关于“这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？”

大傻8888888

大傻8888888发表于 2012-1-7 21:56
下面引用由天山草在 2012/01/07 08:41pm 发表的内容：
“经检查，219 楼的公式是对的，没有问题，不过用它不一定好计算出具体数值。因为最右边那个连乘积可能收敛得慢。但是，这个公式在形式上还是优美的，值得进一步研究。”
系数An的表达式如下：
2^[π(n)(n+1)-∑p]*Π p  （其中p是小于等于n的所有素数,n大于等于2）
比较简单的极限表达式如下：
（lnp)^n*∏(1-n/p)=∏[p/（p-1)]^n*e^(-nγ)*∏[p^(n-1)*(p-n)/（p-1)^n]
（上面极限表达式右边前一个连乘积的素数2≤p≤n，后一个连乘积的素数p＞n）
以上两个表达式不是凭空想出来的，是我这两个多月苦思冥想有根据一步一步推算出来的，由于比较复杂，一时不能把全部过程展示给大家，请大家见谅。有兴趣的网友可以试着推算一下。谢谢天山草先生的认同。

大傻8888888

发表于 2012-1-8 21:47 | 只看该作者
[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？
[这个贴子最后由天山草在 2012/01/08 09:53pm 第 2 次编辑]
下面引用由大傻8888888在 2012/01/07 09:56pm 发表的内容：
以上两个表达式不是凭空想出来的，是我这两个多月苦思冥想有根据一步一步推算出来的，由于比较复杂，一时不能把全部过程展示给大家，请大家见谅。

嘿嘿，我想起来了，原来这个公式最早是刘丹提出来的，本人给出的推导过程可以在本帖中找到：

大傻8888888

大傻8888888发表于 2012-1-9 21:54
下面引用由天山草在 2011/10/15 11:38am 发表的内容：
看明白了，原来是这样的：
“这两个公式是等价的。
如果单从是否有极限的角度看，大傻公式的形式由于分母都是带平方的，容易证明其有极限。
而刘丹公式如何证明其有极限呢，还得考虑考虑。”
    正如天山草先生所说我的式子由于分母都是带平方的，容易证明其有极限。而我就是根据我的这个式子而得出了和刘丹公式一样的结果。这样就证明了刘丹公式是成立的并且是有极限的。

大傻8888888

天山草发表于 2013-8-23 10:10
前 100 个 C 系数的值如下：
-----------------------
C1     0.6601618
C2     0.8198024
C3     0.6708911
C4     0.8402588
C5     0.6995361
C6     0.9136965
C7     0.8821704
C8     0.8218582
C9     0.6728058
C10    0.8430124
C11    0.7021951
C12    0.9177718
C13    0.8868498
C14    0.8271250
C15    0.6781131
C16    0.8513854
C17    0.7112251
C18    0.9336034
C19    0.9083474
C20    0.8571665
C21    0.7187089
C22    0.9500455
C23    0.9382492
C24    0.9201934
C25    0.8898283
C26    0.8307658
C27    0.6821664
C28    0.8586062
C29    0.7202795
C30    0.9528430
C31    0.9421288
C32    0.9258107
C33    0.8983614
C34    0.8443332
C35    0.7034026
C36    0.9195139
C37    0.8887196
C38    0.8290758
C39    0.6799166
C40    0.8539621
C41    0.7137003
C42    0.9373849
C43    0.9126902
C44    0.8620851
C45    0.7237580
C46    0.9584171
C47    0.9489345
C48    0.9342622
C49    0.9090250
C50    0.8578440
C51    0.7193123
C52    0.9508952
C53    0.9391457
C54    0.9211359
C55    0.8908090
C56    0.8317551
C57    0.6830483
C58    0.8598175
C59    0.7213952
C60    0.9544745
C61    0.9439263
C62    0.9277969
C63    0.9005522
C64    0.8467034
C65    0.7057104
C66    0.9231043
C67    0.8929423
C68    0.8340023
C69    0.6851458
C70    0.8628439
C71    0.7243335
C72    0.9590226
C73    0.9492555
C74    0.9340963
C75    0.9080374
C76    0.8555071
C77    0.7151394
C78    0.9395080
C79    0.9150326
C80    0.8646170
C81    0.7262182
C82    0.9622367
C83    0.9534350
C84    0.9396275
C85    0.9154771
C86    0.8655560
C87    0.7277509
C88    0.9660058
C89    0.9603609
C90    0.9527241
C91    0.9418770
C92    0.9253947
C93    0.8977482
C94    0.8435023
C95    0.7024339
C96    0.9177709
C97    0.8864192
C98    0.8261491
C99    0.6766291
C100   0.8482497
---------------------

