2=1105^3\)  \(11791^2+34788^2=1105^3\)  \(13004^2+34353^2=1105^3\)  \(13260^2+34255^2=1105^3\)  \(14705^2+33660^2=1105^3\)  \(15236^2+33423^2=1105^3\)  \(16399^2+32868^2=1105^3\)  \(16455^2+32840^2=1105^3\)  \(18105^2+31960^2=1105^3\)  \(18343^2+31824^2=1105^3\)  \(19448^2+31161^2=1105^3\)  \(19680^2+31015^2=1105^3\)  \(21060^2+30095^2=1105^3\)  \(21284^2+29937^2=1105^3\)  \(22321^2+29172^2=1105^3\)  \(22780^2+28815^2=1105^3\)  \(23985^2+27820^2=1105^3\)  \(24264^2+27577^2=1105^3\)  \(24992^2+26919^2=1105^3\)  \(25415^2+26520^2=1105^3\)  

lusishun

1105^3=5^3·221^3=5^3·13^3·17^3，
则表为两平方和的种数为：1/2（4·4·4）=32（组）。

lusishun

lusishun 发表于 2023-3-1 06:48
1105^3=5^3·221^3=5^3·13^3·17^3，
则表为两平方和的种数为：1/2（4·4·4）=32（组）。

为什么，与因数的个数的1/2，吻合。大家可以研究研究。
我还没有搞明白。

lusishun

65^3=X^2+Y^2整数解的组数？
（5·13·17·37·41）^3=X^2+Y^2有多少组整数解啊？

蔡家雄

公共弦勾股数的个数公式

它与公共弦c的4x-1 型素数的指数 无关，

均与公共弦c的4x+1型素数的指数 有关，

设公共弦c中有t个4x+1型的素数，

它的指数为r1, r2, ... , rt,

则公共弦勾股数的个数公式为

[(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2

定A勾股数解数及定C勾股数解数，200年前的大数学家Euler 早已发现！

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-3-2 08:05
65^3=X^2+Y^2整数解的组数？
（5·13·17·37·41）^3=X^2+Y^2有多少组整数解啊？

65^3=X^2+Y^2整数解的组数？       
65^3=274625拆分成2平方数和有8种方法（8=4*4/2)：       
（若x,y互换，又有8种）       
7        524
65        520
140        505
191        488
208        481
260        455
320        415
364        377

（5·13·17·37·41）^3=X^2+Y^2有多少组整数解啊？
可能是4^5/2=512种吧？

王守恩

您能求出方程：X^2+Y^2=Z^3的所有解吗？

浅说简单的想法。

1，一个平方数(n^2)，都可以有一个解。

\(n^2+1=n^2+1\Rightarrow(n(n^2+1))^2+(n^2+1)^2=(n^2+1)^3\)

2，一对平方数(a^2,b^2)，都可以有一个解。

\(a^2+b^2=a^2+b^2\Rightarrow(a(a^2+b^2))^2+(b(a^2+b^2))^2=(a^2+b^2)^3\)

3，一个加法算式(a+b=c)，都可能有一个解。

\((a+x)+(b+y-x)=c+y\Rightarrow X^2+Y^2=Z^3\)

王守恩

谢谢 lusishun！挺不错的题目！谢谢 lusishun！

您能求出方程：X^2+Y^2=Z^3的所有解吗？X<Y,

挑战一下：当所有解数恰好=1400时，Z最小=?