求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\) 的子序列方法.

王守恩

感谢 elim 多年来的帮助！感谢 蔡家雄 多年来的鼓励!
\[e^0, e^1, e^2, e^3, e^4, e^5, e^6, e^7, e^8, e^9,......\]
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\frac{2n+a}{2n-a}\bigg)^n=e^a\]

elim

上贴的简单证明：
\((\frac{2n+a}{2n-a})^n=(1+\frac{2a}{2n-a})^n=(1+\frac{1}{\frac{2n-a}{2a}})^{\frac{2n-a}{2a}a+\frac{a}{2}}\to e^a\;(n\to\infty)\)

王守恩

谢谢 elim ！谢谢 cz1(+ 15太少了) !
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\frac{2n+\pi}{2n-\pi}\bigg)^n=e^{\pi}\]

elim

上式的最简最一般形式是\(\small\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big(1+\frac{a}{x}\big)^x=e^a\).
而且与子序列方法无关．

王守恩

\(\displaystyle a,b是正整数,满足 \bigg\lceil\frac{a+n}{\sqrt[n]{b}}\bigg\rceil=n, n=1,2,3,4,5,...\ a,b有几组解？\)

王守恩

感谢 elim 多年来的帮助！感谢 蔡家雄 多年来的鼓励!
\[\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2+3n+1}{10n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2-3n+1}{4n!}=\cdots\cdots\]

王守恩

\[伟大的“e”!!!\]
\[\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2-3n+1}{4n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4n^2-3n+4}{9n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2+3n+1}{10n!}\]
\[\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^3+4n-1}{8n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^5-3n^4+n^3}{12n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^5+n^3-9}{48n!}\]

王守恩

\[伟大的“e”!!!\]
\[\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n-1}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2-5n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4n^3-9n^2}{2n!}\]
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^4-(n-1)^4+n^3-(n+1)^3}{n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^5-(n-1)^5+n^4-(n+1)^4}{4n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^6-(n-1)^6+n^5-(n+1)^5}{11n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^7-(n-1)^7+n^6-(n+1)^6}{41n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^8-(n-1)^8+n^7-(n+1)^7}{162n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^9-(n-1)^9+n^8-(n+1)^8}{715n!}\)
......
怎么化简？

王守恩

好像可以这样化简？

\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}+n^{k}-(n+1)^{k}}{(n^{k-1}-(n-1)^{k-1})n!}\)

王守恩

\(不管怎样的“多项式"，都可以凑成伟大的“e”!!!\)