哥德巴赫猜想素数对计算方法

yangchuanju · 发表于 2023-4-6 06:21

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-4-6 06:22 编辑

素数对下限值再验证
笔者在11楼曾说：
建议以0.779*c*N/ln(N)^2为单计素数对的下界值，这里不再计及波动系数，偶数12以上全适用。

将0.779与c=0.66016181584…乘起来等于0.514266…，
亦即偶数N的单计素数对下限值可以认为是0.514N/ln(N)^2，（N大于12)；
曾经看到过一些网友的推导和介绍，认为偶数N的单计素数对下限值是1/2*N/ln(N)^2，
折算成双计即为：
偶数N的双计素数对下限值是N/ln(N)^2。
实际计算表明，偶数N只要≥8即可满足R1(N)≥0.514*N/ln(N)，R2(N)≥1.028*N/ln(N)；
采用小一点的系数0.5和1，自然必有，只要偶数N≥8即可满足R1(N)≥1/2*N/ln(N)，R2(N)≥N/ln(N)了。
偶数单哥双哥 1.028*N/ln(N)^2 双哥-1.028*…
2 0 0 4.2793 -4.2793
4 1 1 2.1396 -1.1396
6 1 1 1.9213 -0.9213
8 1 2 1.9019 0.0981
10 2 3 1.9389 1.0611
12 1 2 1.9978 0.0022
14 2 3 2.0664 0.9336
16 2 4 2.1396 1.8604
18 2 4 2.2149 1.7851
20 2 4 2.2910 1.7090
22 3 5 2.3670 2.6330
24 3 6 2.4428 3.5572
26 3 5 2.5179 2.4821
28 2 4 2.5923 1.4077
30 3 6 2.6659 3.3341
32 2 4 2.7387 1.2613
34 4 7 2.8107 4.1893
36 4 8 2.8819 5.1181
38 2 3 2.9522 0.0478
40 3 6 3.0218 2.9782
42 4 8 3.0906 4.9094
44 3 6 3.1586 2.8414
46 4 7 3.2260 3.7740
48 5 10 3.2926 6.7074
50 4 8 3.3586 4.6414
52 3 6 3.4240 2.5760
54 5 10 3.4887 6.5113
56 3 6 3.5528 2.4472
58 4 7 3.6164 3.3836
60 6 12 3.6794 8.3206
62 3 5 3.7419 1.2581
64 5 10 3.8038 6.1962
66 6 12 3.8653 8.1347
68 2 4 3.9263 0.0737

重新建议以N/ln(N)^2为双计素数对的下界值，这里不需计及波动系数，大于等于8的偶数全适用。

yangchuanju · 发表于 2023-4-6 06:29

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-4-6 13:10 编辑

笔者在1楼中的“16、N/ln(N)^2：不计哈李计算式中的2c和波动系数，可认为N/ln(N)^2就是偶数N的哥猜数下限，N≥？。”中适用条件没有给出具体数字，崔坤在2楼给出条件是N≥8，上楼进一步验证了适用条件是N≥8；
进一步还可以在N/ln(N)^2之前加一个略大于1的系数1.028，适用条件N≥8不变。

cuikun-186 · 发表于 2023-4-6 08:31

以N/ln(N)^2为双计素数对的下界值已经是有崔坤的理论证明了，即可放心为盼！

yangchuanju · 发表于 2023-4-6 11:43

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-4-6 11:47 编辑

愚工688 发表于 2023-4-5 10:55
在4月份，我的有关哥德巴赫猜想的论文将会在中国的数学核心刊物上面发表，我的名字会公开。以前有网友问我 ...

愚工688点评这个下限并不可靠。请计算一下偶数：10006、10022、10072等偶数就知道这个下限并不成立。它没有连乘式导出的下限inf（M）=0.24√M可靠，没有反例。发表于 2023-4-6 09:44
愚公老师在这里指的是“进一步还可以在N/ln(N)^2之前加一个略大于1的系数1.028，适用条件N≥8不变”吧？
经复验，当N=10002-10072时，不但R2(N)≥N/ln(N)^2成立，并且R2(N)≥1.028*N/ln(N)^2也成立。

