设 a,b 是正整数，求证：2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多只有一个完全平方数

luyuanhong

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ccmmjj

波斯猫猫 发表于 2023-5-23 09:28
题：设 a,b 是正整数，求证：2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多有一个完全平方数。

思路(反证法)：假 ...

这个证明是错误的。理由如下
2a^2+2ab+b^2 =(c+r)^2。故，r^2+2cr+b^2-a^2=0。其判别式必为零。
这句话不对，这样能开平方的方程存在一个解，只能推得⊿≥0，而不是⊿=0。
举个例子说，（x+2)^2=9,存在唯一正整数解1，不能说这个方程⊿=0。因为通过解方程知道，它还有一个解-5。存在解的情况并不见得⊿=0。⊿=0的情况仅限于被开方数=0的状况。而对2a^2+2ab+b^2 显然大于0，所以对这个方程来说⊿>0是明显的。

uk702

波斯猫猫 发表于 2023-5-23 17:28
题：设 a,b 是正整数，求证：2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多有一个完全平方数。

思路(反证法)：假 ...

个人有个疑问，怎么知道关于 r 的方程 \( r^2+2cr+b^2-a^2=0 \) 的判断式必为零？它也可以有负数的根啊。

uk702

math.stackexchange.com/questions/3512723/proof-that-a2-b2-ab-and-a2-b2-ab-can-not-both-be-perfect-squares  证明了当 a, b 互素时， \(a^2 + ab + b^2 \) 和 \(a^2 - ab + b^2 \) 不可能都是完全平方数。

至于本题，我没有搜到。

ysr

令：m = (a + b) ^ 2 + a ^ 2
n = (a + b) ^ 2 + b ^ 2
m1 = Sqr(m)
n1 = Sqr(n)
q1 = m - Int(m1) ^ 2
q2 = n - Int(n1) ^ 2

其中 Int()为下取整函数

只要证明：当q2=0的时候0<q1/2<m1,和：当q1=0的时候，0<q2/2<n1就可以了，这一点不好证明啊！

例：a=233 b=75  m=149153  n=100489  √m=386.203314330677  √n=317
q1/2=78.5   q2/2=0

ysr

若a＞b，不妨令a^2+2ab+2b^2=c^2(c∈N+)，则存在一个（不一定是唯一）正整数r，使得2a^2+2ab+b^2 =(c+r)^2。
则必须r^2+2cr=a^2-b^2，因为(c+r)^2-c^2=r^2+2cr,而a^2+2ab+2a^2-（a^2+2ab+2b^2）=a^2-b^2。整理该等式就得到：r^2+2cr+b^2-a^2=0。

ysr

只要证明，当a>b的时候，r^2+2cr+b^2-a^2=0 该等式无整数解或者不成立，则，主楼命题成立！

ysr

关键仍然是如何证明c^2+a^2-b^2是非平方数？其中的c^2为主楼中第二个多项式

波斯猫猫

数学不大好玩，一不小心可能掉入深渊。：

ccmmjj

目前我只证得 a+b为奇数时，命题成立。
证明：a+b为奇数时，则a,b中一定有一个奇数，不妨设是 a，
则 (a+b)^2≡1 mod4,  a^2≡1 mod4
所以 （a+b)^2+a^2 ≡ 2 mod4.
显然没有任何整数的平方是  2 mod4。
故命题成立。