每次投篮命中率为 2/3，连续三次投中则通过，连续两次投不中则不通过，求通过的概率

王守恩

谢谢 ccmmjj ！挺好玩的题目(楼主的题目都是挺好的)! 往前闯一闯！
有点乱，整理一下(别问我是怎么来的)。
连续2次投中, 可以有至多连续0次投不中,  P=1
连续2次投中, 可以有至多连续1次投不中,  P=1+2+3
连续2次投中, 可以有至多连续2次投不中,  P=1+2+3+4+5
连续2次投中, 可以有至多连续3次投不中,  P=1+2+3+4+5+6+7
连续2次投中, 可以有至多连续4次投不中,  P=1+2+3+4+5+6+7+8+9
  1=A*A
  2=B
  3=A*B
  4=B*B
  5=A*B*B
  6=B*B*B
  7=A*B*B*B
  8=B*B*B*B
  9=A*B*B*B*B
.........
连续3次投中, 可以有至多连续0次投不中,  P=1
连续3次投中, 可以有至多连续1次投不中,  P=1+2+3+4
连续3次投中, 可以有至多连续2次投不中,  P=1+2+3+4+5+6+7
连续3次投中, 可以有至多连续3次投不中,  P=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
  1=A*A*A
  2=B
  3=A*B
  4=A*A*B
  5=B*B
  6=A*B*B
  7=A*A*B*B
  8=B*B*B
  9=A*B*B*B
10=A*A*B*B*B
.........
连续4次投中, 可以有至多连续0次投不中,  P=1
连续4次投中, 可以有至多连续1次投不中,  P=1+2+3+4+5
连续4次投中, 可以有至多连续2次投不中,  P=1+2+3+4+5+6+7+8+9
连续4次投中, 可以有至多连续3次投不中,  P=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
  1=A*A*A*A
  2=B
  3=A*B
  4=A*A*B
  5=A*A*A*B
  6=B*B
  7=A*B*B
  8=A*A*B*B
  9=A*A*A*B*B
10=B*B*B
11=A*B*B*B
12=A*A*B*B*B
13=A*A*A*B*B*B
.........
其中：A=投篮命中率=a/b  
          B=\(\frac{a^n(b-a)}{b^n(b-a)+a^nb}=\frac{(1-A)A^n}{(1-A)+A^n}=\big(\frac{1}{1-A}+\frac{1}{A^n}\big)^{-1}\)   n

要求连续n次投中, 可以有至多连续k次投不中,

\(\displaystyle p=(B^1+B^2+B^3+...+B^k)(A^0+A^1+A^2+...+A^{n-1})+A^n\)

\(\displaystyle=\sum_{j=1}^k\sum_{i=0}^{n-1}B^J*A^i+A^n\)

=\(\displaystyle\frac{\big((b^n(b-a)+a^nb)^k-(a^n(b-a))^k\big)\big(a^n(b-a)\big)\big(b^n-a^n\big)}{\big(b^n(b-a)+a^nb-a^n(b-a)\big)\big(b^n(b-a)+a^nb\big)^k\big(b^n-ab^{n-1}\big)}+\bigg(\frac{a}{b}\bigg)^n\)

\(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\bigg[\frac{\big((b^n(b-a)+a^nb)^k-(a^n(b-a))^k\big)\big(a^n(b-a)\big)\big(b^n-a^n\big)}{\big(b^n(b-a)+a^nb-a^n(b-a)\big)\big(b^n(b-a)+a^nb\big)^k\big(b^n-ab^{n-1}\big)}+\bigg(\frac{a}{b}\bigg)^n\bigg]<1\)

最后，借用 cgl_74 的一段话。 谢谢 cgl_74 ！

这个解法是正确的。其对各种情况进行了清晰的分类，并且不重复不遗漏计算了各种情况下的概率，并进行加和。显然这样做，各种情况下概率也不会出现大于1的时候。

王守恩

显然这样做，各种情况下概率也不会出现大于1的时候。

投篮命中率=\(\frac{A}{A+1}\),且k趋向无穷大

投篮命中率=1/2,考核要求连续1,2,3,4,......次投篮命中,k趋向无穷大,测试成功率:
{5/6, 11/20, 23/72, 47/272, 95/1056, 191/4160, 383/16512, 767/65792, 1535/262656, 3071/1049600, 6143/4196352, 12287/16781312, 24575/67117056, 49151/268451840},