偶数波动因子双哥含1双哥 N/ln(N)^2*1.028 双哥-1.028*… N/ln(N)^2 双哥-N/ln(N)^2
10002 2.0000 394 394 121.202 272.798 117.901 276.099
10004 1.0430 198 198 121.221 76.779 117.919 80.081
10006 1.0000 183 183 121.240 61.760 117.938 65.062
10008 2.0000 384 386 121.259 262.741 117.956 266.044
10010 1.9394 382 384 121.278 260.722 117.975 264.025
10012 1.0000 198 198 121.297 76.703 117.993 80.007
10014 2.0000 418 418 121.316 296.684 118.011 299.989
10016 1.0000 208 208 121.335 86.665 118.030 89.970
10018 1.0000 197 197 121.354 75.646 118.048 78.952
10020 2.6667 526 526 121.373 404.627 118.067 407.933
10022 1.0000 185 185 121.392 63.608 118.085 66.915
10024 1.2000 242 242 121.411 120.589 118.104 123.896
10026 2.0000 388 388 121.430 266.570 118.122 269.878
10028 1.0476 212 212 121.449 90.551 118.141 93.859
10030 1.4472 278 278 121.468 156.532 118.159 159.841
10032 2.3529 476 476 121.487 354.513 118.178 357.822
10034 1.0370 208 208 121.505 86.495 118.196 89.804
10036 1.0909 218 218 121.524 96.476 118.214 99.786
10038 2.4000 470 472 121.543 348.457 118.233 351.767
10040 1.3333 264 266 121.562 142.438 118.251 145.749
10042 1.0000 193 193 121.581 71.419 118.270 74.730
10044 2.0690 406 406 121.600 284.400 118.288 287.712
10046 1.0000 209 209 121.619 87.381 118.307 90.693
10048 1.0000 204 204 121.638 82.362 118.325 85.675
10050 2.7077 512 512 121.657 390.343 118.344 393.656
10052 1.2000 226 226 121.676 104.324 118.362 107.638
10054 1.1111 218 218 121.695 96.305 118.380 99.620
10056 2.0000 380 380 121.714 258.286 118.399 261.601
10058 1.0222 198 198 121.733 76.267 118.417 79.583
10060 1.3333 262 262 121.752 140.248 118.436 143.564
10062 2.2350 436 438 121.771 314.229 118.454 317.546
10064 1.0971 224 224 121.790 102.210 118.473 105.527
10066 1.2000 238 238 121.809 116.191 118.491 119.509
10068 2.0000 396 398 121.828 274.172 118.509 277.491
10070 1.4394 274 276 121.847 152.153 118.528 155.472
10072 1.0000 184 184 121.866 62.134 118.546 65.454

再次顺便向掺入复核的崔坤老师致谢！

yangchuanju · 发表于 2023-4-6 12:21

愚工688点评这个下限并不可靠。请计算一下偶数：10006、10022、10072等偶数就知道这个下限并不成立。它没有连乘式导出的下限inf（M）=0.24√M可靠，没有反例。发表于 2023-4-6 09:44

用0.24√M检验，≥4的偶数都成立；改为0.25√M检验，偶数2和68不成立。

yangchuanju · 发表于 2023-4-6 14:59

cuikun-186
r2(68)=6≥68/（ln68）^2=3.813…… r2(68）=6≥3完全正确发表于 2023-4-6 13:15

偶数68单计素数对（单哥）是2，双计素数对（双哥）是4，含1素数对是6，
偶数68的单哥2>0.24*68^0.5=1.97909，但单哥2<0.25*68^0.5=2.0615528。

yangchuanju · 发表于 2023-4-8 11:21

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-4-9 05:20 编辑

笔者1楼贴中的近似值计算方法中有一条：
孪生素数对计算法：r2(N)≈∏(p-1)/(p-2)*孪生素数对数。
（这里不能再乘2c，因为计算孪生素数对数时才乘2c）
既如此，只要求出偶数N内孪生素数的对数，就可估算出偶数N的素数对数（哥猜数）；
孰知要求偶数N内的孪生素数对数并不容易，要用到对数积分。
指数等于-2的对数积分展开式有无穷多项，一般只取前几项即可，但究竟取几项最好呢？
另一积分法是分部积分，白新岭先生对该法进行过深入的研究，并给出有关计算公式。

笔者在其《对数积分公式推导》的18楼中说：
http://www.mathchina.com/bbs/for ... FD%B7%D6&page=2

第三种积分法——分部积分法

白新岭先生在计算孪生素数及三生、四生素数时采用的分部积分法给定公式是
∫(UV)dx=UV-∫(U)dv=N*[∑(n+k-2)!/(k-1)! / (LN(N))^(n+k-1)]
式中大写“N”是范围值，小写“n”是项数变量，从1到无穷大。

对于孪生素数k=2，白新岭分部积分式可简化为
∫(UV)dx=UV-∫(U)dv=N*[∑(n)! /1!/ (LN(N))^(n+1)]
展开=N*[1/(lnN)^2+2/(lnN)^3+6/(lnN)^4+24/(lnN)^5+120/(lnN)^6+……]

