一个数列的通项式，据说难倒英雄汉

Treenewbee

观察\[C_n\]各项的系数，易得：\[C_n=\sum_{k=0}^n{C_{n+k}^{2k}*(y/x)^k}\]

Treenewbee

1. Table[Sum[Binomial[n + k, 2 k]*(y/x)^k, {k, 0, n}], {n,10}] // TableForm

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\[\frac{y}{x}+1\\
\frac{y^2}{x^2}+\frac{3 y}{x}+1\\
\frac{y^3}{x^3}+\frac{5 y^2}{x^2}+\frac{6 y}{x}+1\\
\frac{y^4}{x^4}+\frac{7 y^3}{x^3}+\frac{15 y^2}{x^2}+\frac{10 y}{x}+1\\
\frac{y^5}{x^5}+\frac{9 y^4}{x^4}+\frac{28 y^3}{x^3}+\frac{35 y^2}{x^2}+\frac{15 y}{x}+1\\
\frac{y^6}{x^6}+\frac{11 y^5}{x^5}+\frac{45 y^4}{x^4}+\frac{84 y^3}{x^3}+\frac{70 y^2}{x^2}+\frac{21 y}{x}+1\\
\frac{y^7}{x^7}+\frac{13 y^6}{x^6}+\frac{66 y^5}{x^5}+\frac{165 y^4}{x^4}+\frac{210 y^3}{x^3}+\frac{126 y^2}{x^2}+\frac{28 y}{x}+1\\
\frac{y^8}{x^8}+\frac{15 y^7}{x^7}+\frac{91 y^6}{x^6}+\frac{286 y^5}{x^5}+\frac{495 y^4}{x^4}+\frac{462 y^3}{x^3}+\frac{210 y^2}{x^2}+\frac{36 y}{x}+1\\
\frac{y^9}{x^9}+\frac{17 y^8}{x^8}+\frac{120 y^7}{x^7}+\frac{455 y^6}{x^6}+\frac{1001 y^5}{x^5}+\frac{1287 y^4}{x^4}+\frac{924 y^3}{x^3}+\frac{330 y^2}{x^2}+\frac{45 y}{x}+1\\
\frac{y^{10}}{x^{10}}+\frac{19 y^9}{x^9}+\frac{153 y^8}{x^8}+\frac{680 y^7}{x^7}+\frac{1820 y^6}{x^6}+\frac{3003 y^5}{x^5}+\frac{3003 y^4}{x^4}+\frac{1716 y^3}{x^3}+\frac{495 y^2}{x^2}+\frac{55 y}{x}+1\\\]

Treenewbee

与楼主的计算结果是一致的

Treenewbee

\[\sum  _{k=1}^n B_k=\sum  _{k=1}^n(A_{k+1}-A_k)=A_{k+1}-A_1=x\sum_{k=0}^n{C_{n+1+ k}^{2k}*(\frac{y}{x})^k}-x\]

Treenewbee

搜了一下，这个序列已于20年前被OEIS收录：

A085478                Triangle read by rows: T(n, k) = binomial(n + k, 2*k).

sdlsd

真是太令人敬佩了您呐

cgl_74

sdlsd 发表于 2023-8-24 20:57
您详细说一下，具体错在哪里呢

错误在这里：

cgl_74

我看了一下楼上的解答，这个结果没有证明啊，是猜出来的。
难道数学现在是这样学的吗？哪怕是用计算机给出一个猜想，也要用数学归纳法证明一下。
如果数学能用演算几个值猜出来就算，那么哥德巴赫猜想，费马大定理早就不用证明了。韩国人那个室温超导该获诺贝尔奖了。

cgl_74

cgl_74 发表于 2023-8-24 18:13
我给出一个解法思路。
由于x, y取值的不同分类，通项的表达形式多样，很难用一个形式表达出来。我就没有分 ...

如果补充楼主给出的条件：x>0, y>=0，那么5式对应的特征方程有2个不同实根，其通项公式能比较容易做出来了。就是解一个一元二次方程，得到2个实根；再用2个初值解出系数。通项公式就出来了。
我就不详细写了，都是些体力劳动，没啥技术含量。懂这些的不用我写；不懂的我写一堆也没啥意思。

Treenewbee

cgl_74 发表于 2023-8-25 06:47
错误在这里：

这样更准确一些：

\[A_n=x\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1+k}^{2k}*(\frac{y}{x})^k\]

\[C_n=\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1+k}^{2k}*(\frac{y}{x})^k\]