BD,CE 是 ΔABC 的角平分线，DE 与 ΔABC 外接圆交于 F ，证明 1／FB=1／FC+1／FA

uk702

kuing 老大给了巧妙的证明：kuing.infinityfreeapp.com/forum.php?mod=viewthread&tid=10678

天山草

uk702 发表于 2023-4-12 22:32
kuing 老大给了巧妙的证明：kuing.infinityfreeapp.com/forum.php?mod=viewthread&tid=10678

将楼上 uk702 所说的数学娱乐网站的老板 kuing 的纯几何证明方法原样转过来如下图片：

天山草

前天想到一个构图，经试用效果不错，这是因为两个自由变量都是正实数的缘故。

用这个构图解答主帖问题如下。
仿照 8# creasson 的程序思路和 11# 关于 F 点坐标的设置方法，有：

程序：

运行结果：

程序代码：

1. Clear["Global`*"]; (*B 为原点，内切圆半径为 1，BC 边与横轴重合。s、t 点坐标为两个变量。 *)
   
2. (*按 8# 楼 creasson 方法写的程序如下：*)
   
3. Print["根据构图，可直接引用此构图下的各点坐标如下："];
   
4. points = {B -> 0, C -> c, A -> ((t^2 - 1) (t - c) + 2 I t (t - c))/(1 - c t + t^2),  pI -> t + I, D -> (2 c (t + I) (t - c))/(1 - c^2 + t^2),
   
5.   pE -> (c (t + I)^2)/(2 c t - t^2 - 1),  F -> -((c (t + I)^2 (c - t))/( c (-c t + t^2 + 1) + t v (-c + t + I)^2))}(*pI是内心坐标，pE是E点坐标*)
   
6. (*取值范围限定*)cond =  t > 0 && c > 0 && 1 - c t + t^2 < 0  &&  1 - c^2 + t^2 < 0 ;
   
7. (*因 F,E,D 共线，所以下式虚部的分子为零，从而得到 v 的方程：*)
   
8. vEQ = (Factor[ComplexExpand[Im[#]]] // Numerator) &@((D - F)/(D - pE) /. points);
   
9. Print["参数 v 应满足方程:   ", vEQ, " = 0  -------①"];
   
10. Print["参数 t、c、v 的取值范围如下: "];
    
11. cond = Reduce[Factor[ComplexExpand[Im[(F - B)/(A - B) /. points]]] > 0 &&  cond, {t, c, v}]
    
12. (*计算 FA,FB,FC的长度*)
    
13. Print["FA、FB、FC 的长度如下: "];
    
14. dists = FullSimplify[ComplexExpand[Abs[#]], Assumptions -> cond] & /@ ({F - A, F - B, F - C} /. points);
    
15. {FA -> dists[[1]], FB -> dists[[2]], FC -> dists[[3]]}
    
16. target = (1/dists[[2]] - 1/dists[[1]] - 1/dists[[3]]) // Factor;
    
17. Print["如果能证明下面 ② 式等于零，即可完成证明: "];
    
18. Print[target, "   -------②"];
    
19. Print["因为 ① 式等于零，而 ① 式中的前几个因式都不为零，故最后那个因式应为零。而 ② 式分子中也有这个因式，所以 ② \
    
20. 式必为零，故命题 1/FB - 1/FA -1/FC = 0 成立。"]

复制代码

天山草

对于楼上程序，当把实际值 \( t = 2.51276， c = 3.65605\) 置于程序最前面，运行后的前几行信息为：

解 ① 式方程，有两个解，考虑到楼上运行提示 \(v<0\)，只取负解： \(v=-2.16824\)。代入 \(F\) 点的坐标表示式中，得到\(F=-0.31801+2.00046 I\)。

ccmmjj126

我看到证明了，这个证明精妙啊！@ 天山草 这道题是不是你自己创的？如果不是，请给出题目出处。如果这个题目有出处，必然有解答。在我脑海深处，模糊有这种题目和解答的样子。如果是草兄自创的题目，那就一定是kuing那位大神的独特解答。这个题目和这个解答，可以在初等几何史上留下一笔了。

yyss007

看了，学习了，非常精彩！

luyuanhong

楼上 天山草 转发 kuing 的纯几何解答很好！已收藏。

天山草

@ ccmmjj126:
主帖中的这个题目摘自一本国外的无字几何图形一书，书名是：

其中的 4.3.6 题：

王守恩

4.3.5比4.3.6还是简单些。
2B是顶角，n是顶角以上部分，c对应是角D。2A是左边的角，c对应的角是2A-E。

\(记ΔABC的3个角为2A≤2B≤2C,3条边为\sin(2A),\sin(2B),\sin(2C)\)

\(\frac{\sin(D)}{\sin(2B+D)}=\frac{\sin(2A)\sin(2C)/(\sin(2B)+\sin(2C))}{\sin(2A)\sin(2C)/(\sin(2A)+\sin(2B))}=\frac{\sin(2A)+\sin(2B)}{\sin(2B)+\sin(2C)}\)

\(\frac{c}{\sin(2A)\sin(2C)/(\sin(2A)+\sin(2B))+n}=\frac{\sin(D)}{\cos(D)}\)

\(\frac{a}{\cos(2B)}=\frac{c+n*\tan(2B)}{\sin(90)}\)

\(\frac{b}{\sin(E)}=\frac{c}{\sin(2A-E)}=\frac{\sin(2C)+n}{\sin(2A-E)}\)

\(化简可得:\frac{c}{a+b}=1\)

ccmmjj

看到王守恩的一招鲜，我也用一种不象几何的方法
一次函数证明4.35，随手做的：