大傻8888888

天山草发表于 2013-8-28 06:49
下面引用由wangyangkee在 2013/08/28 05:35am 发表的内容：
“天山草老师的这个大楼，就像一个竞技场，引几位老师角逐，——角逐通分，角逐连乘，——角逐通分、连乘，，，”
这个帖子从提出问题，到各位网友参与解决问题，记录了事情的全过程，所以很有意思。希望这个帖子的寿命能长一些。因为这是大家共同的成果。

大傻8888888

大傻8888888发表于2020-6-13 22:35
白新岭 发表于 2020-6-12 16:19
“能得到相同的结果，分析过程，和数值运算就是一种成功的方法，殊途同归。
解决问题的方法肯定不是一种。
...”

对我来说拉曼纽扬系数根本不神秘。不过是连乘积∏(1-2/p)= ∏[1-1/（p-1)^2]  ∏（1-1/p)^2其中∏[1-1/（p-1)^2]里面p＞2，p→∞时 ∏[1-1/（p-1)^2]就是拉曼纽扬系数。类似拉曼纽扬系数的还有∏[1-1/（p-2)^2]，∏[1-1/（p-3)^2]，........∏[1-1/（p-n)^2]，需要注意的是里面p＞n+1，因为p=n+1连乘积有一项为零则全部为零。
另外我的孪生素数公式(N/2)*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√N）换成解析形式就是哈代与李特伍德的公式r(N)～2cN/(lnN)^2。

大傻8888888

大傻8888888发表于 2021-1-16 22:49
白新岭 发表于 2021-1-16 12:30
“即这些表达式均有极限”

在这个帖子里面21页203楼天山草的公式可以知道这些表达式的极限。
下面是我在这个帖子里面主要观点，不过我自己也快看不懂了：
我最近得出了一个系数An的表达式如下：
2^[π(n)(n+1)-∑p]*Π p  （其中p是小于等于n的所有素数,n大于等于2）
因为Π p里含有2，所以2的指数实际是π(n)(n+1)-∑p+1
根据这个表达式可以推导出天山草先生给出的系数An的表达式。（19页188楼）
虽然前一段得出了一个系数An的表达式，不过我觉得整个这个极限表达式还是太复杂。经过一段时间的考虑我得出了比较简单的极限表达式如下：
（lnp)^n*∏(1-n/p)=∏[p/（p-1)]^n*e^(-nγ)*∏[p^(n-1)*(p-n)/（p-1)^n]
上面极限表达式右边前一个连乘积的素数2≤p≤n，后一个连乘积的素数p＞n
当n=2时，上面极限表达式如下：
（lnp)^2*∏(1-2/p)=∏[p/（p-1)]^2*e^(-2γ)*∏[p(p-2)/（p-1)^2]
=4e^(-2γ)*∏[1-1/（p-1)^2]     （19页190楼）

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独木星空谁发表于 2022-10-4 22:22 |
大傻8888888 发表于 2011-10-10 12:09
“今天早上醒得早，躺在床上考虑了一阵子，得出了n = 3 的表达式，并因此可以推导出n = k 的表达式，具 ...”

这种巧妙的恒等变形，引出了素数到数的平方形式连乘积，也使得k生素数数量公式中的系数与这些式子的极限和梅滕斯公式挂上钩。

大傻8888888

大傻8888888发表于 2022-10-5 09:30
回复独木星空谁 发表于 2022-10-4 22:00的帖子

天山草先生在4楼里说“n = 2 时，大傻8888888 对极限表达式给出的证明：”并在下面有一个链接文件，把我的“(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)/(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]=2Π（1/2）(1-1/p)1/2(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]   其中2＜p≤√N。”用规范的数学形式给出了∏(1-2/p)表为(1-1/p)，并且根据梅滕斯定理得出了n=2时，极限值是4ce^(-2γ)。在这个基础上，天山草先生希望网友“ [猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？ ”解决这个问题，当时也有几个网友参加了，但是都没有得出答案。就在天山草先生以为这个问题可能得不出结果时，我在2011.10.10早上醒得早，灵光一闪，得出了n=3的表达式，并且沿着这条思路，可以推导出n=k的表达式。后来结果经过天山草先生的规范处理，推广了梅滕斯定理。这是我至今引以自豪的一件事，不过更应该感谢天山草先生的思路才有这个结果，天山草先生功不可没。

大傻8888888

白新岭发表于 2023-7-4 15:33
往往刚开始发现时，并没有发现它的用途，时间的沉淀，会发现它光芒四射的那一刻。