定点 A,B 位于定直线 L 同侧，求点 P ，使得 PA+PB+PC 最小（PC 是 P 到 L 的距离）

王守恩

\( 主帖图。定点A到定直线 L垂点为M, 定点B到定直线 L垂点为N,\)

譬如：AM=4,BN=8,MN=16

1. Minimize[{Sqrt[(4-x)^2+y^2]+Sqrt[(8-x)^2+(16-y)^2]+x,x>0},{x,y}]

复制代码

{6 + 8 Sqrt[3], {x -> 6 - 8/Sqrt[3], y -> 8 - 2 Sqrt[3]}}

\(\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}\)

太简单了。我还是希望网友举出反例来。

ccmmjj

有一个微信公众号，专门讲这种东西。公众号叫“几何数学”，作者叫“司徒雅绘”，有一节专门讲这道题。

cgl_74

我先将8楼的代数方法补充完整，构成一个完整的解法。
为了严谨，我进一步刷新了解法。这个解法应该比较完整了。

王守恩

从简单算起(一个不严谨但感觉对的分析)。
1，正方形(1种情形)。AM=BN=MN=2,  最小距离=2+\(\sqrt{3}\)
2，长方形(2种情形)。AM=BN=2,MN=4, 情形1, 最小距离=2+2\(\sqrt{3}\)  情形2, 最小距离=4+\(\sqrt{3}\)
3，主帖: 直角梯形(4种情形)。
4，三角形(1种情形)。

王守恩

\( 主帖图。定点A到定直线 L垂点为M, 定点B到定直线 L垂点为N,\)
譬如：AM=4,BN=8,MN=16

1. Minimize[{Sqrt[(4-x)^2+y^2]+Sqrt[(8-x)^2+(16-y)^2]+x,x>0},{x,y}]

复制代码

增加条件\(\frac{4 - x}{y}=\frac{8 - x}{16 - y}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)可以把"Minimize"去掉
化简可得\(\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}\)

不能做太大多的题目,就得让自己长大起来。再举个例子。
4，三角形的费马点。已知角度a,b,  其中a=x+(a-x),  求PA+PB+PC最小距离=k
\(k=\frac{\sin(a)\sin(b+x+60)+\sin(b)\sin(a-x)+\sin(a+b)\sin(60-x)}{Sin(60)},
1=\frac{\sin(60-x)\sin(a-x)\sin(b+x+60)}{Sin(x)\sin(60-a+x)\sin[(b+x-60)}\)

cgl_74

这道题大家要讨论就讨论更清楚。我在23楼刷新了代数解法，应该是比较完整的了。
通过比较几何解法和代数解法，我有几点感受：
1、几何解法比较直观，技巧性强。费马点知识我学习到了，这个题的几何解法思路我也学习到了；但是如果我是第一次做这个题目，我还是没有把握做出来。毕竟技巧性在那里，我状态不好，或运气不好，就是想不到。
2、同样几何解法的缺点也很明显。严谨性不强，甚至会出现错误。因为几何解法依靠图像，依靠点，线的位置关系；稍有偏差结果就不一样甚至出错。比如楼上的用几何解法的，都存在很多漏洞。包括很多情况没有考虑，很多位置关系没有分析到。虽然技巧性体现出来，但是完整性和严谨性差很多。如果这个解法满分是10分，楼上的几何解法最多得5～7分。
3、代数方法就是繁琐，计算量较大，且要求计算准确。显得技巧性性不高甚至笨拙。但是好处是严谨，解法完整。特别是借助现代计算机技术，可能计算量根本不是问题。

cgl_74

简单举几个例子：看看如下的图形关系，如何用几何方法来解？这里还没有包括太复杂的数量关系，只是一个大概的位置关系。

Ysu2008

cgl_74 发表于 2023-5-10 18:20
简单举几个例子：看看如下的图形关系，如何用几何方法来解？这里还没有包括太复杂的数量关系，只是一个大概 ...

认真、严谨、一丝不苟。干得好！
一句话：有精神！

王守恩

cgl_74 发表于 2023-5-10 18:20
简单举几个例子：看看如下的图形关系，如何用几何方法来解？这里还没有包括太复杂的数量关系，只是一个大概 ...

图1:将军饮马
图2:A--B--L
图3:A--B--L

\( 主帖图。定点A到定直线 L垂足为M, 定点B到定直线 L垂足为N,\)

\(\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}\)

\(BN+AM\geqslant\frac{MN}{\sqrt{3}}\geqslant BN-AM\geqslant0\)

简单才是方法!  不能做太多的题目,就得让自己长大起来!!!

王守恩

我凭直觉解题，解题只图好玩。请你举个反例？谢谢！