据此，计算偶数N内素数对数可用以下公式：r2(N)≈∏(p-1)/(p-2)*孪生素数对数
（这里不能再乘2c，因为计算孪生素数对数时才乘2c）
r2(N)≈∏(p-1)/(p-2)*2c*N*[1/(lnN)^2+2/(lnN)^3+6/(lnN)^4+24/(lnN)^5+120/(lnN)^6+……]
或r2(N)≈∏(p-1)/(p-2)*2c*N/ln(N)^2*[1+2/lnN+6/(lnN)^2+24/(lnN)^3+120/(lnN)^4+……]
仅取计算式的第一项就是哈李对数计算式，经计算取到10^6以后的第三项计算值略大于真实值。
偶数N 单计素数对孪生素数对数孪对/双哥 2c*∏(p-1)/(p-2)
10 2 2 0.5000 1.7604
100 6 8 0.6667 1.7604
1000 28 35 0.6250 1.7604
10000 127 205 0.8071 1.7604
100000 810 1224 0.7556 1.7604
1000000 5402 8169 0.7561 1.7604
10000000 38807 58980 0.7599 1.7604
100000000 291400 440312 0.7555 1.7604
1000000000 2274205 3424506 0.7529 1.7604
10000000000 18200488 27412679 0.7531 1.7604
1E+11 149091160 224376048 0.7525 1.7604
1E+12 1243722370 1870585220 0.7520 1.7604
1E+13 10533150855 15834664872 0.7517 1.7604
1E+14 90350630388 1.3578E+11 0.7514 1.7604
1E+15 ———— 1.17721E+12 ———— 1.7604
1E+16 ———— 1.03042E+13 ———— 1.7604
1E+17 ———— 9.09488E+13 ———— 1.7604
1E+18 ———— 8.08676E+14 ———— 1.7604

偶数N 第一项前三项和第一项/双哥前三项/双哥
10 3.320379744 9.961999696 0.8301 2.4905
100 8.300949361 14.25449008 0.6917 1.1879
1000 36.89310827 52.21373834 0.6588 0.9324
10000 207.523734 267.2649667 0.8170 1.0522
100000 1328.151898 1618.99671 0.8198 0.9994
1000000 9223.277068 10848.4195 0.8537 1.0041
10000000 67762.85193 77736.15104 0.8731 1.0016
100000000 518809.3351 584312.1094 0.8902 1.0026
1000000000 4099234.252 4552122.251 0.9012 1.0008
10000000000 33203797.44 36463600.12 0.9122 1.0017
1E+11 274411549.1 298646281.7 0.9203 1.0016
1E+12 2305819267 2490841051 0.9270 1.0014
1E+13 19647217423 21091500269 0.9326 1.0012
1E+14 1.69407E+11 1.80896E+11 0.9375 1.0011
1E+15 1.47572E+12 1.5686E+12
1E+16 1.29702E+13 1.37317E+13
1E+17 1.14892E+14 1.21212E+14
1E+18 1.02481E+15 1.07784E+15

yangchuanju · 发表于 2023-4-8 11:24

A065577 A007508
10^n以内素数对 10^n以内孪生素数对
1 2 1 2
2 6 2 8
3 28 3 35
4 127 4 205
5 810 5 1224
6 5402 6 8169
7 38807 7 58980
8 291400 8 440312
9 2274205 9 3424506
10 18200488 10 27412679
11 149091160 11 224376048
12 1243722370 12 1870585220
13 10533150855 13 15834664872
14 90350630388 14 135780321665
———— 15 1177209242304
———— 16 10304195697298
———— 17 90948839353159
———— 18 808675888577436

yangchuanju · 发表于 2023-4-8 17:53

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-4-10 05:45 编辑

对于孪生素数k=2，白新岭分部积分式可简化为
∫(UV)dx=UV-∫(U)dv=N*[∑(n)! /1!/ (LN(N))^(n+1)]
展开=N*[1/(lnN)^2+2/(lnN)^3+6/(lnN)^4+24/(lnN)^5+120/(lnN)^6+……]
请注意：计算孪生素数对数时，还需乘以2c！

下面是分别取1,3,5项和的计算值与孪生素数实际对数的比值，当偶数N≥10^6以后前三项和已接近孪生素数真实对数值：
偶数N 孪生素数对数第一项/孪生前三项/孪生前五项/孪生
10 2 1.245142 3.735750 11.499010
100 8 0.778214 1.336358 1.735230
1000 35 0.790567 1.118866 1.218093
10000 205 0.759233 0.977799 1.013781
100000 1224 0.813819 0.992032 1.010390
1000000 8169 0.846794 0.995999 1.006495
10000000 58980 0.861684 0.988506 0.994977
100000000 440312 0.883707 0.995281 0.999595
1000000000 3424506 0.897772 0.996959 0.999964
10000000000 27412679 0.908443 0.997630 0.999803
1E+11 224376048 0.917249 0.998256 0.999878
1E+12 1870585220 0.924504 0.998688 0.999930
1E+13 15834664872 0.930579 0.998987 0.999959
1E+14 1.3578E+11 0.935742 0.999200 0.999975
1E+15 1.17721E+12 0.940184 0.999355 0.999982
1E+16 1.03042E+13 0.944050 0.999473 0.999987
1E+17 9.09488E+13 0.947445 0.999563 0.999991
1E+18 8.08676E+14 0.950451 0.999634 0.999993

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