素数公式判断大素数

太阳

yangchuanju 发表于 2023-4-11 12:18
请注意分解式最前面的CF字样（CF表示未完全分解）和最后一个因子是用蓝色字体标注的（合数）！

这是分解网站出现差错导致CF字样

太阳

不知道能不能找到一个真真正正反例？

yangchuanju

太阳 发表于 2023-4-11 14:09
这是分解网站出现差错导致CF字样

不要再胡乱猜想啦，k=961,997,1777时(10^k+1)/11的第一、第二因子都是模18余1的素数，第三因子都不是素数。
只发现k=239时，它的三个因子都是模18余1的素数。
分解网站给出的CF没有差错！

分解网站中：P——素数，FF——完全分解，CF——不完全分解，U——素合性不知道。
在10000以内的5000个奇指数10^k+1整数中共有1个素数10^1+1=11，306个完全分解的，4693个不完全分解的。
网址：http://www.factordb.com/tables.php?open=6
依次点击网页Depression——10^x+1后的show，打开网页10^x+1即可。

太阳

分解网站给出的CF没有差错！请你找到一个真实的反例，肯定找不到

太阳

k＝997，k＝1777，这两个例不是真实的反例，无法判断它是否为合数？

太阳

已知:整数\(a\)＞0，\(c\)＞0，\(f\)＞1，\(\frac{10^k+1}{11m}\)＝\(ft\)，\(m\)是\(\frac{10^k+1}{11}\)的最小质因数
\(t\)是\(\frac{10^k+1}{11m}\)的最小质因数，\(m＝18a+1\)，\(t＝18c+1\)，质数\( k\)＞0，\(y\)＞0
求证:\(f\)＝\(y\)
已知:整数\(a\)＞0，\(c\)＞0，素数\(k\)＞0，\(m＝18a+1\)，\(t＝18c+1\)
求证:\(\frac{10^k+1}{11}\)≠\(mt\)

太阳

例1：k＝239，(10^239+1)/11＝508399838327574001×2846390188891241030645451773087716881978563746547069042984813032147999326242449×6282138071505210318841228543562283508437569619884438177000652801796615935488955777747431198279234592543622766101015393665597896857185313159459
例2：(10^997+1)/11=67287157067795153851×4379433473702491094413×[(10^997+1)/3241475908142771812598240102075553716879093]
例3：(10^1777+1)/11＝3288416689×1637534497087×[(10^1777+1)/59233853459375239534373]
(10^997+1)/3241475908142771812598240102075553716879093
(10^1777+1)/59233853459375239534373，分解网站显示CF字样表示它是合数，但是没有找到它的素因子
是否为合数不能确定，有可能是素数

太阳

(10^239+1)/11＝(18a+1)×(18c+1)×(18d+1)，分解三个素因子18x+1形式
假设命题1是错误，我们可以找到(10^k+1)/11＝(18a+1)×(18c+1)×(18d+1)×(18h+1)，分解四个素因子18x+1形式
当k无限变大，必定有(10^k+1)/11＝(18a+1)×(18c+1)×(18d+1)×(18h+1)×(18q+1)×(18u+1)×...×(18v+1)，分解n个素因子18x+1形式
不可能有(10^k+1)/11分解1亿个(18x+1)这样的素数
打个比喻:圆周率小数点后面值不可能有这样情况存在连续1亿个0再加1亿个1
发现k＝239时，(10^239+1)/11＝508399838327574001×2846390188891241030645451773087716881978563746547069042984813032147999326242449×6282138071505210318841228543562283508437569619884438177000652801796615935488955777747431198279234592543622766101015393665597896857185313159459，找到三个素因子
(10^k+1)/11＝(18a+1)×(18c+1)×(18d+1)×(18h+1)×(18q+1)×(18u+1)×...×(18v+1)，( n＞3)，分解n个素因子18x+1形式不存在
所以假设不成立，断定命题2是正确

yangchuanju

太阳 发表于 2023-4-12 03:47
已知:整数\(a\)＞0，\(c\)＞0，\(f\)＞1，\(\frac{10^k+1}{11}\)＝\(fy\)，\(m\)是\(\frac{10^k+1}{11}\)的 ...

依题意，m是(10^k+1)/11的最小素因子，t是(10^k+1)/11m的最小素因子，则(10^k+1)/11=m*t*x、式中x可能是1，素数或合数。
当x=1时，(10^k+1)/11就是一个二合数，在无穷多个k中肯定存在这样的指数k，命题2错误；
当x是素数时，(10^k+1)/11就是一个三合数，如k=239，在无穷多个k中肯定存在多个这样的指数k；
当x是合数时，(10^k+1)/11的因子个数超过3；第3个素因子与后面的因子积不会再是素数。

又依题意，(10^k+1)/11=fy，最终结论是f=y，据此(10^k+1)/11必须是一个平方数，纯属胡扯蛋，(10^k+1)/11根本不会是一个平方数，更不会是一个素数的平方，命题1错误。

yangchuanju

错误的命题，采用了错误的方法，计算所得肯定是不完全对的。

在以上各贴中，错把太阳先生命题中的f当成了(10^k+1)/11再除以m、t的余因子，请太阳先生谅解！

由于f的素合性是不确定的，当k=239时f是素数，当k=997,1777时f都不是素数，k=961本身不是素数难怪太阳先生不理会961的问题。
虽然因为这三个余因子没有被分解，但它们已经被证明都不是素数——不管太阳先生承认与否。

太阳先生抛出此题的真正目的，是想让我们证明(10^k+1)/11是一个平方数，且其平方根是一个素数，试问太阳先生哪里会有这样的(10^k+1)/11？