投篮命中率=2/3,考核要求连续1,2,3,4,......次投篮命中,k趋向无穷大,测试成功率:
{20/21, 128/153, 800/1161, 4928/9153, 30080/74601, 182528/624753, 1103360/5342841, 6652928/46405953, 40048640/407575881, 240816128/3607716753, 1446993920/32106653721,
  
投篮命中率=3/4,考核要求连续1,2,3,4,......次投篮命中,k趋向无穷大,测试成功率:
{51/52, 639/688, 7911/9280, 97119/127744, 1185111/1795072, 14398479/25735168, 174376071/375930880, 2106861759/5584912384,25411481271/84198817792,306100036719/12

投篮命中率=4/5,考核要求连续1,2,3,4,......次投篮命中,k趋向无穷大,测试成功率:
{104/105, 2144/2225, 43904/47625, 894464/1030625, 18151424/22565625, 367222784/500140625, 7411564544/11223515625, 149305032704/254987890625,

投篮命中率=5/6,考核要求连续1,2,3,4,......次投篮命中,k趋向无穷大,测试成功率:
{185/186, 5675/5796, 173375/181656, 5279375/5729616, 160334375/181966176, 4858859375/5821782336, 146986484375/187714164096, 4440112109375/6101609907456,

投篮命中率=6/7,考核要求连续1,2,3,4,......次投篮命中,k趋向无穷大,测试成功率:
{300/301, 12816/12985, 546048/562177, 23213952/24434977, 985063680/1066622641, 41735471616/46775477665,1765950501888/2061459072337, 74640106063872/91328842548097,
  
投篮命中率=7/8,考核要求连续1,2,3,4,......次投篮命中,k趋向无穷大,测试成功率:
{455/456, 25823/26048, 1462895/1491456, 82745663/85618688, 4674110735/4928864256, 263727527903/284606332928,14865630572975/16487710457856,837222873596543/9584961

投篮命中率=8/9,考核要求连续1,2,3,4,......次投篮命中,k趋向无穷大,测试成功率:
{656/657, 47744/48033, 3470336/3517425,251961344/258037569, 18275434496/18966125457, 1324421218304/1396942092513,95908083531776/103121696489265,6940566386376704/76306  

投篮命中率=9/10,考核要求连续1,2,3,4,......次投篮命中,k趋向无穷大,测试成功率:
{909/910, 82539/82900, 7487559/7561000, 678663279/690490000, 61467115599/63144100000, 5563421463519/5782969000000,503249797545039/530467210000000,45498372911148159/4874

通项公式:  \(\displaystyle\frac{A^n((A+1)^n(A+2)-A^n)}{(A+1)^n(A^{n+1}+(A+1)^n)}\)    这些数字串(分子,分母)可都是在OEIS找不到的。

玉树临风

以上答案都错
先说明一下概率的由来
一个同学投篮进球的概率由以下方式得出
统计该同学的无限次投篮数据（理想测试）
经过统计，命中的次数无限接近测试总数的2/3，不命中的次数无限接近测试总数的1/3，则判定该同学进球的概率为2/3，不进球的概率为1/3。
求：该同学通过的概率
在不限制投篮次数的情况下，则有下列两种情况结束测试：
事件1：即该同学连续命中3次:，概率即为8/27。
事件2：连续失败两次，概率为3/27。
一种情况比赛无限循环
事件3：连续投篮，即不失败也不成功。(27-3-8)/27=16/27。
也就是说，该同学有百分之五十九的可能会因为即不能通过又没有淘汰而放弃测试。
百分之十一的可能失败，百分之三十的可能通过测试。

王守恩

“主帖”与“此题”有联系吗？

甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮,, 若末命中则换为对方投篮。
无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6, 乙每次投篮的命中率均为0.8。
由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲,乙的概率各为0.5。
(1) 求第 2 次投篮的人是乙的概率;
(2) 求第 i 次投篮的人是甲的概率;
(3) 设随机事件 Y 为前 n 次投球中甲的投球次数, Y=0,1,...,n,  求 E(Y)。