“回”字添两条对角线，从对角线交点 O 出发，又回到 O，走了 9 条路段，有几种走法？

Ysu2008

王守恩 发表于 2023-12-29 08:04
请复核正6边形--9：15楼=60420；10楼=60394。谢谢Ysu2008 ！

10楼=6, 12, 66, 228, 966, 3756, 15186, ...

是 60420 ，递推公式是对的。10#我已经修改了。

王守恩

目标很明确: 把"通吃"公式揪出来。
正n边形,  共有n*m+1个点, 2n*m条路,  m表示环, m可以是无穷大。

王守恩

谢谢 Ysu2008！请 Ysu2008复核。

正六边形, 共有13个点,24条路,中心点为O,允许中途经过O, 详见10楼。
从 O 出发，2 步后恰在 O ，总计有 6 条：
从 O 出发，3 步后恰在 O ，总计有 12 条：
从 O 出发，4 步后恰在 O ，总计有 66 条：
从 O 出发，5 步后恰在 O ，总计有 228 条；
从 O 出发，6 步后恰在 O ，总计有 966 条；
从 O 出发，7 步后恰在 O ，总计有 3756 条；
从 O 出发，8 步后恰在 O ，总计有 15186 条；
从 O 出发，9 步后恰在 O ，总计有 60420 条。

6, 12, 66, 228, 966, 3756, 15186, 60420, 242166, 967692, 3872226, 15485988,
61948326, 247784556, 991151346, 3964579140, 15858355926, 63433344972,
253733497986, 1014933755748, 4059735377286, 16238940800556, ......

\(通项公式:a(n)=\frac{12 *4^n-3^{n/2} (6 - 5\sqrt{3}+(6 + 5\sqrt{3})\cos(n\pi))}{13}=\frac{3*4^n + \sqrt{74*3^n + 26 (-3)^n}\cos(n\pi)}{13}\)

恭喜Ysu2008(这串数是你的)! "OEIS"又一串数诞生了！

王守恩

谢谢 Ysu2008！23楼是基石，请再次复核确认。

目标定的是把"通吃"公式揪出来。信息还是少了。能否再来一串？

正六边形, 共有13个点,24条路,中心点为O,如果不允许中途经过O。

我就羡慕你会"搜索"(我怎么也学不会)。谢谢 Ysu2008！

Ysu2008

王守恩 发表于 2023-12-30 10:46
谢谢 Ysu2008！23楼是基石，请再次复核确认。

目标定的是把"通吃"公式揪出来。信息还是少了。能否再来一 ...

正六边形，不允许中途经过 0

从 O 出发，2 步回到 O ，总计有 6 条：
从 O 出发，3 步回到 O ，总计有 12 条：
从 O 出发，4 步回到 O ，总计有 30 条：
从 O 出发，5 步回到 O ，总计有 84 条：
从 O 出发，6 步回到 O ，总计有 246 条：
从 O 出发，7 步回到 O ，总计有 732 条：
从 O 出发，8 步回到 O ，总计有 2190 条：
从 O 出发，9 步回到 O ，总计有 6564 条.

王守恩

先把目前的成果晒一晒。渴望有网友找出反例来。
1,允许中途经过O。
正3边形,  共有07个点,12条路,......
{3, 6, 24, 78, 276, 960, 3372, 11832, 41568, 146040, 513168, 1803264, 6336816,
正4边形,  共有09个点,16条路,......
{4, 8, 36, 120, 452, 1640, 6052, 22232, 81860, 301256, 1109028,4082488,15028932,
正5边形,  共有11个点,20条路,......
{5, 10, 50, 170, 680, 2560, 9900, 37920, 145880, 560360, 2154000, 8277920, 31816080,
正6边形,  共有13个点,24条路,......
{6, 12, 66, 228, 966, 3756, 15186, 60420, 242166, 967692, 3872226, 15485988, 61948326,
正7边形,  共有15个点,28条路,......
{7, 14, 84, 294, 1316, 5264, 22204, 91448, 380912, 1578584, 6557712, 27212416, 112980336,
正8边形,  共有17个点,32条路,......
{8, 16, 104, 368, 1736, 7120, 31272, 132912, 574088, 2460560, 10586088, 45461744,195408456,
正9边形,  共有19个点,36条路,......
{9, 18, 126, 450, 2232, 9360, 42732, 186912, 835560, 3694536,  16427088,  72835488,  323402832,
......  ......
2, 不允许中途经过O。
正3边形,  共有07个点,12条路,......
{3, 6, 15, 42, 123, 366, 1095, 3282, 9843, 29526, 88575, 265722, 797163, 2391486,
正4边形,  共有09个点,16条路,......
{4, 8, 20, 56, 164, 488, 1460, 4376,13124, 39368,118100, 354296,1062884, 3188648,
正5边形,  共有11个点,20条路,......
{5, 10, 25, 70, 205, 610, 1825, 5470,16405, 49210,147625, 442870,1328605, 3985810,
正6边形,  共有13个点,24条路,......
{6, 12, 30, 84, 246, 732, 2190, 6564,19686, 59052, 177150, 531444, 1594326, 4782972,
正7边形,  共有15个点,28条路,......
{7, 14, 35, 98, 287, 854, 2555, 7658, 22967, 68894, 206675, 620018, 1860047, 5580134,
正8边形,  共有17个点,32条路,......
{8, 16, 40, 112, 328, 976, 2920, 8752, 26248, 78736, 236200, 708592, 2125768, 6377296,
正9边形,  共有19个点,36条路,......
{9, 18, 45, 126, 369, 1098, 3285, 9846, 29529, 88578, 265725, 797166, 2391489, 7174458,
......  ......

这是一些OEIS没有的数字串, 谢谢 lihp2020！ 谢谢 Ysu2008！

王守恩

Ysu2008 发表于 2023-12-25 13:14
从 O 出发，2 步后恰在 O ，总计有 6 条：
从 O 出发，3 步后恰在 O ，总计有 12 条：
从 O 出发 ...

Ysu2008!  能计算这8个数字串？每个数字串有2--9就行。谢谢！
1,允许中途经过O。
正6边形,  共有07个点,12条路,......

正6边形,  共有13个点,24条路,......

正6边形,  共有19个点,36条路,......

正6边形,  共有25个点,48条路,......
2, 不允许中途经过O。
正6边形,  共有07个点,12条路,......

正6边形,  共有13个点,24条路,......

正6边形,  共有19个点,36条路,......

正6边形,  共有25个点,48条路,......

王守恩

没写错。谢谢Ysu2008! 谢谢！

目标很明确:, 搞个类似彩珠手串配色计数的类似"通吃"公式。

m种颜色, n颗珠穿成的环, 有S(m,n)种穿法。详见《5种颜色5颗珠穿成的环, 有几种穿法?》。

\(\displaystyle S(m,n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{m^{GCD(n, k)}}{2n}+\frac{m^{\lceil n/2\rceil}+m^{\lceil(n+1)/2\rceil}}{4}\)

谢谢天山草！漂亮的公式！谢谢漂亮的公式！谢谢天山草先生！

王守恩

恭喜2024年！
正2024边形,  环形路不限制。
从O出发又回到O(允许中途经过O),走了2条路, 有2024种走法。
从O出发又回到O(允许中途经过O),走了3条路, 有4048种走法。
从O出发又回到O(允许中途经过O),走了4条路, 有4106696种走法。
......
从O出发又回到O(允许中途经过O),走了9条路, 有几种走法？
目标很明确: 把"通吃"公式揪出来。
正m边形, 走了n条路, 有S(m,n)种走法。

王守恩

正m边形, 走了n条路, 有S(m,n)种走法。
譬如：正4边形, 两条对角线的交点=O。
从O出发又回到O(允许中途经过O),环形路不限制。
走了2条路, 有4种走法。
走了3条路, 有8种走法。
走了4条路, 有36种走法。
走了5条路, 有120种走法。
走了6条路, 有456种走法。
走了7条路, 有1680种走法。
走了8条路, 有6340种走法。
....
得到S(4, n):  4,8,36,120,456,1680,6340,23960,91224,348656,1337896,5149872,19877904,
76907808,298176516,1158168792,4505865144,17555689008,68490100536,267518448912,...
可有通项公式？谢谢！